En este trabajo se presenta una alternativa para hallar el tensor de curvatura de S2 x S2, a fin de utilizarlo en el cálculo de la curvatura escalar en cualquier punto dado de esta variedad riemanniana. 


 




Claudia Granados Pinzón

Revista Integración

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22 Carlos Cabal-Mirabal & Iván Ruiz-Chaveco[19] A.A. Kaperonis, D.A. Handley, S. Chien, “Fibers, Crystals, and other Forms of HbSPolymers in Deoxygenated Sickle Erythrocytes”, Am. J. Hematol. 21 (1986) 269-275.[20] G.W. Dykes, R.H. Crespeau, S. J. Edelstein, “Three–dimensional reconstruction of14-filament fibers of hemoglobin”, J. Mol. Biol. 130 (1979) 451-472.[21] A. Roufberg, F.A. Ferrone, “A model for the sickle hemoglobin fiber using both mu-tation sites”, Protein Sci. 9 (2000) 1031-1034.[22] A. McPherson, “Current approaches to macromolecular crystallization”, Eur. J. Biochem.189 (1990) 1-23.[23] G. Agarwal, J.C. Wang, S. Kwong , S.M. Cohen, F.A. Ferrone, R. Josephs,R.W. Briehl, “Sickle hemoglobin Fibers: Mechanisms of Depolymerization”, J. Mol. Biol.322 (2002) 395-412.[24] P.C. Weber, “Protein Crystallization”, Advan. in Protein Chemistry. 41 (1991) 1-5.[25] F.A. Ferrone, J. Hofrichter, W.A. Eaton, “Kinetics of sickle hemoglobin polymer-ization I. Studies using temperature jump and laser photolysis techniques”, J. Mol. Biol.183 (1985) 591-610.[26] F.A. Ferrone, J. Hofrichter, and W.A. Eaton, “Kinetics of Sickle HemoglobinPolymerization. II A double nucleation mechanism”, J. Mol. Biol. 183 (1985) 611-631.[27] M. Ivanova, R. Jasuja, S. Kwong, R.W. Briehl, F.A. Ferrone, “Nonideality andthe nucleation of sickle hemoglobin”, Biophys. J. 79 (2000) 1016-1022.[28] V.B Makhijani., G.R. Coketet, A. Clark, “Dymanics of oxygen unloading from sickleerythrocytes”, Biophys. J. 58 (1990) 1025-1050.[29] F.A. Ferrone, M. Ivanova, R. Jasuja, “Heterogeneous Nucleation Crowding in SickleHemoglobin. An Analytic Approach”, Biophys. J. 82 (2002) 399-406.[30] M. Ivanova, R. Jasuja, S. Kwong, R.W Briehl, F.A. Ferrone, “Nonideality andthe nucleation of Sickle Hemoglobin”, Biophys. J. 79 (2000) 1012- 1022.[31] C. Cabal, A. Fernández, M. Lores, E. Álvarez, J. Losada, C. Soler, E. Pérez,“Magnetic Relaxation in the Kinetics of the Polymerization of Hemoglobin S. ClinicalDiagnosis and Treatment with Vanillin”, Proceedings International Society for MagneticResonance in Medicine, 3 (1998) 1705, Sydney, April 18-24.Carlos Cabal-MirabalMedical Biophysics Center,University of Oriente,Lumumba s/n,Santiago de Cuba 90500, Cuba.e-mail : cabal@cbm.uo.edu.cuIván Ruiz-ChavecoFaculty of Mathematics and Computing,University of Oriente,Lumumba s/n,Santiago de Cuba 90500, Cuba.e-mail : iruiz@csd.uo.edu.cu[Revista Integración�Revista IntegraciónEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderVol. 