En este artículo se trata un caso especial de un sistema depredador-presa, donde el tamaño de los pasos (o saltos) de ambas especies crece como exponenciales iteradas. Se supone que el depredador da a su presa una ventaja inicial antes de empezar la cacería: ¿es posible que la presa escape del depredador? Se darán condiciones sobre el tamaño de los pasos (o saltos) de ambas especies para determinar si la presa escapa a su depredador.




Primitivo Belén Acosta Humánez

Revista Integración

In this paper it is assumed an special case of a predator-prey system, in which the length of step of both species grow as iterated exponentials. It is supposed that the predator give to its prey an initial advantage before of to start the chase: could the prey scape to its predator? Conditions about the size of jumps or strides of both species to determine if the prey can scape to its predator will be given.En este artículo se trata un caso especial de un sistema depredador-presa, donde el tamaño de los pasos (o saltos) de ambas especies crece como exponenciales iteradas. Se supone que el depredador da a su presa una ventaja inicial antes de empezar la cacería: ¿es posible que la presa escape del depredador? Se darán condiciones sobre el tamaño de los pasos (o saltos) de ambas especies para determinar si la presa escapa a su depredador.
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Acosta Humánez, Primitivo Belén

Universidad Industrial de Santander: Revistas Institucionales UIS

Revista INTEGRACIO´NUniversidad Industrial de SantanderEscuela de Matema´ticasVol. 19, No 2, p. 51–57, julio-diciembre de 2001Un modelo de captura con las torres y laexponencial iterada *Primitivo Bele´n Acosta Huma´nez**ResumenEn este art´ıculo se trata un caso especial de un sistema depredador-presa, donde el taman˜o de los pasos (o saltos) de ambas especies crececomo exponenciales iteradas. Se supone que el depredador da a su presauna ventaja inicial antes de empezar la cacer´ıa: ¿es posible que la presaescape del depredador? Se dara´n condiciones sobre el taman˜o de los pasos(o saltos) de ambas especies para determinar si la presa escapa a sudepredador.AbstractIn this paper it is assumed an special case of a predator-prey system, inwhich the length of step of both species grow as iterated exponentials. Itis supposed that the predator give to its prey an initial advantage beforeof to start the chase: could the prey scape to its predator? Conditionsabout the size of jumps or strides of both species to determine if the preycan scape to its predator will be given.1. INTRODUCCIO´NAl igual que en [1], se supone que se tienen dos animales que hacen el mismonu´mero de saltos por minuto, pero uno de ellos hace saltos ma´s grandes que*2000 Mathematics Subject Classification 26A18.**Escuela de Matema´ticas, Universidad Sergio Arboleda, Bogota´, Colombia; Email: pri-mitivo.acosta@usa.edu.co5152 Primitivo Bele´n Acosta Huma´nezel otro. Si el salto del animal ma´s pequen˜o (la presa) tiene longitud a, y elsalto del animal ma´s grande (depredador) tiene longitud b, es evidente que undepredador persistente siempre sera´ capaz de alcanzar a su presa. Si se asumeque la presa arranca un paso adelante del depredador, despue´s de n pasos ladistancia entre los dos sera´nb− (n+ 1)a = n(b− a)− a . (1.1)Esto es claro porque nb − (n + 1)a = nb − na − a = n(b − a) − a, y enconsecuencia, si n > ab−a entonces el depredador habra´ sobrepasado a su presa.Si se imagina un planeta en el cual las criaturas se mueven por saltos delongitud que se incrementa geome´tricamente, una criatura en dicho