Tehnika Bellmanovih funkcija u matematičkoj analizi

Abstract

U ovom diplomskom radu obrazlaže se osnovni princip tehnike Bellmanovih funkcija primjenama na nekoliko konkretnih problema u harmonijskoj analizi. Najprije se definiraju osnovni pojmovi i dokazuju pomoćni rezultati potrebni u tehnici Bellmanovih funkcija. Potom se detaljno opisuje navedena tehnika na primjerima dokaza dijadske $L^p$ verzije Carlesonog teorema ulaganja i dokaza dijadske $L^p$ verzije Hardy-Littlewoodovog maksimalnog teorema, gdje se konstruira Bellmanova funkcija kao rješenje homogene Monge-Ampèreove jednadžbe s rubnim uvjetima. Na kraju se dokazuje nužnost sumacijskih uvjeta za nekoliko klasa dijadskih težina.In this thesis the basic principle of the Bellman function technique is explained on a few specific problems in harmonic analysis. Firstly, basic concepts are defined and additional results needed in the Bellman function technique are proven. Then, the mentioned technique is described in detail by examples of proof of the dyadic $L^p$ version of Carleson embedding theorem and the proof of the dyadic $L^p$ version of Hardy-Littlewood maximal theorem, where the Bellman function is constructed as a solution to the homogeneous Monge-Amp èreove equation with boundary conditions. Lastly, the necessity of summation conditions is proven for a few classes of dyadic weights