26, No. 1, 2008, pág. 23–28Sobre la curvatura escalar de S2 × S2Claudia Granados Pinzón∗Resumen. En este trabajo se presenta una alternativa para hallar el tensorde curvatura de S2 × S2, a fin de utilizarlo en el cálculo de la curvaturaescalar en cualquier punto dado de esta variedad riemanniana.Abstract. In this paper we will show an alternative form to find the cur-vature tensor of S2 × S2, in order to use it in the calculation of the scalarcurvature at any given point of this riemannian manifold.1. IntroducciónConsidérese la variedad riemanniana M = S2 × S2 =�(p, q) ∈ R3 × R3 : |p| = |q| = 1�,con la métrica producto, donde S2 es la esfera unitaria en R3. El plano tangente a M enel punto m = (p, q) de M , denotado por TmM, es muy útil para encontrar el tensor decurvatura, y se puede ver que está dado porTmM = {(u,w) ∈ R3 × R3 | �u, p� = �w, q� = 0},donde �·, ·� denota el producto interno ordinario sobre R3.Definiendo el tensor de curvatura y la curvatura escalar de una variedad riemanniana(Mn, g) ⊂ Rr, de dimensión n > 2, podemos describir completamente la variedad salvomovimientos en el espacio Rr.0 Palabras y frases claves: campo vectorial, conexión Levi Civita, tensor de curvatura y curvaturaescalar.Key words: vector field, Levi Civita connection, curvature tensor and scalar curvature.0MSC2000: Primaria: 53A30. Secundaria: 53A10.0∗ Escuela de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia, A.A. 678,e-mail : cigranad@uis.edu.co.2324 Claudia Granados Pinzón2. PreliminaresSea M = S2 × S2. El siguiente conjunto se conoce como el espacio de los campos vecto-riales de M :Γ(M) = {X : M → R6 | X es suave y X(m) ∈ TmM para todo m ∈M}.Las siguientes definiciones y teoremas proporcionan las herramientas para encontrar eltensor de curvatura y la curvatura escalar de S2 × S2.Definición 2.1. Diremos que ∇ es una conexión sobre una variedad diferenciable M sila función ∇ : Γ(M) × Γ(M) → Γ(M), denotada por ∇(X,Y ) = ∇XY , satisface lassiguientes propiedades para cualesquiera X, Y y Z en Γ(M):1. ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ.2. ∇fX+Y Z = f∇XZ +∇Y Z para toda función suave f : M → R.3. ∇XfY = X(f)Y + f∇XY para toda función suave f : M → R, dondeX(f) : M → R es la derivada direccional de f en la dirección X .Teorema 2.2. Dada una variedad riemanniana M , existe una única conexión ∇ sobreM, llamada conexión Levi Civita, que satisface las siguientes propiedades:1. X�Y, Z� = �∇XY, Z�+ �Y,∇XZ�.2. (∇XY −∇YX)(f) = X(Y (f))− Y (X(f)) para toda función suave f : M → R.Observación 2.3.1. El campo vectorial dado por la segunda propiedad del Teorema 2.2 es llamado elcorchete de X e Y , y se denota por [X,Y ].2. Si ∇ es la conexión Levi Civita en R6, entonces la conexión Levi Civita ∇ enS2 × S2 cumple la igualdad ∇XY =�∇XY�T, donde�∇XY�Tes la componentetangencial.3. En R6 tenemos que ∇XY (m) = ddtY (α(t))|t=0, donde α es una curva diferenciabletal que α(0) = m y α̇(0) = X(m).