planetaesta´ a una distancia a de donde empezo´ despue´s de un salto, y a una distanciaan despue´s de n saltos. Se supone que a > 1, para indicar que las criaturas sealejan de su punto de partida. Se puede nuevamente hacer la pregunta de siuna pequen˜a criatura que arranca un paso adelante de su depredador puedeescapar de e´l. Si se supone que el paso inicial del depredador es de taman˜o b,donde b > a > 1, tal que si bn > an+1, entonces se puede afirmar que la criaturama´s pequen˜a es atrapada por el depredador. Esta situacio´n es ilustrada en elsiguiente teorema.Teorema 1.1. Si b > a > 1 y n es tal que bn > an+1, entonces n >(log a)(log ba)−1.Demostracio´n. Como bn > an+1 y la funcio´n logaritmica es mono´tona cre-ciente y positiva para valores mayores que 1, entonces log bn > log an+1,lo cual indica que n log b > (n+ 1) log a; entonces log blog a >n+1n = 1 +1n ,por lo tanto, 1n <log blog a − 1 = log b−log alog a =log balog a ; as´ı que finalmente se tienen > log alog ba= log a(log ba)−1.2. El modelo de torres y la exponencial iteradaPor supuesto, se puede imaginar un planeta au´n ma´s extran˜o en el cual unacriatura da un salto inicial de taman˜o a seguido por un salto que lo muevea una distancia aa de su punto de partida, y otro que lo lleva a una distan-cia aaa, y as´ı sucesivamente. Por lo tanto, la distancia a la cual la criaturaviaja esta´ determinada por torres de a, tal como se presenta en la siguientedefinicio´n.Un modelo de captura con las torres y la exponencial iterada 53Definicio´n 2.1. Dado cualquier a ∈ R, se define la torre 0 de a por T (a, 0) =a. Recursivamente para n ≥ 1, se define la n−e´sima torre de a comoT (a, n) = aT (a,n−1). (2.1)Wilhelm Ackermann [2] introdujo una forma natural de ordenamiento de ope-raciones sobre los nu´meros reales de tal forma que la suma es una operacio´nde tipo 1, la multiplicacio´n es una operacio´n de tipo 2, la potenciacio´n es detipo 3, la operacio´n T (a, n) es de tipo 4 y as´ı sucesivamente. Esto indica quevivimos en un planeta de tipo 2. Los dos planetas descritos anteriormente sonrespectivamente de tipo 3 y 4. Es decir, las criaturas de los planetas de tipo2 y 3 no pueden escapar de sus depredadores aunque tengan pasos de ventajaal iniciar la cacer´ıa. ¿Es cierto lo mismo para criaturas en planetas de tipo 4?.Sorprendentemente, si sus pasos crecen con un taman˜o suficientemente gran-de entonces sera´n capaces de escapar de sus ma´s ra´pidos depredadores, sinimportar cua´n persistentes sean. Para llegar al teorema que confirmara´ estau´ltima afirmacio´n se presentara´ el siguiente lema.Lema 2.1. Dado λ > µ > 0 y dado η > 0, si x > 0 y y−x > log((η+1)λ/µ),entonces µey − λex > ηλ > 0.Demostracio´n. Como y − x > log ((η + 1)λ/µ), y debido a que la funcio´nexponencial es mono´tona creciente, se tiene que ey−x > (η+1)λµ , as´ı que µey−x >(η + 1)λ. Multiplicando por ex se obtiene µey > (η + 1)λex y por lo tantoµey > ηλex + λex, as´ı que µey − λex > ηλex. Puesto que x > 0, ex > 1, ycomo λ > µ > 0, se tiene µey − λex > ηλex > ηλ, de lo cual se concluye queµey − λex > ηλ > 0.Nota 2.1. Sean Eλ(x) = λex y Eµ(y) = µey con λ > µ > 1/e, x y y como enel Lema 2.1. Se escoge η tal quelog(η + 1ηµ)< 1. (2.2)Debido a que log x < 1 para 0 < x < e, se tiene que 0 < η+1ηµ < e, por lo tantoη + 1 − ηµe < 0. Entonces η(µe − 1) > 1, as´ı que η > 1µe−1 . Si µe − 1 > 0,entonces µ > 1e , por lo tanto λ > µ > 1/e. Nuevamente Ejλ denota la j−e´simafuncio´n exponencial.Corolario 2.1. Con las condiciones del Lema 2.1, para todo j ≥ 1 se cumpleEjµ(y) > Ejλ(x). (2.3)54 Primitivo Bele´n Acosta Huma´nezDemostracio´n. Usando