A propos de la consistance d’un estimateur du maximum de vraisemblance utilisé dans la modélisation de données d’accidents

Abstract

L'ensemble des méthodes statistiques utilisées dans la modélisation de données nécessite la recherche de solutions optimales locales mais aussi l’estimation de la précision (écart-type) liée à ces solutions. Ces méthodes consistent à optimiser, par approximations itératives, la fonction de vraisemblance ou une version approchée. Classiquement, on utilise des versions adaptées de la méthode de Newton-Raphson ou des scores de Fisher. Du fait qu'elles nécessitent des inversions matricielles, ces méthodes peuvent être complexes à mettre en œuvre numériquement en grandes dimensions ou lorsque les matrices impliquées ne sont pas inversibles. Pour contourner ces difficultés, des procédures itératives ne nécessitant pas d’inversion matricielle telles que les algorithmes MM (Minorization-Maximization) ont été proposées et sont considérés comme pertinents pour les problèmes en grandes dimensions et pour certaines distributions discrètes multivariées. Parmi les nouvelles approches proposées dans le cadre de la modélisation en sécurité routière, figure un algorithme nommé algorithme cyclique itératif (CA). Cette thèse a un double objectif. Le premier est d'étudier l'algorithme CA des points de vue algorithmique et stochastique; le second est de généraliser l'algorithme cyclique itératif à des modèles plus complexes intégrant des distributions discrètes multivariées et de comparer la performance de l’algorithme CA généralisé à celle de ses compétiteurs.Most of the statistical methods used in data modeling require the search for local optimal solutions but also the estimation of standard errors linked to these solutions. These methods consist in maximizing by successive approximations the likelihood function or its approximation. Generally, one uses numerical methods adapted from the Newton-Raphson method or Fisher’s scoring. Because they require matrix inversions, these methods can be complex to implement numerically in large dimensions or when involved matrices are not invertible. To overcome these difficulties, iterative procedures requiring no matrix inversion such as MM (Minorization-Maximization) algorithms have been proposed and are considered to be efficient for problems in large dimensions and some multivariate discrete distributions. Among the new approaches proposed for data modeling in road safety, is an algorithm called iterative cyclic algorithm (CA). This thesis has two main objectives: (a) the first is to study the convergence properties of the cyclic algorithm from both numerical and stochastic viewpoints and (b) the second is to generalize the CA to more general models integrating discrete multivariate distributions and compare the performance of the generalized CA to those of its competitors