Glavna ideja ovog završnog rada je upoznavanje s algebarskim
strukturama prstenima i poljima. Upoznat ćemo najvažnija svojstva binarnih
operacija tih struktura i najbitnije definicije. Kako bi svojstva i definicije bile što
razumljivije, navedeni su i neki primjeri prstena i polja. Opisano je i računanje
pomoću Karatsubinog algoritma što uvelike skraćuje posao u računanju s velikim
brojevima.The main idea of this Final Paper is introducing algebraic structures:
rings and fields. We are going to introduce the most important properties of binary
operations and main definitions. For better understanding of these properties and
definitions, there are some examples of rings and fields set out. It is also described
calculation by Karatsuba algorithm which makes work quicker when we calculate with
large numbers

Tomičević, Tena

Repository of Josip Juraj Strossmayer University of Osijek

Sveucˇiliˇste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematikuPreddiplomski studij matematikeTena Tomicˇevic´Polja i prsteniZavrsˇni radOsijek, 2016.Sveucˇiliˇste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematikuPreddiplomski studij matematikeTena Tomicˇevic´Polja i prsteniZavrsˇni radmentor: izv. prof. dr. sc. Ivan Matic´Osijek, 2016.Sazˇetak. Glavna ideja ovog zavrsˇnog rada je upoznavanje s algebarskimstrukturama prstenima i poljima. Upoznat c´emo najvazˇnija svojstva binarnihoperacija tih struktura i najbitnije definicije. Kako bi svojstva i definicije bile sˇtorazumljivije, navedeni su i neki primjeri prstena i polja. Opisano je i racˇunanjepomoc´u Karatsubinog algoritma sˇto uvelike skrac´uje posao u racˇunanju s velikimbrojevima.Kljucˇne rijecˇi: Prsteni, polja, Karatsubin algoritamAbstract. The main idea of this Final Paper is introducing algebraic structures:rings and fields. We are going to introduce the most important properties of binaryoperations and main definitions. For better understanding of these properties anddefinitions, there are some examples of rings and fields set out. It is also describedcalculation by Karatsuba algorithm which makes work quicker when we calculate withlarge numbers.Keywords: Rings, fields, Karatsuba multiplicationSadrzˇaj1. Uvod 12. Prsteni 22.1. Karakteristike prstena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Komutativni prsteni i Karatsubin algoritam . . . . . . . . . . . . . . . 73. Polja 103.1. Karakteristike polja i primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. ZAKLJUCˇAK 135. LITERATURA 14Polja i prsteni 11. UvodAlgebra je jedna od fundamentalnih grana matematike. Jedna od moguc´ihdefinicija bila bi da je to nauka o algebarskim operacijama, odnosno proucˇavanjealgebarskih struktura. Pritom priroda samih elemenata skupa na kojemu se izvodespomenute algebarske operacije nije od primarne vazˇnosti vec´ je primarni ciljproucˇavanje tih algebarskih operacija. Algebarske strukture mozˇemo podijeliti natri cjeline: grupe, prstene i polja.U ovom radu naglasak c´e biti na prstene i polja. Cilj rada je prikazati pojmovnoodredenje prstena i polja, njihove najvazˇnije karakteristike, te primjere takvihstruktura.Osim navedenog dotaknut c´emo se i nekih posljedica aksioma vezanih uz operacije ukomutativnom prstenu.Polja i prsteni 22. PrsteniZa pocˇetak promotrimo jedan primjer.Primjer 2.1 Pretpostavimo da zˇelimo nac´i neki cijeli broj x kako bi rijesˇilisljedec´u jednadzˇbu:(3 + x) + 4 = 9.U rjesˇenju jednadzˇbe se koriste razlicˇita svojstva jednakosti, primjerice:ako je a = b, tada je i b = a (simetricˇnost), ako je a = b i b = c onda je a = c(tranzitivnost) i ako je a = b, onda je a + c = b + c.Za rjesˇavanje jednadzˇbe prvo se koristi svojstvo komutativnosti, odnosno piˇsemo:3 + x = x + 3,te se broj 4 dodaje na obje strane i dobivamo:(3 + x) + 4 = (x + 3) + 4.Koriˇstenjem svojstva asocijativnosti slijedi:(x + 3) + 4 = x + (3 + 4) = x + 7.Koriˇstenjem svojstva tranzitivnosti dobivamo izraz:(3 + x) + 4 = x + 7.Simetricˇnost i tranzitivnost jednakosti nam daju:x + 7 = 9.Zatim dodamo −7 na obje strane:(x + 7) + (−7) = 9 + (−7) = 2.Koriˇstenjem svojstva asocijativnosti imamo:(x + 7) + (−7) = x + (7 + (−7)).S obzirom da je 7 + (−7) = 0 prijenosom jednakosti dobivamo:(x + 7) +−7 = x + 0.I na kraju ponovnim sumiranjem jednakosti i koriˇstenjem svojstva simetricˇnosti,konacˇan rezultat je:x = 2.Polja i prsteni 3Za ovako pomalo mukotrpno rjesˇavanje ove jednadzˇbe koriˇsteni su cijeli brojevi injihova svojstva: svojstvo da je zbroj dvaju cijelih brojeva cijeli broj, svojstvakomutativnosti, asocijativnosti i tranzitivnosti. Primjetimo da svi cijeli brojevi imajusvoje inverze obzirom na operaciju zbrajanja a neutralni element je 0. Skup cijelihbrojeva Z s navedenom operacijom zbrajanja i spomenutim svojstvima naziva seAbelova ili komutativna grupa.Za razliku od grupa gdje postoji samo jedna binarna operacija, kod prstena imamodvije. Imajuc´i na umu prsten (Z,+,∗) kao prvi pravi i osnovni primjer, binarne operacijesu zbrajanje i mnozˇenje. Preciznije, zapiˇsimo sljedec´u definiciju:Definicija 2.1 Za neprazan skup R na kome su zadane binarne operacije zbrajanja+: R×R→ R i mnozˇenja ∗ : R×R→ R sa svojstvima:• (R,+) je komutativna (Abelova) grupa, sa neutralnim elementom 0• (R,∗) je polugrupa, tj. mnozˇenje je asocijativno• vrijedi distributivnost mnozˇenja prema zbrajanju, odnosnox ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z(x + y) ∗ z = x ∗ z + y ∗ z, ∀x, y, z ∈ R,kazˇemo da je prsten i oznacˇavamo ga s: R = (R,+,∗).Polja i prsteni 42.1. Karakteristike prstenaAko je mnozˇenje u prstenu R komutativno, R nazivamo komutativni prsten.U suprotnom govorimo o nekomutativnom prstenu.Kazˇemo da je R prsten s jedinicom ili unitalni prsten ako postoji element 1 ∈ R takavda je 1 ∗ a = a ∗ 1 = a, ∀a ∈ R.Element 1 s tim svojstvom je jedinstven i naziva se jedinica prstena R.Ako imamo situaciju da je jedinica