el hecho de que x ≥ 1+log x, del Lema 2.1 y la ecuacio´n(2.2) se tiene queµey − λex > ηλ > log ηλ+ log η + 1ηµ= log (η + 1)λ/µ, (2.4)as´ı que Eλ(x) y Eµ(y) satisfacen la hipo´tesis del Lema 2.1. La prueba ahorase sigue por induccio´n.Se presenta ahora el siguiente teorema, el cual es el resultado principal de esteart´ıculo:Teorema 2.1. Si a ≤ e1/e, entonces existe n0(a) tal que T (b, n) > T (a, n+1)para todo n > n0(a). Si a > e1/e, entonces existe b0 > a tal que T (b, n) <T (a, n+ 1) para cualesquiera n y b ∈ (a, b0(a)].Demostracio´n. Note que si se define Fa(x) = ax, y se denota la n−e´sima com-posicio´n de Fa consigo misma por Fna (a), entonces Fna (a) = T (a, n + 1). Elgra´fico de Fa(x) para a < e1/e corta la recta y = x en dos puntos l(a) y r(a),los cuales esta´n a la derecha de a. Bajo la iteracio´n de Fa(x), l(a) es atractor,y la sucesio´n Fna (a) = T (a, n+ 1) se aproximara´ desde la izquierda. En otraspalabras, una criatura cuyo paso inicial es de taman˜o a < 1/e se cansa ra´pi-damente, dando progresivamente pasos pequen˜os, y nunca lograra´ sobrepasara l(a). Es fa´cil ver que si b > a entonces cualquier Fb(x) no interseca la rec-ta y = x o´ l(b) esta´ a la derecha de l(a). En el primer caso la criatura ma´sgrande nunca se cansa, mientras que en el segundo se aproximara´ al puntol(b). En cualquier caso, eventualmente debe sobrepasar a la criatura ma´s pe-quen˜a. El caso a = e1/e se trata en forma similar. Para tratar el caso a > e1/e,se convierte el problema de comparacio´n de torres de potencias de diferentesbases a un problema de comparacio´n de iteradas de una funcio´n exponencial.Dado a > e1/e, sea ey = T (a, n0 + 1) y µ = log a; ahora, sea ex = T (a, n0)y λ = log b0, donde a < b0 < aa y n0 se determina ma´s adelante. Para adado, η es fijo y tal que la ecuacio´n (2.2) se mantiene constante. Note queλ = log b0 > log a = µ > 1/e. Se tiene queEµ(y) = µey = T (a, n0 + 1) log a, (2.5)y de la misma forma,Eµ(x) = µex = T (b0, n0) log b. (2.6)Un modelo de captura con las torres y la exponencial iterada 55Se mostrara´ que existen n0 y b0 tales que x y y satisfacen las condiciones delLema 2.1. Por el Corolario 2.1 se sigue que Ejµ(y) > Ejλ(x) para todo j. Ente´rminos de las torres se tiene que T (a, n0+1) log a > T (b0, n0) log b para todoj. Dado que log b0 > log a, y debido a la monoton´ıa de las torres, se concluyequeT (a, n) > T (b, n− 1) (2.7)para todo b ∈ (a, b0) y para todo n. Es suficiente encontrar n0 y b0 tales quex > 0 y y − x > (η + 1)λ.La condicio´n x > 0 se sigue automa´ticamente para cualquier b0 > a y cualquiern0 con a > 1/e. Por lo tanto, si n→∞ entonces T (a, n)− T (a, n0)→∞. Sepuede encontrar n0 tal que(T (a, n0)− T (a, n0 − 1)) log a > (η + 3) log aa, (2.8)de lo cual resulta(T (a, n0)− T (a, n0 − 1)) log a > (η + 3) log b0 (2.9)para cualquier valor de a < b0 < aa.Dado b1 > a, se defineT (b1, n0 − 1)− T (a, n0 − 1) = 1. (2.10)Similarmente, se puede escoger b2 lo suficientemente cerca de a tal queT (a, n0 − 1)(log b2 − log a) < log b2. (2.11)Claramente, a < b1, b2 < aa. Sea b = mı´n{b1, b2}. De la definicio´n de x y y setiene quey − x = T (a, n0) log a− T (b0, n0 − 1) log b0, (2.12)o lo que es lo mismo,y − x = (T (a, n0)− T (a, n0 − 1)) log a− T (a, n0 − 1) (log b− log a)− (T (b0, n0 − 1)− T (a, n0 − 1)) log b0. (2.13)56 Primitivo Bele´n Acosta Huma´nezDe aqu´ı se tiene quey − x > (η + 3) log b0 − 2 log b0, (2.14)o tambie´ny − x > (η + 1) log b0 = (η + 1)λ. (2.15)Entonces, dado cualquier a, se pueden obtener b0 y n0 tales que la ecuacio´n(2.7) se mantiene constante.Ejemplo 2.1. Sea a = 1,3, b = 1,4. Al graficar