O presente artigo propõe um estudo acerca das sequências numéricas conhecidas como progressões aritméticas de ordem superior, na perspectiva de obter uma expressão algébrica que permita calcular o valor de qualquer termo de uma progressão de ordem k. Em um primeiro momento, demonstrar-se-á que o termo geral de uma progressão aritmética qualquer pode ser representado por uma função algébrica polinomial para, então, aplicar o conceito de integral indefinida de uma função, que é a principal ferramenta matemática utilizada neste artigo. Por fim, apresentar-se-á um algoritmo que foi desenvolvido no software MATLAB com o objetivo de gerar progressões aritméticas de k-ésima ordem utilizando a expressão algébrica obtida como resultado deste estudo

Marcelo Wachter Maroski

REMAT Revista Eletrônica da Matemática

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 REMAT, Bento Gonçalves, RS, Brasil, v. 3, n. 2, p. 116-123, dezembro de 2017. Termo geral de uma progressão aritmética de k-ésima ordem General term of an arithmetic progression of k-th order Marcelo Wachter Maroski Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ) Departamento de Ciências Exatas e Engenharias, Ijuí, RS, Brasil marcelomaroski@gmail.com  Informações do Artigo  Resumo    O presente artigo propõe um estudo acerca das sequências numéricas conhecidas como progressões aritméticas de ordem superior, na perspectiva de obter uma expressão algébrica que permita calcular o valor de qualquer termo de uma progressão de ordem k. Em um primeiro momento, demonstrar-se-á que o termo geral de uma progressão aritmética qualquer pode ser representado por uma função algébrica polinomial para, então, aplicar o conceito de integral indefinida de uma função, que é a principal ferramenta matemática utilizada neste artigo. Por fim, apresentar-se-á um algoritmo que foi desenvolvido no software MATLAB com o objetivo de gerar progressões aritméticas de k-ésima ordem utilizando a expressão algébrica obtida como resultado deste estudo.  Histórico do Artigo Submissão: 08 de agosto de 2017. Aceite: 09 de outubro de 2017.   Palavras-chave Integral Função polinomial Progressão Aritmética de Ordem Superior MATLAB    Abstract Keywords Integral Polynomial Function Arithmetic Progression of Higher order MATLAB   This article proposes a study about numerical sequences known as higher-order arithmetic progressions, in the view of obtaining an algebraic expression that allows to calculate the value of any term of a progression of order k. At first, it will demonstrate that the general term of any arithmetic progression can be represented by a polynomial algebraic function for then apply the concept of indefinite integral of a function, which is the main mathematical tool used in this article. Finally, it will present an algorithm that was developed in MATLAB software with the goal to generate arithmetic progressions of k-th order using the algebraic expression obtained as a result of this study.   1. Introdução De todos os objetos de estudo da Matemática, um dos mais interessantes, e que há mais tempo desperta o interesse e a curiosidade do ser humano, são as sequências numéricas. Dentre elas, encontram-se as progressões aritméticas, que comumente são encontradas na bibliografia matemática e fazem parte do currículo da educação básica e de cursos de ensino superior. Frequentemente, quando se fala em progressão aritmética, ou P.A., faz-se referência às progressões ditas de primeira ordem, que possuem propriedades importantes, conhecidas e estudadas desde o início da era cristã (BOYER, 1996) por diversos matemáticos de diferentes povos. Entretanto, existem as progressões aritméticas de ordem superior, que serão abordadas neste artigo por também possuírem algumas propriedades interessantes. Marcelo Wachter Maroski                             117   REMAT, Bento Gonçalves, RS, Brasil, v. 3, n. 2, p. 116-123, dezembro de 2017. Assim, como objetivo deste trabalho, pretende-se obter uma expressão algébrica para calcular o n-ésimo termo de uma P.A. de ordem k, utilizando-se de um conceito bem conhecido do Cálculo: a integral indefinida de uma função. 