В данной работе исследуется влияние анизотропии, кривизны трещины, а также влияние границы на сингулярные поля изгибающих моментов в окрестности трещины. Приводятся представления решений для случая изотропной пластины, полученные при помощи предельного перехода из соответствующих соотношений для анизотропной среды.
При цитировании документа, используйте ссылку http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/2959

Fylshtynskyi, Leonid Anshelovych

Liubchak, Volodymyr Oleksandrovych

Любчак, Владимир Александрович

Любчак, Володимир Олександрович

Фильштинский, Леонид Аншелович

Фильштинський, Леонід Аншелович

SocioEconomic Challenges Journal (Sumy State University)

1982 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том XVIII, .М 10 
J'Дl( 539.3 
В. А. Л ю б ч а к, Л. А. Ф и л ь ш т и н с к и й 
ИЗГИБ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОА АНИЗОТРОПНОА ПЛАСТИНЫ, 
ОСЛАБЛЕННОИ КРИВОЛИНЕИНЫМИ РАЗРЕЗАМИ 
Изгибу изотропных и анизотропных бесконечных пластин с тре­
щинами nосвящены многие работы [1, 4, 7]. Ниже расамотрепа зада­
ча об изгибе защемленной nолубесконечной анизотроnной пластины, 
ослабленной криволинейными трещинами. 
Исследуется вл·ияние анизотропии, кривизны трещины, а также 
влияние границы на сингулярные поля изгибающих моментов в ок­
рестности трещины. Приводятоя представления решений для случая 
изотропной пластины, полученные при помощи предельного 'перехода 
из соответствующих соотношений для анизотропной среды. 
§ 1. Постановка задачи. Рассмотрим полубесконечную анизотроп­
ную пластину, ослабденную n криволинейными разрезами L; (j =1, 2, ... 
... , n). Предполагаем, что Li- простые, непересекающиеся разомкну­
тые дуги Ляпунова с кривизной, удовлетворяющей условию Гедьдера. 
Пусть пластина защемлена вдоль границы у=О (рис. 1). На бе­
регах разрезов ·3'ададим изг-ибающие моменты m±(t) и обобщенную 
перерезывающую силу q±(t) та·к, чтобы главный момент и главный 
векrор нагруз'К'и, действующей на обоих берегах, были равны нулю 
(знак «+» относится к левому берегу L; 
при движении от начала разреза ai к кон­
цу bj). 
Дифференцируя краевое условие в фор­
ме Лехницкого [3] по направлению s, ка­
iiсательному к Li, получаем краевые условия 
на берегах разрезов 
2 
2Re ~ ~: ak ('Ф) W~ (tk) = -т cos 'Ф + 
k=l 
Рис. 1+ (j +С) sin ,Р; 2Re I2 в,.а,. ($) w; (t,.) =тх 
k-1 
Х sin 'Ф + (f+C) cos ,Р; Ak= Dн+Dt211%+2Dtei1A; 
s 