simulta´neamente ax, bx y larecta y = x, se observa que la primera interseccio´n de ax con la recta y = x esel punto l(a), la segunda interseccio´n de ax con la recta y = x es el punto r(a).La primera interseccio´n de bx con la recta y = x es el punto l(b), la segundainterseccio´n de bx con la recta y = x es el punto r(b). Por otro lado, al hacerb = 1,5, bx no se interseca con la recta y = x.Ejemplo 2.2. De otra manera, cuando a > e1/e (por ejemplo a = 1,6), lagra´fica de Fa(x) no cruza la diagonal, as´ı que no hay puntos fijos. En este casose muestra que la presa puede escapar al infinito y eludir a su depredador. Noteque si el paso inicial es un poco ma´s grande que e1/e (por ejemplo a = 1,45),la criatura disminuira´ su paso, hasta que su paso sea x = e, despue´s de lo cualtomara´ un segundo aire, y hara´ progresivamente pasos ma´s grandes.Nota 2.2. El Teorema 2.1 indica que las criaturas cuyo taman˜o del paso seama´s grande que e1/e pueden escapar de su depredador, quien a su vez tieneun taman˜o de paso ma´s pequen˜o que b0(a), mientras que las criaturas ma´spequen˜as siempre sera´n atrapadas.Nota 2.3. Para resaltar: el paso inicial ma´s pequen˜o que un depredador nece-sita dar para capturar una presa con paso inicial de taman˜o a tiene una cotainferior dada porγ(a) = sup{b | T (a, n+ 1) > T (b, n)∀n ∈ N}. (2.16)La funcio´n γ se puede denominar ”funcio´n de captura”. El Teorema 2.1 implicaque γ(a) = a si a ≤ e1/e, y γ(a) > a si a > e1/e. Tambie´n se define γ parabn(a), siendo bn(a) el taman˜o del paso inicial del depredador para capturar lapresa en n pasos, de manera queT (bn(a), n) = T (a, n+ 1), (2.17)Un modelo de captura con las torres y la exponencial iterada 57donde n es el nu´mero de pasos que necesita una criatura cuyo paso inicial seade taman˜o bn(a) para capturar a otra criatura cuyo paso inicial sea de taman˜oa; por lo tanto, se sigue que γ(a) = l´ımn→∞ bn(a).Nota 2.4. La funcio´n de captura tiene algunas propiedades interesantes. Usan-do estimacio´n se puede mostrar que γ es una funcio´n creciente. Otras propie-dades de la funcio´n γ(a) son dif´ıciles de establecer. Se puede conjeturar queesta funcio´n es suave; no puede ser anal´ıtica en el punto a = e1/e, pero en estepunto γ(a) y la recta y = x tienen una tangencia de orden infinito.3. Comentarios finalesEl problema de capturar tiene su origen en la dina´mica compleja. Robert LouisDevaney y Mo´nica Moreno Rocha han definido una particular familia semili-neal de funciones continuas hλ que actu´an en el plano, la cual tiene dina´micay topolog´ıa similar a la exhibida por la familia exponencial compleja λez (ver[3]). Esta familia actu´a exponencialmente en la coordenada x (la accio´n esconjugada a λex), y esencialmente es lineal en la coordenada y. Mo´nica Mo-reno Rocha en su Tesis Doctoral ([4]) ha mostrado que para cualquier par depara´metros µ y λ, las funciones hλ y hµ no son topolo´gicamente conjugadas.La prueba esta´ basada en la imposibilidad de capturar como se describe arriba,pero en el entorno de hλ.Referencias[1] R.L. Devaney, K. Josic, M. Moreno Rocha, P. Seal, Y. Shapiro and A.T. Frumo-su. Playing catchup with iterated exponentials. Department of Mathematics andStatistics, Boston University, 2002.[2] Wilhelm Ackermann. “Zum hilbertschen Aufbauder reellen Zahlen”. Math. Ann.99(1928), p. 118-133.[3] R.L. Devaney and M. Moreno Rocha. “A semilinear model for exponential Dyna-mics and Topology”. Topology Proceedings, 26, 2001.[4] M. Moreno Rocha. On Indecomposable Subsets of the Julia Set for Unstable Ex-ponentials. Ph.D. Dissertation, Boston University (2002).