2. Referencial Teórico 2.1. Progressões Aritméticas De acordo com Iezzi e Hazzan (2012, p. 6), uma progressão aritmética é uma sequência de números “[...] em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante r dada.”. Cada termo de uma P.A. é indicado na forma an, em que n é o índice do termo, ou seja, a posição ocupada por ele na progressão. Assim, um exemplo de P.A. é a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...), em que a1 = 4 e r = 3. Um dos teoremas mais elementares relacionado às progressões aritméticas é o termo geral, definido como:  𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 (1) Utilizando-se o termo geral é possível calcular qualquer termo de uma P.A., conhecendo-se o primeiro termo e a razão (LOPES, 1998). Além disso, esse teorema permite estabelecer uma relação entre progressões aritméticas e polinômios, a partir do momento em que o termo geral é escrito como:  𝑎𝑛 = 𝑟𝑛 + 𝑎1 − 𝑟 (2) Assim, percebe-se que toda P.A. pode ser representada por um polinômio de grau 1 em n, sendo a razão r o coeficiente de n e a1 – r o termo independente. Por exemplo, seja o polinômio P(n) = 5n – 8. Ele representa uma P.A. cuja razão é o coeficiente de n, ou seja, 5 e o primeiro termo é calculado a partir da expressão a1 – r = -8. Sabendo-se que r = 5, então é imediato que a1 = -3. De fato, substituindo-se n pelos primeiros números naturais, encontra-se a P.A.: (-3, 2, 7, 12, ...). 2.2. Progressões Aritméticas de Ordem Superior As progressões apresentadas anteriormente são todas de primeira ordem, pois a diferença an – an-1 de quaisquer dois termos consecutivos resulta em uma constante, que nada mais é do que a razão da P.A. Porém, existem também as progressões de ordem superior a 1, ou, então, progressões aritméticas de k-ésima ordem, definidas por Lopes (1998, p. 8) como “[...] uma sequência de números tais que, após uma operação de diferença entre termos consecutivos da sequência, obtemos uma P.A. de ordem k – 1 [...]”. Termo geral de uma progressão aritmética de k-ésima ordem                                   118   REMAT, Bento Gonçalves, RS, Brasil, v. 3, n. 2, p. 116-123, dezembro de 2017. Por exemplo, a sequência (2, 4, 11, 26, 52, 92) é uma P.A. de ordem 3, pois: fazendo-se as diferenças entre os termos consecutivos encontra-se a sequência (2, 7, 15, 26, 40) que, de acordo com a definição, é uma P.A. de ordem k – 1, ou seja, ordem 2. Calculando-se as diferenças novamente, obtém-se a sequência (5, 8, 11, 14), que é uma P.A. de primeira ordem, pois a subtração de quaisquer dois termos consecutivos resulta na constante r = 3. Assim, conclui-se que a sequência (2, 4, 11, 26, 52, 92) é, de fato, uma P.A. de ordem 3, pois após 3 subtrações sucessivas encontra-se um valor constante. Assim como para as progressões de primeira ordem, é possível obter o termo geral de progressões de ordem superior, embora sejam escassas as pesquisas científicas referentes ao tema. Lopes (1998) apresenta uma expressão algébrica que relaciona o primeiro termo e a razão de uma P.A. de ordem 2 com o primeiro termo da P.A. de primeira ordem que resulta das diferenças entre os termos consecutivos. Através dessa expressão, é possível obter um polinômio de grau 2, que é o termo geral para a P.A. de segunda ordem. Assim, essa ideia é estendida para progressões de k-ésima ordem, através de um procedimento em que, conhecendo-se os primeiros termos de uma P.A. de ordem k, encontra-se como termo geral um polinômio de grau k. Por sua vez, Chagas e Rocha (2012) apresentam uma ideia diferenciada, utilizando número binomiais e a notação de somatório para obter uma expressão para o termo geral de progressões de k-ésima ordem. Entretanto, neste artigo será apresentada uma proposta alternativa a essas duas, como explicitado a seguir. 