В"' = D12 + D22!1i + 2D26p."'; ak ('Ф) = f.t1t cos ф - sin ф; f = Sq (So) d5o; 
о 
n 
tk = Re t + 11k Im t; t Е L = UL1 (k = 1,2). (1.1) 
/-1 
Здесь Dii - соответствующие цилиндрические жесткости; J..l.1t (k= 1, 
2) -комплексные параметры [3]; -фs=!ф (t) -угол между внешней 
нормалью к левому берегу разреза и осью Ох; s, s0- натуральные ко­
ординаты дуг; С= {С3, tElJj} -постоянные интегрирования. 
Можно показать, что функция Грина для верхней полуплос·кости 
у';:!:.О (в условиях nоперечного изгиба) ~Wеет вид 
2 
О (х, у; х0, Уо) = 2Re L Gh (zk; х0, Уо); 
k=l 
64 В. А. Любчак, Л. А. Филыитинскиа 
G'" = dзG~~. (т, k = 1, 2). (1.2) 
k dz~ 
Здесь G - прогиб пластины; Ak -известные постоянные [3]. Констан­
ты «km 'МОЖ'НО определить из краевых условий на границе •полуплос­
кости у=О. Например, для защемленной ·полуплоскости имеем 
,., _ Jla - flm • ,.. _ flm "'- flt 
"'tm- • ""2m- (m=1,2). (1.3)!1t - 112 flt - f.L2 
Исходя из функций Грина ( 1.1), представления искомых функций 
w; (z~~.) возьмем в виде 
(k = 1, 2; j = 1, 2, ... п). (1.4) 
§ 2. Основная система уравнений. Подставляя предельные значе­
ния (1.4) на L в (1.1), приходим ·к следующей системе уравнений: 
2 
2Re ~ Qlt! ('Фо) {~ Г ~lt (t) ~tk
.L..J Щ .J lt ­ ltO 
k=l L 
~ 
А 11 
1111 
2Re LQ11, ('Ф) р11 (t) = F2, (t) (l = 1, 2); Q111 ('Ф) = - а11 ('Ф); 
k=l 
F11 (t) = - m2 cos 'Ф + f2 sin 'Ф + 2С sin -ф; 
F12 (t) = m2 sin 'Ф +!2 cos 'Ф + 2С cos -ф; F21 (t) =-m1 cos 'Ф + f1 sin -ф; 
ft = f+- {-; F22 (t) = mt sin 'Ф + ft соs-ф; f2 = f+ + {-; 
(k = 1, 2). (2.1) 
К основной системе уравнений надо присовокупить условия одно­
значности функций перемещений и прогиба 
2 
\' р1 (t) dt1 = О (j = 1, 2, ... , п); Re ~ ~ P~t (t) t11dt~~. = О. (2.2) 
Lj k=l Lj 
Дополнительные условия (2.2) удовлетворяются за счет постоян­
ных интегрирования С, фигурирующих в ( 1.1), и произволов в функ­
циях Р11. (t) (5]. 
Полагая в функциях (1.4) и системе уравнений (2.1) «~tm=O (k, 
m= 1, 2), приходим к задаче изгиба бесконечной пластины с криво­
лИнейными разрезами [7]. 
§ 3. Предельный переход к изотропной среде. Совершая предель­
ный переход по описанной ранее схеме [6], получаем представления 
функций Ф (z) и Ч' (z), описывающих усилия и моменты в изотропной 
полубесконечной пластине с разрезами 
Мх +Му = -8D(1 + v) ReФ(z); Ми -Мх + 2iHxu = 4D(1-v) Х 
Х [zФ' (z) + '1' (z)]; Ф (z) = - ~ r (1) (t) dt _ ~ r (1) (t) dt + 
4:n:t ) t - z . 4:n:t .) t - z 
~ L L (1 