Un modelo de captura con las torres y la exponencial iterada

En este artículo se trata un caso especial de un sistema depredador-presa, donde el tamaño de los pasos (o saltos) de ambas especies crece como exponenciales iteradas. Se supone que el depredador da a su presa una ventaja inicial antes de empezar la cacería: ¿es posible que la presa escape del depredador? Se darán condiciones sobre el tamaño de los pasos (o saltos) de ambas especies para determinar si la presa escapa a su depredador

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Revista INTEGRACIÓNUniversidad Industrial de SantanderEscuela de MatemáticasVol. 19, No 2, p. 51–57, julio-diciembre de 2001Un modelo de captura con las torres y laexponencial iterada *Primitivo Belén Acosta Humánez**ResumenEn este art́ıculo se trata un caso especial de un sistema depredador-presa, donde el tamaño de los pasos (o saltos) de ambas especies crececomo exponenciales iteradas. Se supone que el depredador da a su presauna ventaja inicial antes de empezar la caceŕıa: ¿es posible que la presaescape del depredador? Se darán condiciones sobre el tamaño de los pasos(o saltos) de ambas especies para determinar si la presa escapa a sudepredador.AbstractIn this paper it is assumed an special case of a predator-prey system, inwhich the length of step of both species grow as iterated exponentials. Itis supposed that the predator give to its prey an initial advantage beforeof to start the chase: could the prey scape to its predator? Conditionsabout the size of jumps or strides of both species to determine if the preycan scape to its predator will be given.1. INTRODUCCIÓNAl igual que en [1], se supone que se tienen dos animales que hacen el mismonúmero de saltos por minuto, pero uno de ellos hace saltos más grandes que*2000 Mathematics Subject Classification 26A18.**Escuela de Matemáticas, Universidad Sergio Arboleda, Bogotá, Colombia; Email: pri-mitivo.acosta@usa.edu.co5152 Primitivo Belén Acosta Humánezel otro. Si el salto del animal más pequeño (la presa) tiene longitud a, y elsalto del animal más grande (depredador) tiene longitud b, es evidente que undepredador persistente siempre será capaz de alcanzar a su presa. Si se asumeque la presa arranca un paso adelante del depredador, después de n pasos ladistancia entre los dos seránb− (n + 1)a = n(b− a)− a . (1.1)Esto es claro porque nb − (n + 1)a = nb − na − a = n(b − a) − a, y enconsecuencia, si n > ab−a entonces el depredador habrá sobrepasado a su presa.Si se imagina un planeta en el cual las criaturas se mueven por saltos delongitud que se incrementa geométricamente, una criatura en dicho planetaestá a una distancia a de donde empezó después de un salto, y a una distanciaan después de n saltos. Se supone que a > 1, para indicar que las criaturas sealejan de su punto de partida. Se puede nuevamente hacer la pregunta de siuna pequeña criatura que arranca un paso adelante de su depredador puedeescapar de él. Si se supone que el paso inicial del depredador es de tamaño b,donde b > a > 1, tal que si bn > an+1, entonces se puede afirmar que la criaturamás pequeña es atrapada por el depredador. Esta situación es ilustrada en elsiguiente teorema.Teorema 1.1. Si b > a > 1 y n es tal que bn > an+1, entonces n >(log a)(log ba)−1.Demostración. Como bn > an+1 y la función logaritmica es monótona cre-ciente y positiva para valores mayores que 1, entonces log bn > log an+1,lo cual indica que n log b > (n + 1) log a; entonces log blog a >n+1n = 1 +1n ,por lo tanto, 1n <log blog a − 1 = log b−log alog a =log balog a ; aśı que finalmente se