3. Metodologia Para obter-se o termo geral de uma progressão de ordem k, utilizar-se-á o conceito de integral, uma vez que o polinômio que representa uma P.A. também pode ser compreendido como uma função polinomial. Nesse procedimento reside o maior grau de originalidade do presente trabalho, visto que a aplicação da integral não é encontrada na bibliografia referente a progressões aritméticas de ordem superior. Em um primeiro momento, o cálculo da integral indefinida será amplamente utilizado, enquanto que a parte final da dedução, por sua vez, contará com o emprego de uma lógica de percepção e generalização de padrões para obter-se uma expressão que permita calcular qualquer termo de uma P.A. de k-ésima ordem, conhecendo-se, apenas, o seu primeiro termo e o valor da constante encontrada após k subtrações, definida aqui como a razão r da P.A. de primeira ordem associada à P.A. de ordem k. Além disso, empregar-se-á o recurso tecnológico do software MATLAB no desenvolvimento de um algoritmo que utiliza os resultados deste trabalho para gerar progressões aritméticas de k-ésima ordem. Marcelo Wachter Maroski                             119   REMAT, Bento Gonçalves, RS, Brasil, v. 3, n. 2, p. 116-123, dezembro de 2017. 4. Resultados e Discussão Para deduzir-se o termo geral de uma P.A. de ordem k, inicialmente tomar-se-á como exemplo a sequência (4, 6, 8, 10, ...), representada através da função polinomial p(n) = 2n + 2. Segundo Stewart (2009), pelo cálculo da integral indefinida de uma função f(x), encontra-se uma função F(x), dita primitiva. Portanto, nesse caso calcular-se-á a integral da função p(n), a fim de encontrar a primitiva P(n), assim:  𝑃(𝑛) = ∫ (2𝑛 + 2) ⅆ𝑛 (3)  𝑃(𝑛) = 𝑛2 + 2𝑛 + 𝐶 (4) A função primitiva P(n) representa uma P.A. de ordem 2, o que pode ser comprovado calculando-se os seus primeiros termos. Para isso, inicialmente ignorar-se-á a existência da constante C, resultante do processo de integração, mas logo retornar-se-á a ela. Assim, substituindo-se n pelos primeiros números naturais, obtém-se a sequência (3, 8, 15, 24). Calculando-se a diferença entre os termos consecutivos, encontra-se a sequência (5, 7, 9), que é uma P.A. de primeira ordem, comprovando-se, assim, que a P.A. obtida a partir de (4) é realmente de ordem 2. Entretanto, de acordo com Stewart (2009), uma integral indefinida representa uma família de primitivas, existindo uma para cada valor da constante C. Ou seja, obter-se-á uma P.A. diferente para cada valor de C, sendo que a razão da P.A. de primeira ordem associada a cada uma delas será a mesma, porém o primeiro termo da P.A. de segunda ordem assumirá valores distintos. Para o interesse deste estudo, é necessário encontrar um valor para C que gere uma P.A. com o valor desejado para o primeiro termo. Ainda utilizando (4), definir-se-á um valor para C que gere, por exemplo, uma P.A. de segunda ordem cujo primeiro termo é 8. Para isso, deve-se, simplesmente, substituir P(n) por 8 e n por 1, resultando em C = 5. Dessa forma, tem-se a seguinte função polinomial:  𝑃(𝑛) = 𝑛2 + 2𝑛 + 5 (5) Atribuindo valores a n, obtém-se a P.A. de segunda ordem: (8, 13, 20, 29), cujo primeiro termo é 8, assim como se pretendia obter. De acordo com os teoremas elementares do cálculo