65 Ивгиб полубесконечной анизотропной пластины 
+ _1 \. O)(!>Imt dt + ~ \ ~ di · '1' (z) = ~ Г т (t) К (t z) dt 
2n . (t - z)Z 2m J t- z ' 4т J 1 ' + 
L L L 
+~ \ ш(t)К (t z)dt +~ \ M1(t)dt _ ~s~tdt. 
4:rtt J 2 ' 2:rtt .) t - z 2:tt (t _ z)2 ' 
L L L 
Kt (t, z) = (t .!.._ z)Z + (t ~z)2 t EL; 
Kz (t, z) = __х__ ~ + 2~ Im t 

t - z t - z (t - z)2 

3+v 
Х=--. (3.1)1-v 
Здесь v- коэффициент Пуассона; D- цилиндрическая жесткость; 
<о (t) -искомая плотность. 
§ 4. Асимптотические выражения для моментов в окрестности 
вершин трещины. Вычисляя значения функций (1.4) в окрестности 
0.3 f--------1-­
0.1 ~.-______.~_______.. 
о 1t/'t f 
Рис. 2 Рис. 3 
концевых точек раэреэа L1 [5] и используя выражения для моментов 
[3], находим (ниже индекс j опущен) 
2 
М1 = ± Re ~ R~~.zr~~. (l = 1, 3); r~~. =Q~~.0 (± I) Х ~V =F (z~~. - c,J
k-1 
Х [-} :р tk (± 1)J}; Pk (t) = Qk (р) = ;;о!~ ; Ms = Мж; М2 =М,; 
М3 =Нж,; ck = Rec + J.LA lmc; Rk1 = Ak; Rь =В~~.; Rka = D1e+ 
+ D28J.L: + 2D66!J-11 ; z~~. = Re z + !111. Im:z; z Е О (cJ (k = 1, 2). (4.1) 
Здесь верхний энак соответствует концу с=Ь, нижний- началу с=а; 
t=t(/})- параметрическое представление Li (-1::::;;~:::::;;1). 
§ 5. Примеры расчета. Рассмотрим пластину иэ стеклопластика 
АГ-4С с характеристика•ми Е1= 2,1 · 104 МН/м2 ; 
в.- 1,6·10' МН!м2; а= 4,1-10З МН/м2; Vз = 0,07; J.Lt = 0,517+0,937i; 
J.L2 =- 0,517 + 0,931i, 
5- Прикпадная механика, Нr 10 
66 В. А. Любчак, Л. А. Фильштин.скиа 
ослабленную трещиной вдоль дуги эллипса 
x=R1 sin~t 1 <р; y=R2 cos ~1 1 'QJ (-1~~~1). 
При решении системы уравнений (2.1) и (2.2) применялась проде­
дура типа Мультоппа [2]. Полученная система алгебраичес·ких урав­
нений численно реализована на ЭВМ ЕС-1022. 
Для бесконечной пластины на рис. 2 показавы графики измене­
! 
ния величины (Мпо) = Mn (р/21)2 /М0 (р = 1z -с 1; 21 - длина трещины; 
Мп -изгибающий момент на продолжении трещины за вершину) в функ­
ции от угла <р. Пластина подвергается изгибу равномерно распределенными 
Рис. 4 Рис. 5 
моментами М0 на бесконечности. Штриховые линии соответствуют началу 
(с = а), сплошные- концу трещины (с = Ь). Кривые 1, 2 отвечают на­
грузке М;'= О, м;о = М0 = 1 и отношению полуосей R1/R2, равным 2 и 
0,5 соответственно. Кривые 3 построены для случая действия на бесконеч­
ности моментов М;' =М0 = 1; М;'= О и R1/R2 = 0,5. 
Рассмотрим защемленную полубесконечную пластину. Зададим на бе­
регах трещины распределенные изгибающие моменты интенсивности т= 1. 
1 
Зависимость величины (Мn) = М n (р/21)2 jm от параметра <р для значений 
R1/R 2 = 0,5 (кривые 1) и R1/R2 = 2 (кривые 2) показава на рис. 3. Здесь 
штриховые линии соответствуют с = а, сплошные -с = Ь. На рис. 4 изо­
1 
бражены эпюры величин Мп (р/21)2/т в функции полярного угла 8 для 
начала (с=а) и конца трещины (с=Ь). Эпюры построены для зна­
чений параметров Rt/R2=0,б; tp=80°; т= 1. 
Для этого же случая нагружения (т= 1) рассмотрим горизон­
тальную прямолинейную трещину, расположенную на расстоянии Rz 
от защемления (у=О). С приближением трещины к защемленной гра­
нице значения величины (Mn) =Mn (p/2L) 'I•Jт (на продолжении 
трещины за вершину) изменяются, как 1юказано на рис. 5. 
Из анализа полученных результатов следует, что влияние границы 
на асимптотику 'Моментов начинает за1метно сказываться на рассто­
яниях порядка длины трещины. При приближении к границе защем­
ленной полуплоскости величина (Mn) на лродолжении за вершину 
существенно уменьшается. 
Фильштинский, Л.А. Изгиб полубесконечной анизотропной 
пластины, ослабленной криволинейными разрезами [Текст] / В.А. 
Любчак, Л.А.Фильштинский // Прикладная механика. – 1982. – Т. 
18, №10. – С. 63-67. 