tienen > log alog ba= log a(log ba)−1.2. El modelo de torres y la exponencial iteradaPor supuesto, se puede imaginar un planeta aún más extraño en el cual unacriatura da un salto inicial de tamaño a seguido por un salto que lo muevea una distancia aa de su punto de partida, y otro que lo lleva a una distan-cia aaa, y aśı sucesivamente. Por lo tanto, la distancia a la cual la criaturaviaja está determinada por torres de a, tal como se presenta en la siguientedefinición.Un modelo de captura con las torres y la exponencial iterada 53Definición 2.1. Dado cualquier a ∈ R, se define la torre 0 de a por T (a, 0) =a. Recursivamente para n ≥ 1, se define la n−ésima torre de a comoT (a, n) = aT (a,n−1). (2.1)Wilhelm Ackermann [2] introdujo una forma natural de ordenamiento de ope-raciones sobre los números reales de tal forma que la suma es una operaciónde tipo 1, la multiplicación es una operación de tipo 2, la potenciación es detipo 3, la operación T (a, n) es de tipo 4 y aśı sucesivamente. Esto indica quevivimos en un planeta de tipo 2. Los dos planetas descritos anteriormente sonrespectivamente de tipo 3 y 4. Es decir, las criaturas de los planetas de tipo2 y 3 no pueden escapar de sus depredadores aunque tengan pasos de ventajaal iniciar la caceŕıa. ¿Es cierto lo mismo para criaturas en planetas de tipo 4?.Sorprendentemente, si sus pasos crecen con un tamaño suficientemente gran-de entonces serán capaces de escapar de sus más rápidos depredadores, sinimportar cuán persistentes sean. Para llegar al teorema que confirmará estaúltima afirmación se presentará el siguiente lema.Lema 2.1. Dado λ > µ > 0 y dado η > 0, si x > 0 y y−x > log((η +1)λ/µ),entonces µey − λex > ηλ > 0.Demostración. Como y − x > log ((η + 1)λ/µ), y debido a que la funciónexponencial es monótona creciente, se tiene que ey−x > (η+1)λµ , aśı que µey−x >(η + 1)λ. Multiplicando por ex se obtiene µey > (η + 1)λex y por lo tantoµey > ηλex + λex, aśı que µey − λex > ηλex. Puesto que x > 0, ex > 1, ycomo λ > µ > 0, se tiene µey − λex > ηλex > ηλ, de lo cual se concluye queµey − λex > ηλ > 0.Nota 2.1. Sean Eλ(x) = λex y Eµ(y) = µey con λ > µ > 1/e, x y y como enel Lema 2.1. Se escoge η tal quelog(η + 1ηµ)< 1. (2.2)Debido a que log x < 1 para 0 < x < e, se tiene que 0 < η+1ηµ < e, por lo tantoη + 1 − ηµe < 0. Entonces η(µe − 1) > 1, aśı que η > 1µe−1 . Si µe − 1 > 0,entonces µ > 1e , por lo tanto λ > µ > 1/e. Nuevamente Ejλ denota la j−ésimafunción exponencial.Corolario 2.1. Con las condiciones del Lema 2.1, para todo j ≥ 1 se cumpleEjµ(y) > Ejλ(x). (2.3)54 Primitivo Belén Acosta HumánezDemostración. Usando el hecho de que x ≥ 1+log x, del Lema 2.1 y la ecuación(2.2) se tiene queµey − λex > ηλ > log ηλ + log η + 1ηµ= log (η + 1)λ/µ, (2.4)aśı que Eλ(x) y Eµ(y) satisfacen la hipótesis del Lema 2.1. La prueba ahorase sigue por inducción.Se presenta ahora el siguiente teorema, el cual es el resultado principal de esteart́ıculo:Teorema 2.1. Si a ≤ e1/e, entonces existe n0(a) tal que T (b, n) > T (a, n+1)para todo n > n0(a). Si a > e1/e, entonces existe b0 > a tal que T (b, n) <T (a, n + 1) para cualesquiera n y b ∈ (a, b0(a)].Demostración. Note que si se define Fa(x) = ax, y se denota la n−ésima com-posición de Fa consigo misma por Fna (a), entonces Fna (a) = T (a, n + 1). Elgráfico de Fa(x) para a < e1/e corta la recta y = x en dos puntos l(a) y r(a),los cuales están a la derecha de a. Bajo la iteración de Fa(x), l(a) es atractor,y la sucesión Fna (a) = T (a, n + 1) se aproximará desde la izquierda. En otraspalabras, una criatura cuyo paso inicial es de tamaño a < 1/e se