de integrais, apresentados por Stewart (2009), a integração de uma função algébrica de grau n resulta em uma primitiva cujo grau é n + 1. Aplicando-se essa mesma ideia às progressões aritméticas, pode-se afirmar que a cada vez que se integra o termo geral de uma P.A. de ordem k, obtém-se uma P.A. de ordem k + 1. Assim, conclui-se que a ordem de uma P.A. é indicada pelo grau do polinômio correspondente. Termo geral de uma progressão aritmética de k-ésima ordem                                   120   REMAT, Bento Gonçalves, RS, Brasil, v. 3, n. 2, p. 116-123, dezembro de 2017.  Nessa perspectiva, para obter-se o termo geral de uma P.A. de ordem k é necessário fazer k – 1 integrações a partir de um polinômio de grau 1; ou, então, obter uma expressão genérica que sirva para qualquer ordem de P.A., como será demonstrado a seguir. Integrando-se (2) em relação a n, ou seja, considerando o primeiro termo e a razão constantes, obtém-se:  𝑃(𝑛) = 𝑎1𝑛 +𝑛2𝑟2− 𝑛𝑟 + 𝐶 (6) Portanto, (6) é o termo geral para uma P.A. de segunda ordem, que, colocando-se n em evidência, pode ser escrito da seguinte forma:  𝑎𝑛(2)= 𝑛 (𝑎1 +𝑛𝑟2− 𝑟) + 𝐶 (7) Analogamente, pode-se integrar (6) a fim de encontrar-se o termo geral de uma P.A. de terceira ordem. Assim:  𝑃2(𝑛) = ∫ 𝑎1𝑛 ⅆ𝑛 + ∫𝑛2𝑟2ⅆ𝑛 − ∫ 𝑛𝑟 ⅆ𝑛 (8)  𝑎𝑛(3)=𝑛22(𝑎1 +𝑛𝑟3− 𝑟) + 𝐶 (9) Continuando o processo de integração, obter-se-á os termos gerais para progressões aritméticas de quarta e quinta ordem, representados pelas expressões (10) e (11), respectivamente:  𝑎𝑛(4)=𝑛36(𝑎1 +𝑛𝑟4− 𝑟) + 𝐶 (10)  𝑎𝑛(5)=𝑛424(𝑎1 +𝑛𝑟5− 𝑟) + 𝐶 (11) As expressões (7), (9), (10) e (11), que representam termos gerais de progressões de ordem superior, são suficientes para que se perceba algumas regularidades importantes para a obtenção de um termo geral para a k-ésima ordem. Inicialmente, pode-se afirmar que a parte da expressão que se encontra entre parênteses é a mesma em todos os casos, exceto pelo número que divide nr, que é sempre igual ao grau k da P.A. Além disso, pode-se afirmar que o grau de n, em evidência, é k – 1 e o número que o divide é (k – 1)! em todas as expressões. Desse modo, o termo geral pode ser escrito como:  𝑎𝑛(𝑘)=𝑛𝑘−1(𝑘 − 1)!(𝑎1 +𝑛𝑟𝑘− 𝑟) + 𝐶 (12) Se (12) é válido para qualquer ordem de P.A., deve ser para a ordem 1 também. Então, substituindo-se k por 1 em (12) e ignorando a existência da constante, obtém-se:  𝑎𝑛 =𝑛00!(𝑎1 +𝑛𝑟1− 𝑟) (13) Marcelo Wachter Maroski                             121   REMAT, Bento Gonçalves, RS, Brasil, v. 3, n. 2, p. 116-123, dezembro de 2017.  𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛𝑟 − 𝑟 (14) Assim, percebe-se que (14) é equivalente à (1) e à (2), ou seja, é igual ao conhecido termo geral de uma P.A. de primeira ordem. Portanto, fica comprovado que (12) também é válido quando k = 1. Entretanto, a constante C de (12) implica que a expressão algébrica fornece não apenas uma determinada P.A., mas uma família de progressões de ordem k. Isso significa que, mesmo definindo-se um valor para a1, a P.A. encontrada não terá como primeiro termo o valor que foi definido, a menos que se descubra qual é o valor de C que produz o resultado desejado. Tal valor pode ser definido algebricamente, de modo que valha para todos os casos possíveis. Para isso, basta substituir an por a1 e n por 1 em (12) e isolar C, da seguinte forma:  𝑎1 =1𝑘−1(𝑘 − 1)!(𝑎1 +𝑟𝑘− 𝑟) + 𝐶 (15)  𝑎1 −𝑎1(𝑘 − 1)!−𝑟𝑘(𝑘 − 1)!+𝑟(𝑘 − 1)!= 𝐶  (16)  𝑎1(𝑘! − 𝑘) + 𝑟(𝑘 − 1)𝑘!= 𝐶 (17) Assim, uma vez definido o valor genérico de C, somar-se-á esse resultado à (12), obtendo-se o termo geral definitivo de uma P.A. de k-ésima ordem:  𝑎𝑛(𝑘)=𝑛𝑘−1(𝑘 − 1)!