prstena jednaka nuli tog prstena, tada se taj prstennaziva trivijalan prsten.Vrlo vazˇan pojam vezan uz komutativan prsten je integralna domena. No prvodefinirajmo djelitelj nule u prstenu.Definicija 2.2 Kazˇemo da je element a ∈ R (a 6= 0) djelitelj nule ako postoji b ∈ R,(b 6= 0) takav da je a ∗ b = 0.Definicija 2.3 Kazˇemo da je komutativan unitalan prsten R (R 6= {0}) integralnadomena ako R nema djelitelja nule.Definicija 2.4 Za skup S koji je podskup prstena R (S 6= {∅}) kazˇemo da je potprstenprstena R ako je S i sam prsten uz iste operacije, pri cˇemu za proizvoljne a, b ∈ Svrijedi:• (a− b) ∈ S• (a ∗ b) ∈ S.Inacˇe, pri istrazˇivanju algebarskih struktura cˇesto se mozˇe naic´i na pojmovehomomorfizma i izomorfizma pa ih je prirodno ovdje definirati iako se ovom prilikomnec´emo baviti njihovim proucˇavanjem.Definicija 2.5 Za preslikavanje ϕ : R→ S kazˇemo da je homomorfizam prstenovaR i S ako vrijedi:• ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)• ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b), ∀a, b ∈ R.Ako je preslikavanje ϕ homomorfizam i bijekcija, onda se takvo preslikavanje nazivaizomorfizam prstena R i S i piˇsemo R ∼= S.Polja i prsteni 5Elementarna svojstva prstena dana su sljedec´im teoremom.Teorem 2.1 Neka je R prsten. Tada ∀a, b, c ∈ R vrijedi:a ∗ 0 = 0 ∗ a = 0 (1)a ∗ (−b) = −(a ∗ b) = (−a) ∗ b (2)a ∗ (b− c) = a ∗ b− a ∗ c, (a− b) ∗ c = a ∗ c− b ∗ c. (3)Dokaz: (1) Iz distributivnosti mnozˇenja prema zbrajanju slijedi:a ∗ 0 = a ∗ (0 + 0) = a ∗ 0 + a ∗ 0sˇto prema definiciji neutralnog elementa implicira a ∗ 0 = 0. Slicˇno se pokazuje da je0 ∗ a = 0.(2) Distributivnost mnozˇenja daje:0 = a ∗ 0 = a ∗ (b + (−b)) = a ∗ b + a ∗ (−b)pa iz definicije inverznog elementa slijedi a ∗ (−b) = −(a ∗ b). Slicˇno se pokazuje da je−(a ∗ b) = (−a) ∗ b.(3) Koristec´i svojstvo (iz dokaza (2)) dobivamo:0 = a ∗ (b− c) = a ∗ (b + (−c)) = a ∗ b + a ∗ (−c) = a ∗ b− a ∗ ci slicˇno: (a− b) ∗ c = (a + (−b)) ∗ c = a ∗ c + (−b) ∗ c = a ∗ c− b ∗ c. 2Polja i prsteni 6Navedimo neke primjere prstena:• Neka je (R,+) Abelova grupa. Ako na R definiramo mnozˇenje s a ∗ b = 0∀a, b ∈ R, tada dobivamo trivijalni prsten.• Standardni primjeri prstena s jedinicom su skupovi brojeva Q, R i C sastandardnim operacijama zbrajanja i mnozˇenja.• Neka je Mn(F) skup kvadratnih matrica reda n nad F = R ili C. Mn(F) je prstens operacijama matricˇnog zbrajanja i mnozˇenja. Nula u prstenu je nul matrica, ajedinica je jedinicˇna matrica.I navedimo neke primjere koji nisu prsteni:• Skup prirodnih brojeva N s uobicˇajenim operacijama zbrajanja i mnozˇenja.• Skup svih nenegativnih realnih brojeva R+ s uobicˇajenim operacijama zbrajanja imnozˇenja.• Skup Z\{3} s uobicˇajenim operacijama zbrajanja i mnozˇenja.Polja i prsteni 72.2. Komutativni prsteni i Karatsubin algoritamPrema Knjizi 2 Euklidovih Elemenata primjenom zakona distributivnosti za elementeA i B proizvoljnog komutativnog prstena prstena dobivamo jednakost:A2 −B2 = (A + B)(A−B).Sada c´emo provesti pomalo mukotrpan postupak, ali iz razloga sˇto c´emo gornji izrazdokazati pomoc´u svojstava komutativnog prstena.