cansa rápi-damente, dando progresivamente pasos pequeños, y nunca logrará sobrepasara l(a). Es fácil ver que si b > a entonces cualquier Fb(x) no interseca la rec-ta y = x ó l(b) está a la derecha de l(a). En el primer caso la criatura másgrande nunca se cansa, mientras que en el segundo se aproximará al puntol(b). En cualquier caso, eventualmente debe sobrepasar a la criatura más pe-queña. El caso a = e1/e se trata en forma similar. Para tratar el caso a > e1/e,se convierte el problema de comparación de torres de potencias de diferentesbases a un problema de comparación de iteradas de una función exponencial.Dado a > e1/e, sea ey = T (a, n0 + 1) y µ = log a; ahora, sea ex = T (a, n0)y λ = log b0, donde a < b0 < aa y n0 se determina más adelante. Para adado, η es fijo y tal que la ecuación (2.2) se mantiene constante. Note queλ = log b0 > log a = µ > 1/e. Se tiene queEµ(y) = µey = T (a, n0 + 1) log a, (2.5)y de la misma forma,Eµ(x) = µex = T (b0, n0) log b. (2.6)Un modelo de captura con las torres y la exponencial iterada 55Se mostrará que existen n0 y b0 tales que x y y satisfacen las condiciones delLema 2.1. Por el Corolario 2.1 se sigue que Ejµ(y) > Ejλ(x) para todo j. Entérminos de las torres se tiene que T (a, n0 +1) log a > T (b0, n0) log b para todoj. Dado que log b0 > log a, y debido a la monotońıa de las torres, se concluyequeT (a, n) > T (b, n− 1) (2.7)para todo b ∈ (a, b0) y para todo n. Es suficiente encontrar n0 y b0 tales quex > 0 y y − x > (η + 1)λ.La condición x > 0 se sigue automáticamente para cualquier b0 > a y cualquiern0 con a > 1/e. Por lo tanto, si n →∞ entonces T (a, n)− T (a, n0) →∞. Sepuede encontrar n0 tal que(T (a, n0)− T (a, n0 − 1)) log a > (η + 3) log aa, (2.8)de lo cual resulta(T (a, n0)− T (a, n0 − 1)) log a > (η + 3) log b0 (2.9)para cualquier valor de a < b0 < aa.Dado b1 > a, se defineT (b1, n0 − 1)− T (a, n0 − 1) = 1. (2.10)Similarmente, se puede escoger b2 lo suficientemente cerca de a tal queT (a, n0 − 1)(log b2 − log a) < log b2. (2.11)Claramente, a < b1, b2 < aa. Sea b = mı́n{b1, b2}. De la definición de x y y setiene quey − x = T (a, n0) log a− T (b0, n0 − 1) log b0, (2.12)o lo que es lo mismo,y − x = (T (a, n0)− T (a, n0 − 1)) log a− T (a, n0 − 1) (log b− log a)− (T (b0, n0 − 1)− T (a, n0 − 1)) log b0. (2.13)56 Primitivo Belén Acosta HumánezDe aqúı se tiene quey − x > (η + 3) log b0 − 2 log b0, (2.14)o tambiény − x > (η + 1) log b0 = (η + 1)λ. (2.15)Entonces, dado cualquier a, se pueden obtener b0 y n0 tales que la ecuación(2.7) se mantiene constante.Ejemplo 2.1. Sea a = 1,3, b = 1,4. Al graficar simultáneamente ax, bx y larecta y = x, se observa que la primera intersección de ax con la recta y = x esel punto l(a), la segunda intersección de ax con la recta y = x es el punto r(a).La primera intersección de bx con la recta y = x es el punto l(b), la segundaintersección de bx con la recta y = x es el punto r(b). Por otro lado, al hacerb = 1,5, bx no se interseca con la recta y = x.Ejemplo 2.2. De otra manera, cuando a > e1/e (por ejemplo a = 1,6), lagráfica de Fa(x) no cruza la diagonal, aśı que no hay puntos fijos. En este casose muestra que la presa puede escapar al infinito y eludir a su depredador. Noteque si el paso inicial es un poco más grande que e1/e (por ejemplo a = 1,45),la criatura disminuirá su paso, hasta que su paso sea x = e, después de lo cualtomará un segundo aire, y hará progresivamente pasos más grandes.Nota 2.2. El Teorema 2.1 indica que las criaturas cuyo tamaño del paso seamás grande que e1/e pueden escapar de su depredador, quien a su vez tieneun tamaño de