Geometric modeling and reconstruction of surfaces instrumented with attitude sensors

Abstract

Ce travail de thèse en Mathématiques Appliquées a été effectué au sein du service Capteurs et Systèmes Electroniques (SCSE) au CEA-Leti, organisme majeur de la recherche publique française implanté à Grenoble. Il s'inscrit dans le cadre d'une collaboration avec le laboratoire de mathématiques appliquées Jean Kuntzmann (LJK) de l'Université Joseph Fourier (UJF). Le Leti développe des systèmes de capteurs de données terrestres (magnétomètres, accéléromètres...) capables de se géoréférencer de manière autonome. Placés sur des objets, ces dispositifs de capteursfournissent leur orientation propre dans l'espace, et ouvrent donc un vaste champ d'applications dans le domaine de l'acquisition et la reconstruction de formes.Le problème de la reconstruction de surfaces à partir de données d'orientation non structurées est par essence un problème mal posé. Cependant, des travaux précédents effectués au Leti ont permis de dégager un protocole fournissant un cadre valide pour le processus de reconstruction. Les capteurs ont été intégrés dans les rubans Morphosense : ces rubans souples équipés de noeuds de capteurs selon unegéométrie connue permettent ainsi le développement d'algorithmes de reconstruction de la courbe suivie par le ruban. L'application de rubans Morphosense sur une surface physique permet alors d'acquérir la famille des courbes suivies par les rubans et tracées sur la surface. Il s'agit ensuite d'exploiter le réseau des courbes ainsi obtenues pour reconstruire la surface. Dans un premier temps, nous revisitons la question de la reconstruction du ruban. Nous proposons des algorithmes de reconstruction de la courbe 3D suivie par le ruban Morphosense prenant maintenant en compte l'intégralité des données fournies par les capteurs d'orientation, ainsi que les propriétés méca-niques du ruban qui le conduisent à suivre des courbes géodésiques sur une surface. De ce point de vue, la reconstruction peut être considérée comme optimale.On étudie ensuite un ensemble de méthodes pour la reconstruction de surfaces à partir d'un réseau de courbes rubans. Dans le cas général, un tel type de réseau conduit à des problèmes de fermeture et d'estimation de données manquantes. La question de la fermeture, d'ordre essentiellement numérique et liée à des contraintes différentielles, concerne le réseau des courbes et la difficulté d'obtenir des contoursfermés. La question cruciale de l'estimation des données manquantes traduit le fait qu'aucune information sur la surface n'est connue et accessible en dehors du réseau des courbes rubans.Afin de s'affranchir de ces problèmes et de proposer des solutions pratiques pour la reconstruction, il est nécessaire de faire des hypothèses sur le modèle de surfaces à reconstruire ou sur la topologie de réseau de courbes acquises. Les méthodes développées s'inscrivent donc dans l'une des deux approchessuivantes.– D'une part des méthodes de reconstruction de surfaces développables et quasi-développables, qui modélisent de manière satisfaisante les surfaces étudiées dans le cadre de nombreuses applications.– D'autre part des méthodes de reconstruction à partir d'une topologie spécifique de réseaux de courbes (courbes quasi-planaires, contour ouvert), permettant de résoudre le problème de fermeture.L'ensemble des méthodes proposées dans ces travaux permet ainsi de formuler un processus global de reconstruction de surfaces, qu'il est possible d'adapter aux problèmes étudiés en pratique, afin de proposer une solution à la fois simple et précise dans chaque cas. La validation des résultats dans le cadre des données réelles fournies par les rubans Morphosense nous a conduit à développer des dispositifs métrologiques. Enfin, notons que le contexte général des données d'orientation étudié ici soulève des problématiques peu classiques, voire nouvelles, auxquelles nous avons essayé d'apporter des solutions originales, en particulier au travers d'algorithmes d'interpolation et d'optimisation.This PhD thesis in applied mathematics was conducted within the Electronic Systems andSensors department of the CEA-Leti (Atomic Energy and Alternative Energies Commission - Laboratory for Electronics and Information Technologies), a major organism for technological research located in Grenoble, France. This work originated from a partnership with the applied mathematics laboratory (LJK) of the Joseph Fourier university (UJF). The Leti develops embedded systems equiped with micro-sensors (magnetometers, accelerometers...) from which it is possible to retrieve informations about their spatial orientation. These systems allow for innovative applications in the field of shape acquisition and reconstruction. The problem of reconstructing surfaces from unstructured orientation data is ill-posed. However, previous work done within the Leti came up with a valid reconstruction protocol. The micro-sensors were integrated into the Morphosense ribbon : this flexible ribbon instrumented with sensor knots according to a known geometry is at the core of a number of reconstruction algorithms for the curves followed by the ribbon. When lied on a physical surface, Morphosense ribbons then allow the acquisition and reconstruction of a network of curves on the surface, that are then used for the reconstruction of the entire surface. We first propose new algorithms for curve reconstruction thanks to the Morphosense ribbon. Those new methods now integrate the orientation informations provided by the sensors in their entirety, as well as the mechanical properties of the ribbon that force it to follow geodesic curves on a surface. From this point of view, the curve reconstruction can be considered optimal, as it integrates all the information embedded in the ribbons' structure. We then study a set of methods for the reconstruction of surfaces using a network of ribbon curves. Such a network generally leads to problems linked to the closure of the network and missing data estimation. The closure of the network is essentially a numerical problem related to differential constraints. The missing data corresponds to the lack of information on the surface outside the network of curves. In order to deal with these problems and propose practical solutions for the reconstruction, hypotheses either on the surface models or the topology of the network of curves are required. Therefore, the developed methods fall within the two following approaches.– On the one hand, reconstruction methods for developable and quasi-developable surfaces, which are a good approximation for the surfaces considered in numerous applications.– On the other hand, reconstruction methods from networks of curves with specific topologies (quasi-planar curves, open network) so as to deal with the closure problem.The set of methods developed in this work allow to formulate a global process for the reconstruction of surfaces, with flexible algorithms adapting to the different practical situations, so as to propose a solution both simple and precise in each case. The validation of our results in the case of real sensors data provided by the Morphosense ribbons also led us to develop metrological device. Finally, notice that the general context of reconstruction from orientation data studied here raises original theorical problems, to which we tried to answer with innovative solutions through interpolation and optimization algorithms