Russian

Изгиб полубесконечной анизотропной пластины, ослабленной криволинейными разрезами

Electronic Sumy State University Institutional Repository

1982 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том XVIII, .М 10 J'Дl( 539.3 В. А. Л ю б ч а к, Л. А. Ф и л ь ш т и н с к и й ИЗГИБ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОА АНИЗОТРОПНОА ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОИ КРИВОЛИНЕИНЫМИ РАЗРЕЗАМИ Изгибу изотропных и анизотропных бесконечных пластин с тре­щинами nосвящены многие работы [1, 4, 7]. Ниже расамотрепа зада­ча об изгибе защемленной nолубесконечной анизотроnной пластины, ослабленной криволинейными трещинами. Исследуется вл·ияние анизотропии, кривизны трещины, а также влияние границы на сингулярные поля изгибающих моментов в ок­рестности трещины. Приводятоя представления решений для случая изотропной пластины, полученные при помощи предельного 'перехода из соответствующих соотношений для анизотропной среды. § 1. Постановка задачи. Рассмотрим полубесконечную анизотроп­ную пластину, ослабденную n криволинейными разрезами L; (j =1, 2, ... ... , n). Предполагаем, что Li- простые, непересекающиеся разомкну­тые дуги Ляпунова с кривизной, удовлетворяющей условию Гедьдера. Пусть пластина защемлена вдоль границы у=О (рис. 1). На бе­регах разрезов ·3'ададим изг-ибающие моменты m±(t) и обобщенную перерезывающую силу q±(t) та·к, чтобы главный момент и главный векrор нагруз'К'и, действующей на обоих берегах, были равны нулю (знак «+» относится к левому берегу L; при движении от начала разреза ai к кон­цу bj). Дифференцируя краевое условие в фор­ме Лехницкого [3] по направлению s, ка­iiсательному к Li, получаем краевые условия на берегах разрезов 2 2Re ~ ~: ak ('Ф) W~ (tk) = -т cos 'Ф + k=l Рис. 1+ (j +С) sin ,Р; 2Re I2 в,.а,. ($) w; (t,.) =тх k-1 Х sin 'Ф + (f+C) cos ,Р; Ak= Dн+Dt211%+2Dtei1A; s В"' = D12 + D22!1i + 2D26p."'; ak ('Ф) = f.t1t cos ф - sin ф; f = Sq (So) d5o; о n tk = Re t + 11k Im t; t Е L = UL1 (k = 1,2). (1.1) /-1 Здесь Dii - соответствующие цилиндрические жесткости; J..l.1t (k= 1, 2) -комплексные параметры [3]; -фs=!ф (t) -угол между внешней нормалью к левому берегу разреза и осью Ох; s, s0- натуральные ко­ординаты дуг; С= {С3, tElJj} -постоянные интегрирования. Можно показать, что функция Грина для верхней полуплос·кости у';:!:.