paso más pequeño que b0(a), mientras que las criaturas máspequeñas siempre serán atrapadas.Nota 2.3. Para resaltar: el paso inicial más pequeño que un depredador nece-sita dar para capturar una presa con paso inicial de tamaño a tiene una cotainferior dada porγ(a) = sup{b | T (a, n + 1) > T (b, n)∀n ∈ N}. (2.16)La función γ se puede denominar ”función de captura”. El Teorema 2.1 implicaque γ(a) = a si a ≤ e1/e, y γ(a) > a si a > e1/e. También se define γ parabn(a), siendo bn(a) el tamaño del paso inicial del depredador para capturar lapresa en n pasos, de manera queT (bn(a), n) = T (a, n + 1), (2.17)Un modelo de captura con las torres y la exponencial iterada 57donde n es el número de pasos que necesita una criatura cuyo paso inicial seade tamaño bn(a) para capturar a otra criatura cuyo paso inicial sea de tamañoa; por lo tanto, se sigue que γ(a) = ĺımn→∞ bn(a).Nota 2.4. La función de captura tiene algunas propiedades interesantes. Usan-do estimación se puede mostrar que γ es una función creciente. Otras propie-dades de la función γ(a) son dif́ıciles de establecer. Se puede conjeturar queesta función es suave; no puede ser anaĺıtica en el punto a = e1/e, pero en estepunto γ(a) y la recta y = x tienen una tangencia de orden infinito.3. Comentarios finalesEl problema de capturar tiene su origen en la dinámica compleja. Robert LouisDevaney y Mónica Moreno Rocha han definido una particular familia semili-neal de funciones continuas hλ que actúan en el plano, la cual tiene dinámicay topoloǵıa similar a la exhibida por la familia exponencial compleja λez (ver[3]). Esta familia actúa exponencialmente en la coordenada x (la acción esconjugada a λex), y esencialmente es lineal en la coordenada y. Mónica Mo-reno Rocha en su Tesis Doctoral ([4]) ha mostrado que para cualquier par deparámetros µ y λ, las funciones hλ y hµ no son topológicamente conjugadas.La prueba está basada en la imposibilidad de capturar como se describe arriba,pero en el entorno de hλ.Referencias[1] R.L. Devaney, K. Josic, M. Moreno Rocha, P. Seal, Y. Shapiro and A.T. Frumo-su. Playing catchup with iterated exponentials. Department of Mathematics andStatistics, Boston University, 2002.[2] Wilhelm Ackermann. “Zum hilbertschen Aufbauder reellen Zahlen”. Math. Ann.99(1928), p. 118-133.[3] R.L. Devaney and M. Moreno Rocha. “A semilinear model for exponential Dyna-mics and Topology”. Topology Proceedings, 26, 2001.[4] M. Moreno Rocha. On Indecomposable Subsets of the Julia Set for Unstable Ex-ponentials. Ph.D. Dissertation, Boston University (2002).

ABSTRACT: in this paper it is assumed an special case of a predator-prey system, in which the length of step of both species grow as iterated exponentials. It is supposed that the predator give to its prey an initial advantage before of to start the chase: could the prey scape to its predator? Conditions about the size of jumps or strides of both species to determine if the prey can scape to its predator will be given.RESUMEN: En este artículo se trata un caso especial de un sistema depredador-presa, donde el tamaño de los pasos (o saltos) de ambas especies crece como exponenciales iteradas. Se supone que el depredador da a su presa una ventaja inicial antes de empezar la cacería: ¿es posible que la presa escape del depredador? Se darán condiciones sobre el tamaño de los pasos (o saltos) de ambas especies para determinar si la presa escapa a su depredador

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Un modelo de captura con las torres y la exponencial iterada

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