[Revista IntegraciónSobre la curvatura escalar de S2 × S2 25Definición 2.4. Se define el tensor de curvatura de una variedad riemanniana M comoR : Γ(M)× Γ(M)× Γ(M)→ Γ(M),dado porR(X,Y, Z) = R(X,Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z.Definición 2.5. Sea x = zn un vector unitario en TmM . Si tomamos una base ortonormal{z1, z2, . . . , zn−1} del hiperplano en TmM ortogonal a x, la curvatura de Ricci en ladirección x en m se define comoRicm(x) =1n− 1n−1�i=1�R(x, zi)x, zi�,y la curvatura escalar en m, está dada pork(m) =1nn�j=1Ricm(zj) =1n(n− 1)n�j=1n−1�i=1�R(zi, zj)zi, zj�.Se puede demostrar que la Definición 2.5 es independiente de la base ortonormal, es decir,las expresiones no dependen de la base ortonormal escogida.3. Resultado principalSean (p, q) ∈ S2 × S2 y v1, v2, v3, v4 ∈ T(p,q)(S2 × S2). Supongamos que v1 = (u1, w1),v2 = (u2, w2), v3 = (u3, w3) y v4 = (u4, w4). Para encontrar el tensor de curvatura deS2 × S2 en el punto (p, q), primero extendemos los vectores v1, v2, v3 y v4 a camposvectoriales mediante la funciónZi : S2 × S2 → R6definida comoZi(x, y) = vi − �vi, (x, 0)�(x, 0) − �vi, (0, y)�(0, y)para i = 1, 2, 3, 4.Propiedades:1. Para i = 1, 2, 3, 4,Zi(p, q) =vi − �vi, (p, 0)�(p, 0)− �vi, (0, q)�(0, q) = vi.Vol. 26, No. 1, 2008]24 Claudia Granados Pinzón2. PreliminaresSea M = S2 × S2. El siguiente conjunto se conoce como el espacio de los campos vecto-riales de M :Γ(M) = {X : M → R6 | X es suave y X(m) ∈ TmM para todo m ∈M}.Las siguientes definiciones y teoremas proporcionan las herramientas para encontrar eltensor de curvatura y la curvatura escalar de S2 × S2.Definición 2.1. Diremos que ∇ es una conexión sobre una variedad diferenciable M sila función ∇ : Γ(M) × Γ(M) → Γ(M), denotada por ∇(X,Y ) = ∇XY , satisface lassiguientes propiedades para cualesquiera X, Y y Z en Γ(M):1. ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ.2. ∇fX+Y Z = f∇XZ +∇Y Z para toda función suave f : M → R.3. ∇XfY = X(f)Y + f∇XY para toda función suave f : M → R, dondeX(f) : M → R es la derivada direccional de f en la dirección X .Teorema 2.2. Dada una variedad riemanniana M , existe una única conexión ∇ sobreM, llamada conexión Levi Civita, que satisface las siguientes propiedades:1. X�Y, Z� = �∇XY, Z�+ �Y,∇XZ�.2. (∇XY −∇YX)(f) = X(Y (f))− Y (X(f)) para toda función suave f : M → R.Observación 2.3.1. El campo vectorial dado por la segunda propiedad del Teorema 2.2 es llamado elcorchete de X e Y , y se denota por [X,Y ].2. Si ∇ es la conexión Levi Civita en R6, entonces la conexión Levi Civita ∇ enS2 × S2 cumple la igualdad ∇XY =�∇XY�T, donde�∇XY�Tes la componentetangencial.3. En R6 tenemos que ∇XY (m) = ddtY (α(t))|t=0, donde α es una curva diferenciabletal que α(0) = m y α̇(0) = X(m).[Revista IntegraciónSobre la curvatura escalar de S2 × S2 25Definición 2.4. Se define el tensor de curvatura de una variedad riemanniana M comoR : Γ(M)× Γ(M)× Γ(M)→ Γ(M),dado porR(X,Y, Z) = R(X,Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z.Definición 2.5. Sea x = zn un vector unitario en TmM . Si tomamos una base ortonormal{z1, z2, . . . , zn−1} del hiperplano en TmM ortogonal a x, la curvatura de Ricci en ladirección x en m se define comoRicm(x) =1n− 1n−1�i=1�R(x, zi)x, zi�,y la curvatura escalar en m, está dada pork(m) =1nn�j=1Ricm(zj) =1n(n− 1)n�j=1n−1�i=1�R(zi, zj)zi, zj�.Se puede demostrar que la Definición 2.5 es independiente de la base ortonormal, es decir,las expresiones no dependen de la base ortonormal escogida.3. Resultado principalSean (p, q) ∈ S2 × S2 y v1, v2, v3, v4 ∈ T(p,q)(S2 × S2). Supongamos que v1 = (u1, w1),v2 = (u2, w2), v3 = (u3, w3) y v4 = (u4, w4). Para encontrar el tensor de curvatura deS2 × S2 en el punto (p, q), primero extendemos los vectores v1, v2, v3 y v4 a camposvectoriales mediante la funciónZi : S2 × S2 → R6definida comoZi(x, y) = vi − �vi, (x, 0)�(x, 0) − �vi, (0, y)�(0, y)para i = 1, 2, 3, 4.Propiedades:1. Para i = 1, 2, 3, 4,Zi(p, q) =vi − �vi, (p, 0)�(p, 0)− �vi, (0, q)�(0, q) = vi.Vol. 26, No. 1, 2008]26 Claudia Granados Pinzón2. �(x, y), Zi(x, y)� =�vi, (x, y)� − �vi, (x, 0)��(x, 0), (x, y)� − �vi, (0, y)��(0, y), (x, y)�=�vi, (x, y)� − �vi, (x, 0)� − �vi, (0, y)� = 0.En consecuencia, Zi(x, y) ∈ T(x,y)(S2 × S2) para todo (x, y) ∈ S2 × S2, dondei = 1, 2, 3, 4.Ahora, si calculamos ∇ZiZj(x, y), tenemos que∇ZiZj(x, y) =�∇ZiZj(x, y)�T=�ddtZj(αi(t), βi(t))����t=0�T,donde ∇ es la conexión en R6, (αi(0), βi(0)) = (x, y) y (α̇i(0), β̇i(0)) = Zi(x, y).Obsérvese que como ∇ es la conexión Levi Civita de R6, los campos vectoriales Zi estánen Γ(R6) y su definición es Zi(x, y) = vi.Por otra parte,ddtZj(αi(t), βi(t))����t=0=ddt�vj − �vj , (αi(t), 0)�(αi(t), 0)− �vj , (0, βi(t))�(0, βi(t))�t=0=− �vj , (αi(0), 0)�(α̇i(0), 0)− �vj , (α̇i(0), 0)�(αi(0), 0)− �vj , (0, βi(0))�(0, β̇i(0))− �vj , (0, β̇i(0))�(0, βi(0))=− �vj , (x, 0)�Zi(x, 0)− �vj , Zi(x, 0)�(x, 0)− �vj , (0, y)�Zi(0, y)− �vj , Zi(0, y)�(0, y).Así,�∇ZiZj(x, y)�T= −�vj , (x, 0)�Zi(x, 0)− �vj , (0, y)�Zi(0, y)y∇ZiZj(p, q) = (∇ZiZj(p, q))T = −�vj , (p, 0)�Zi(p, 0)− �vj , (0, q)�Zi(0, q) = 0.Por consiguiente,[Zi, Zj ](p,q) = ∇ZiZj(p, q)−∇Zj Zi(p, q) = 0.Más aún, obsérvese que�∇Zk�∇ZiZj(x, y)�T�T(p,q)=�∇Zk�−�vj , (x, 0)�Zi(x, 0)− �vj , (0, y)�Zi(0, y)��T(p,q)=− �vj , (p, 0)�∇ZkZi(p, 0)−�Zk[�vj , (x, 0)�]Zi(x, 0)�(p,q)− �vj , (0, q)�∇ZkZi(0, q)−�Zk[�vj , (0, y)�]Zi(0, y)�(p,q)=−�Zk[�vj , (x, 0)�]Z i(x, 0)�(p,q)−�Zk[�vj , (0, y)�]Zi(0, y)�(p,q),[Revista IntegraciónSobre la curvatura escalar de S2 × S2 27y puesto queZk [�vj , (x, 0)�](p,q) =ddt�vj , (αi(t), 0)�����t=0= �vj , (α̇i(0), 0)� = �vj , (uk, 0)�,donde αi(0) = p y (α̇i(0), 0) = (uk, 0), reemplazando tenemos�∇Zk�∇ZiZj(x, y)�T�T(p,q)= −�vj , (uk, 0)�Zi(p, 0)− �vj , (0, wk)�Z i(0, q)= −�vj , (uk, 0)�(ui, 0)− �vj , (0, wk)�(0, wi).Luego∇Zk∇ZiZj(x, y)(p,q) = −�vj , (uk, 0)�(ui, 0)− �vj , (0, wk)�(0, wi).A continuación calculamos el tensor de curvatura de S2 × S2 en el punto (p, q):�R(Z1, Z2)Z3, Z4�(p,q) =�∇Z2∇Z1Z3 −∇Z1∇Z2Z3 +∇[Z1,Z2]Z3, Z4�(p,q)=�−�v3, (u2, 0)�(u1, 0)− �v3, (0, w2)�(0, w1)+ �v3, (u1, 0)�(u2, 0) + �v3, (0, w1)�(0, w2), v4�=− �u3, u2��u1, u4� − �w3, w2��w1, w4�+ �u3, u1��u2, u4�+ �w3, w1��w2, w4�.Ahora, utilizando la expresión para el tensor de curvatura de S2 × S2, es fácil encon-trar la curvatura escalar para esta variedad en cualquier punto dado. Por ejemplo, seanp = (1, 0, 0, 1, 0, 0) ∈ S2 × S2 y v1 = e2, v2 = e3, v3 = e5, v4 = e6 ∈ Tp(S2 × S2).Puesto que la curvatura escalar está dada pork(p) =144�j=1Ricp(vi),usando la expresión para el tensor de curvatura de S2 × S2 hallamosRicp(v1) =13��R(e2, e3)e2, e3�+ �R(e2, e5)e2, e5�+ �R(e2, e6)e2, e6�+ �R(e2, e2)e2, e2��=13,Ricp(v2) =13��R(e3, e2)e3, e2�+ �R(e3, e5)e3, e5�+ �R(e3, e6)e3, e6�+ �R(e3, e3)e3, e3��=13,Vol. 26, No. 1, 2008]26 Claudia Granados Pinzón2. �(x, y), Zi(x, y)� =�vi, (x, y)� − �vi, (x, 0)��(x, 0), (x, y)� − �vi, (0, y)��(0, y), (x, y)�=�vi, (x, y)� − �vi, (x, 0)� − �vi, (0, y)� = 0.En consecuencia, Zi(x, y) ∈ T(x,y)(S2 × S2) para todo (x, y) ∈ S2 × S2, dondei = 1, 2, 3, 4.Ahora, si calculamos ∇ZiZj(x, y), tenemos que∇ZiZj(x, y) =�∇ZiZj(x, y)�T=�ddtZj(αi(t), βi(t))����t=0�T,donde ∇ es la conexión en R6, (αi(0), βi(0)) = (x, y) y (α̇i(0), β̇i(0)) = Zi(x, y).Obsérvese que como ∇ es la conexión Levi Civita de R6, los campos vectoriales Zi estánen Γ(R6) y su definición es Zi(x, y) = vi.Por otra parte,ddtZj(αi(t), βi(t))����t=0=ddt�vj − �vj , (αi(t), 0)�(αi(t), 0)− �vj , (0, βi(t))�(0, βi(t))�t=0=− �vj , (αi(0), 0)�(α̇i(0), 0)− �vj , (α̇i(0), 0)�(αi(0), 0)− �vj , (0, βi(0))�(0, β̇i(0))− �vj , (0, β̇i(0))�(0, βi(0))=− �vj , (x, 0)�Zi(x, 0)− �vj , Zi(x, 0)�(x, 0)− �vj , (0, y)�Zi(0, y)− �vj , Zi(0, y)�(0, y).Así,�∇ZiZj(x, y)�T= −�vj , (x, 0)�Zi(x, 0)− �vj , (0, y)�Zi(0, y)y∇ZiZj(p, q) = (∇ZiZj(p, q))T = −�vj , (p, 0)�Zi(p, 0)− �vj , (0, q)�Zi(0, q) = 0.Por consiguiente,[Zi, Zj ](p,q) = ∇ZiZj(p, q)−∇Zj Zi(p, q) = 0.Más aún, obsérvese que�∇Zk�∇ZiZj(x, y)�T�T(p,q)=�∇Zk�−�vj , (x, 0)�Zi(x, 0)− �vj , (0, y)�Zi(0, y)��T(p,q)=− �vj , (p, 0)�∇ZkZi(p, 0)−�Zk[�vj , (x, 0)�]Zi(x, 0)�(p,q)− �vj , (0, q)�∇ZkZi(0, q)−�Zk[�vj , (0, y)�]Zi(0, y)�(p,q)=−�Zk[�vj , (x, 0)�]Z i(x, 0)�(p,q)−�Zk[�vj , (0, y)�]Zi(0, y)�(p,q),[Revista IntegraciónSobre la curvatura escalar de S2 × S2 27y puesto queZk [�vj , (x, 0)�](p,q) =ddt�vj , (αi(t), 0)�����t=0= �vj , (α̇i(0), 0)� = �vj , (uk, 0)�,donde αi(0) = p y (α̇i(0), 0) = (uk, 0), reemplazando tenemos�∇Zk�∇ZiZj(x, y)�T�T(p,q)= −�vj , (uk, 0)�Zi(p, 0)− �vj , (0, wk)�Z i(0, q)= −�vj , (uk, 0)�(ui, 0)− �vj , (0, wk)�(0, wi).Luego∇Zk∇ZiZj(x, y)(p,q) = −�vj , (uk, 0)�(ui, 0)− �vj , (0, wk)�(0, wi).A continuación calculamos el tensor de curvatura de S2 × S2 en el punto (p, q):�R(Z1, Z2)Z3, Z4�(p,q) =�∇Z2∇Z1Z3 −∇Z1∇Z2Z3 +∇[Z1,Z2]Z3, Z4�(p,q)=�−�v3, (u2, 0)�(u1, 0)− �v3, (0, w2)�(0, w1)+ �v3, (u1, 0)�(u2, 0) + �v3, (0, w1)�(0, w2), v4�=− �u3, u2��u1, u4� − �w3, w2��w1, w4�+ �u3, u1��u2, u4�+ �w3, w1��w2, w4�.Ahora, utilizando la expresión para el tensor de curvatura de S2 × S2, es fácil encon-trar la curvatura escalar para esta variedad en cualquier punto dado. Por ejemplo, seanp = (1, 0, 0, 1, 0, 0) ∈ S2 × S2 y v1 = e2, v2 = e3, v3 = e5, v4 = e6 ∈ Tp(S2 × S2).Puesto que la curvatura escalar está dada pork(p) =144�j=1Ricp(vi),usando la expresión para el tensor de curvatura de S2 × S2 hallamosRicp(v1) =13��R(e2, e3)e2, e3�+ �R(e2, e5)e2, e5�+ �R(e2, e6)e2, e6�+ �R(e2, e2)e2, e2��=13,Ricp(v2) =13��R(e3, e2)e3, e2�+ �R(e3, e5)e3, e5�+ �R(e3, e6)e3, e6�+ �R(e3, e3)e3, e3��=13,Vol. 26, No. 1, 2008]28 Claudia Granados PinzónRicp(v3) =13��R(e5, e2)e5, e2�+ �R(e5, e3)e5, e3�+ �R(e5, e6)e5, e6�+ �R(e5, e5)e5, e5��=13,Ricp(v4) =13��R(e6, e2)e6, e2�+ �R(e6, e3)e6, e3�+ �R(e6, e5)e6, e5�+ �R(e6, e6)e6, e6��=13.De lo cual resulta, finalmente,k(p) =14�43�=13.En este ejemplo hemos encontrado la curvatura escalar de S2 × S2 en el puntop = (1, 0, 0, 1, 0, 0). Similarmente se puede hallar en cualquier otro punto. �Referencias[1] M. Do Carmo, Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston, 1992.