О (в условиях nоперечного изгиба) ~Wеет вид 2 О (х, у; х0, Уо) = 2Re L Gh (zk; х0, Уо); k=l 64 В. А. Любчак, Л. А. Филыитинскиа G'" = dзG~~. (т, k = 1, 2). (1.2) k dz~ Здесь G - прогиб пластины; Ak -известные постоянные [3]. Констан­ты «km 'МОЖ'НО определить из краевых условий на границе •полуплос­кости у=О. Например, для защемленной ·полуплоскости имеем ,., _ Jla - flm • ,.. _ flm "'- flt "'tm- • ""2m- (m=1,2). (1.3)!1t - 112 flt - f.L2 Исходя из функций Грина ( 1.1), представления искомых функций w; (z~~.) возьмем в виде (k = 1, 2; j = 1, 2, ... п). (1.4) § 2. Основная система уравнений. Подставляя предельные значе­ния (1.4) на L в (1.1), приходим ·к следующей системе уравнений: 2 2Re ~ Qlt! ('Фо) {~ Г ~lt (t) ~tk.L..J Щ .J lt ­ ltO k=l L ~ А 11 1111 2Re LQ11, ('Ф) р11 (t) = F2, (t) (l = 1, 2); Q111 ('Ф) = - а11 ('Ф); k=l F11 (t) = - m2 cos 'Ф + f2 sin 'Ф + 2С sin -ф; F12 (t) = m2 sin 'Ф +!2 cos 'Ф + 2С cos -ф; F21 (t) =-m1 cos 'Ф + f1 sin -ф; ft = f+- {-; F22 (t) = mt sin 'Ф + ft соs-ф; f2 = f+ + {-; (k = 1, 2). (2.1) К основной системе уравнений надо присовокупить условия одно­значности функций перемещений и прогиба 2 \' р1 (t) dt1 = О (j = 1, 2, ... , п); Re ~ ~ P~t (t) t11dt~~. = О. (2.2) Lj k=l Lj Дополнительные условия (2.2) удовлетворяются за счет постоян­ных интегрирования С, фигурирующих в ( 1.1), и произволов в функ­циях Р11. (t) (5]. Полагая в функциях (1.4) и системе уравнений (2.1) «~tm=O (k, m= 1, 2), приходим к задаче изгиба бесконечной пластины с криво­лИнейными разрезами [7]. § 3. Предельный переход к изотропной среде. Совершая предель­ный переход по описанной ранее схеме [6], получаем представления функций Ф (z) и Ч' (z), описывающих усилия и моменты в изотропной полубесконечной пластине с разрезами Мх +Му = -8D(1 + v) ReФ(z); Ми -Мх + 2iHxu = 4D(1-v) Х Х [zФ' (z) + '1' (z)]; Ф (z) = - ~ r (1) (t) dt _ ~ r (1) (t) dt + 4:n:t ) t - z . 4:n:t .) t - z ~ L L (1 65 Ивгиб полубесконечной анизотропной пластины + _1 \. O)(!>Imt dt + ~ \ ~ di · '1' (z) = ~ Г т (t) К (t z) dt 2n . (t - z)Z 2m J t- z ' 4т J 1 ' + L L L +~ \ ш(t)К (t z)dt +~ \ M1(t)dt _ ~s~tdt. 4:rtt J 2 ' 2:rtt .) t - z 2:tt (t _ z)2 ' L L L Kt (t, z) = (t .!.._ z)Z + (t ~z)2 t EL; Kz (t, z) = __х__ ~ + 2~ Im t t - z t - z (t - z)2 3+v Х=--. (3.1)1-v Здесь v- коэффициент Пуассона; D- цилиндрическая жесткость; <о (t) -искомая плотность. § 4. Асимптотические выражения для моментов в окрестности вершин трещины. Вычисляя значения функций (1.4) в окрестности 0.3 f--------1-­0.1 ~.-______.~_______.. о 1t/'t f Рис. 2 Рис. 3 концевых точек раэреэа L1 [5] и используя выражения для моментов [3], находим (ниже индекс j опущен) 2 М1 = ± Re ~ R~~.zr~~. (l = 1, 3); r~~. =Q~~.0 (± I) Х ~V =F (z~~. - c,Jk-1 Х [-} :р tk (± 1)J}; Pk (t) = Qk (р) = ;;о!~ ; Ms = Мж; М2 =М,; М3 =Нж,; ck = Rec + J.LA lmc; Rk1 = Ak; Rь =В~~.; Rka = D1e+ + D28J.L: + 2D66!J-11 ; z~~. = Re z + !111. Im:z; z Е О (cJ (k = 1, 2). (4.1) Здесь верхний энак соответствует концу с=Ь, нижний- началу с=а; t=t(/})- параметрическое представление Li (-1::::;;~:::::;;1). § 5. Примеры расчета. Рассмотрим пластину иэ стеклопластика АГ-4С с характеристика•ми Е1= 2,1 · 104 МН/м2 ; в.