(𝑎1 +𝑛𝑟𝑘− 𝑟) +𝑎1(𝑘! − 𝑘) + 𝑟(𝑘 − 1)𝑘! (18)  Uma das características do trabalho com progressões de ordem superior é a presença de números muito grandes e não inteiros, o que, inclusive, justifica-se pela complexidade de (18). Portanto, torna-se interessante a possibilidade de desenvolver um programa no software MATLAB para calcular os termos de progressões de ordem superior, evitando-se, assim, a realização de cálculos trabalhosos manualmente. A partir do resultado obtido em (18), desenvolveu-se um algoritmo muito simples, em poucas linhas de programação, com uma condição e dois laços de repetição; como pode ser observado na Figura 1, que apresenta o código do algoritmo. Para que o usuário possa utilizar o programa, ele deve informar a ordem da P.A., o valor do primeiro termo, a razão e quantos termos deverão ser calculados. Assim, o resultado fornecido é uma P.A. nas condições estipuladas pelo usuário. Termo geral de uma progressão aritmética de k-ésima ordem                                   122   REMAT, Bento Gonçalves, RS, Brasil, v. 3, n. 2, p. 116-123, dezembro de 2017. Figura 1 – Código do programa desenvolvido no MATLAB.  Fonte: Elaboração do autor, 2017. Por exemplo, definindo-se k = 4, a1 = 6, r = 12 e a quantidade de termos igual a 7, obtém-se a P.A.: (6, 6.5, 20, 70.5, 194, 438.5, 864), como percebe-se na Figura 2, que mostra o resultado fornecido pelo programa no MATLAB. Figura 2 – Exemplo de P.A. obtida no MATLAB.  Fonte: Elaboração do autor, 2017. Para comprovar que a sequência gerada pelo programa é realmente uma P.A. de ordem 4, pode-se calcular as diferenças sucessivas entre os seus termos consecutivos, até que se encontre uma P.A. de primeira ordem. Assim, a primeira diferença resulta na seguinte P.A. de ordem 3: (0.5, 13.5, 50.5, 123.5, 244.5, 425.5). Repetindo-se o procedimento, obtém-se uma P.A. de ordem 2 com os seguintes termos: (13, 37, 73, 121, 181). Por fim, com mais uma diferença, chega-se à P.A. de primeira ordem: (24, 36, 48, 60), com r =12, assim como foi determinado inicialmente.  Marcelo Wachter Maroski                             123   REMAT, Bento Gonçalves, RS, Brasil, v. 3, n. 2, p. 116-123, dezembro de 2017. 5. Considerações Finais Pelas demonstrações e discussões apresentadas nesse artigo, conclui-se que é possível obter um termo geral para progressões de k-ésima ordem a partir de um processo de integração, uma vez que toda progressão aritmética pode ser representada por um polinômio cujo grau é equivalente à ordem da P.A. Por meio da aplicação da integral indefinida de uma função, percebe-se que as progressões aritméticas estão relacionadas a elementos de outros campos de interesse da Matemática Pura. Outra articulação muito importante dá-se através da utilização do MATLAB, demonstrando, assim, que na sociedade contemporânea as tecnologias digitais surgem como excelentes ferramentas de apoio à Matemática. Certamente, essas relações, que muitas vezes podem parecer inusitadas, contribuem para o enriquecimento dos conhecimentos matemáticos, resultando, assim, em importantes discussões que consideram o estudo de sequências numéricas e padrões. Referências  BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Trad. GOMIDE, Elza Furtado. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.  CHAGAS, J. K. M.; ROCHA, J. S. Sequências aritméticas de ordem superior e aplicações. In: SEMINÁRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA, 6., 2012, Goiânia. Anais... Goiânia: Instituto Federal de Goiás, 2012. p. 1-4.  IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar 4: sequências, matrizes, determinantes e sistemas. 8. ed. São Paulo: Atual, 2012.  LOPES, Luís. Manual de progressões. Rio de Janeiro: Interciência, 1998.  STEWART, James. Cálculo. v. 1. São Paulo: Cengage Learning, 2008. 

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