[2] N. Prakash. Differential Geometry an Integrated Approach. Tata McGraw-Hill Pu-blishing Company Limited, New Delhi, 1993.Claudia GranadosEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderBucaramanga, Colombia, A.A. 678e-mail: cigranad@uis.edu.co.[Revista Integración�Revista IntegraciónEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderVol. 26, No. 1, 2008, pág. 29–46Etude expérimentale avec Cabri3d de lagénéralisation à l’espace d’un problème degéométrie planeMartín Eduardo Acosta Gempeler∗Résumé. Nous présentons une étude expérimentale d’un problème relatif autétraèdre podaire, en utilisant le logiciel Cabri3d de géométrie dynamiquedans l’espace. Nous décrivons un dispositif de ‘detection de points’ qui per-met d’obtenir des approximations de lieux géométriques, et nous utilisonsces approximations pour déduire des propriétés de ces lieux et les constru-ire de manière exacte. Finalement, nous présentons la démonstration desthéorèmes énoncés.Abstract. We present an experimental study of a problem about the pedaltetrahedron, using the software Cabri3d. We describe a ‘point detector’device to draw approximations of loci, and we use these approximations todeduce properties of these loci and construct them exactly. Finally, we givethe proofs of the theorems proposed.Resumen. Se presenta un estudio experimental concerniente a un tetrahedropedal, utilizando el programa Cabri3d de geometría dinámica en el espa-cio. Se describe un dispositivo de “detección de puntos” que permite obte-ner aproximaciones de lugares geométricos, utilizando luego esas aproxima-ciones para deducir las propiedades de los lugares y construirlos de maneraexacta. Finalmente, se da la demostración de los teorema enunciados.0 Hots Clés: géométrie dynamique dans l’espace, Cabri3d, detection de points.Keywords: dynamical geometry in space, Cabri3d, point detector.Palabras y frase claves: geometría dinámica en el espacio, Cabri3d, detección de puntos.0MSC2000: Primaria: 65D99. Secundaria: 68U99.0∗ TECFA Université de Genève, Suisse, DIAM Université Joseph Fourier Grenoble, France, yGrupo Edumat-UIS, Escuela de Matemáticas, UIS, A.A. 678, Bucaramanga, Colombia.e-mails: Martin.acosta@tecfa.unige.ch, martin@matematicas.uis.edu.co29

Sobre la curvatura escalar de S² X S²

In this paper we will show an alternative form to find the curvature tensor of S2 × S2, in order to use it in the calculation of the scalar curvature at any given point of this riemannian manifold. 
 En este trabajo se presenta una alternativa para hallar el tensor de curvatura de S2 x S2, a fin de utilizarlo en el cálculo de la curvatura escalar en cualquier punto dado de esta variedad riemanniana. 
 


Granados, Claudia

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Sobre la curvatura escalar de S² X S²

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