(A + B)(A−B) = (A + B)(A + (−B))= A(A + (−B)) + B(A + (−B)) (zakon distributivnosti)= (A2 + A(−B)) + (BA + B(−B)) (zakon distributivnosti)= (A2 + (−(AB))) + (BA + (−(B2))) (Teorem 2.1.)= (A2 + (−AB))) + (AB + (−(B2))) (komutativnost mnozˇenja)= (A2 + (−AB + AB)) + (−(B2)) (asocijativnost)= (A2 − 0)−B2 (definicija neutralnog elementa)= A2 −B2 (definicija nule).Tablicom 1. je prikazano uobicˇajeno mnozˇenje:a1 a0b1 b0a1b0 a0b0a1b1 a0b1a1b1 a0b1 + a1b0 a0b0Tablica 1.Primjenjujuc´i zakon distributivnosti tri puta (u prva dva reda dokaza), dobivamo istokao da primjenjujemo nacˇin mnozˇenja koji se josˇ naziva FOIL (First, Outside, Inside,Last). Kako bi pomnozˇili izraz (1 + 2) · (3 + 4) prema FOIL-u prvo mnozˇimo 1 i 3,zatim vanjske brojeve 1 i 4, nakon toga unutarnje 2 i 3 te na kraju ostaju josˇ brojevi2 i 4, a onda sve sumiramo i krajnji rezultat nam izgleda ovako: 3 + 4 + 6 + 8 = 21.Jednostavna posljedica takvog nacˇina mnozˇenja je sljedec´a propozicija:Propozicija 2.1 Za sve elemente komutativnog prstena a0, a1, b0, b1 vrijedi jednakost:a1 · b0 + a0 · b1 = (a1 · b1 + a0 · b0)− (a1 − a0) · (b1 − b0).Posljedicu ove propozicije otkrio je Anatolij Aleksejevic´ Karatsuba josˇ 1960. aliobjavio ju je dvije godine nakon otkric´a. Obratimo pozornost na standardnialgoritam za mnozˇenje prikazan u Tablici 1.Polja i prsteni 8Uobicˇajeno je koriˇsten zakon distributivnosti, asocijativnost zbrajanja, tekomutativnost zbrajanja i mnozˇenja sˇto ukljucˇuje mnozˇenje znamenaka cˇetiri puta:a1 · b1, a0 · b1, a1 · b0 i a0 · b0.Algoritam:(a1r + a0)(b1r + b0) = (a1b1r2 + a1b0r) + (a0b1r + a0b0)= a1b1r2 + a1b0r + a0b1r + a0b0= a1b1r2 + (a1b0 + a0b1)r + a0b0.Propozicija 2.1. nam upravo govori da srediˇsnji izraz iz Tablice 1. a0b1 + a1b0mozˇemo zamijeniti izrazom (a1b1 + a0b− 0)− (a1 − a0)(b1 − b0). Sada nasˇ algoritamizgleda nesˇto drugacˇije pa pogledajmo Tablicu 2.Algoritam:(a1r + a0)(b1r + b0) = a1b1r2 + (a1b0 + a0b1)r + a0b0)= a1b1r2 + (a1b1r + a0b0r − (a1 − a0)(b1 − b0)r) + a0b0= (a0b0r + a0b0) + (a1b1r2 + a1b1r)− (a1 − a0)(b1 − b0)r.a1 a0b1 b0a0b0 a0b0a1b1 a1b1−(a1 − a0)(b1 − b0)a1b1 a0b1 + a1b0 a0b0Tablica 2.Ovaj nacˇin mnozˇenja opisuje se algoritmom i naziva Karatsuba-Ofman algoritam.Upravo on se koristi za brzo mnozˇenje brojeva. Karatsuba je dosˇao do zakljucˇka daje za racˇunanje produkta dva dvoznamenkasta broja dovoljno samo tri mnozˇenjaznamenaka, za razliku od standardnih cˇetiri.a0 · b0a1 · b1(a1 − a0) · (b1 − b0)sˇto je brzˇe i krac´e nego:a0 · b0a1 · b1a1 · b0a0 · b1.Polja i prsteni 9Moc´ ovog algoritma se ocˇituje u tome da je on vrlo efikasan za velike brojeve.Kako bi zbrojili dva cˇetveroznamenkasta broja (zapisana u dekadskoj bazi) napiˇsemoih u obliku: a1 · 102 + a0 i b1 · 102 + b0.Zatim koristec´i Karatsubino