- 1,6·10' МН!м2; а= 4,1-10З МН/м2; Vз = 0,07; J.Lt = 0,517+0,937i; J.L2 =- 0,517 + 0,931i, 5- Прикпадная механика, Нr 10 66 В. А. Любчак, Л. А. Фильштин.скиа ослабленную трещиной вдоль дуги эллипса x=R1 sin~t 1 <р; y=R2 cos ~1 1 'QJ (-1~~~1). При решении системы уравнений (2.1) и (2.2) применялась проде­дура типа Мультоппа [2]. Полученная система алгебраичес·ких урав­нений численно реализована на ЭВМ ЕС-1022. Для бесконечной пластины на рис. 2 показавы графики измене­! ния величины (Мпо) = Mn (р/21)2 /М0 (р = 1z -с 1; 21 - длина трещины; Мп -изгибающий момент на продолжении трещины за вершину) в функ­ции от угла <р. Пластина подвергается изгибу равномерно распределенными Рис. 4 Рис. 5 моментами М0 на бесконечности. Штриховые линии соответствуют началу (с = а), сплошные- концу трещины (с = Ь). Кривые 1, 2 отвечают на­грузке М;'= О, м;о = М0 = 1 и отношению полуосей R1/R2, равным 2 и 0,5 соответственно. Кривые 3 построены для случая действия на бесконеч­ности моментов М;' =М0 = 1; М;'= О и R1/R2 = 0,5. Рассмотрим защемленную полубесконечную пластину. Зададим на бе­регах трещины распределенные изгибающие моменты интенсивности т= 1. 1 Зависимость величины (Мn) = М n (р/21)2 jm от параметра <р для значений R1/R 2 = 0,5 (кривые 1) и R1/R2 = 2 (кривые 2) показава на рис. 3. Здесь штриховые линии соответствуют с = а, сплошные -с = Ь. На рис. 4 изо­1 бражены эпюры величин Мп (р/21)2/т в функции полярного угла 8 для начала (с=а) и конца трещины (с=Ь). Эпюры построены для зна­чений параметров Rt/R2=0,б; tp=80°; т= 1. Для этого же случая нагружения (т= 1) рассмотрим горизон­тальную прямолинейную трещину, расположенную на расстоянии Rz от защемления (у=О). С приближением трещины к защемленной гра­нице значения величины (Mn) =Mn (p/2L) 'I•Jт (на продолжении трещины за вершину) изменяются, как 1юказано на рис. 5. Из анализа полученных результатов следует, что влияние границы на асимптотику 'Моментов начинает за1метно сказываться на рассто­яниях порядка длины трещины. При приближении к границе защем­ленной полуплоскости величина (Mn) на лродолжении за вершину существенно уменьшается. Фильштинский, Л.А. Изгиб полубесконечной анизотропной пластины, ослабленной криволинейными разрезами [Текст] / В.А. Любчак, Л.А.Фильштинский // Прикладная механика. – 1982. – Т. 18, №10. – С. 63-67. 

https://essuir.sumdu.edu.ua/bitstream/123456789/29593/3/Filshtinskii_Izgib_polybeskonechnoj_anizotropnoj_plastiny_oslablennoj_krivolineynumi_razrezami.pdf

Изгиб полубесконечной анизотропной пластины, ослабленной криволинейными разрезами

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

SocioEconomic Challenges Journal (Sumy State University)

Electronic Sumy State University Institutional Repository