mnozˇenje imamo:(a1 ·102+a0) ·(b1 ·102+b0) = (a1 ·b1 ·104+(a1 ·b1+a0 ·b0−(a1−a0) ·(b1−b0)) ·102+a0 ·b0sˇto ukljucˇuje mnozˇenje dvoznamenkastih brojeva 3 puta, a mnozˇenje pojedineznamenke se ponavlja josˇ tri puta pa sveukupno imamo 9 mnozˇenja svake znamenke.Standardno mnozˇenje bi zahtijevalo 16 mnozˇenja iz cˇega je vidljiva ranije spomenutaefikasnost. U praksi se za brojeve s manje znamenki koristi uobicˇajeni algoritam, a zabrojeve s viˇse znamenki Karatsubin.Polja i prsteni 103. PoljaAnalogno kao u prosˇlom poglavlju zapocˇet c´emo primjerom.Primjer 3.1 Sada nas u sustavu racionalnih brojeva Q zanima rjesˇenje jednadzˇbe:(3x + 1) · 25= 7.U rjesˇavanju c´emo koristiti svojstva kao i u jednadzˇbi iz poglavlja Prsteni:(3x + 1) · 25= (3x) · 25+ 1 · 25(distributivnost)= (3x) · 25+25(1 je neutralan element za mnozˇenje)= 3 ·(x · 25)+25(asocijativnost)= 3 ·(25· x)+25(komutativnost)=(3 · 25)· x + 25(asocijativnost)=65· x + 25.Simetrijom i prijenosom jednakosti izvorna jednadzˇba je65· x + 25= 7.Potom na obje strane se dodaje −25i s desne strane dobivamo:7 +(− 25)=335.Odnosno (65· x + 25)− 25=65· x +(25+(− 25))(asocijativnost)=65· x + 0=65· x.Zatim se dobiva jednadzˇba:65· x = 335.Metodom asocijativnosti slijedi:(56· 65)· x = 1 · x = x⇒ x = 56· 335=336.Polja i prsteni 11U navedenoj jednadzˇbi koriˇstena su svojstva:• distributivnost mnozˇenja• komutativnost mnozˇenja• 1 je neutralan element za mnozˇenje• svaki racionalan broj osim nula ima svoj inverz.Uz navedena svojstva i dvije binarne operacije (zbrajanje i mnozˇenje) skup racionalnihbrojeva Q je polje. Kako bismo bolje razumjeli definiciju polja prisjetimo se sˇto su toinvertibilni elementi.Definicija 3.1 U komutativnom prstenu R za element a ∈ R kazˇemo da jeinvertibilan ako postoji element b ∈ R takav da vrijedi: a · b = b · a = 1.Skup svih invertibilnih elemenata nekog prstena R oznacˇavamo sa R∗. PrimjericeZ∗ = {1,−1} i Q∗ = Q \ {0}.Definicija 3.2 Kazˇemo da je prsten R tijelo, ili prsten s dijeljenjem, ako je svakielement razlicˇit od nule u R invertibilan.Komutativno tijelo naziva se polje.Definicija 3.3 Kazˇemo da je F polje, ako je F komutativni prsten koji zadovoljavadodatna dva svojstva:1. Svaki nenul element iz F je invertibilan2. F ima barem dva elementa (netrivijalno polje).Polja i prsteni 123.1. Karakteristike polja i primjeriEksplicitno, polje je definirano svojstvom zatvorenosti na zbrajanje i mnozˇenje, pricˇemu su zbrajanje i mnozˇenje asocijativne i komutativne binarne operacije te vrijedidistributivnost mnozˇenja prema zbrajanju.Takoder, postoji i neutralan element za zbrajanje, to je nula, te neutralan elementza mnozˇenje, to je jedan. Osim neutralnog elementa, postoji i inverzni element zazbrajanje i mnozˇenje. Uvjet da je nula razlicˇito od jedan osigurava da skup koji sadrzˇisamo jedan element nije polje.Navedimo neke osnovne primjere:• Polje racionalnih brojeva Q.• Polje realnih brojeva R.• Polje kompleksnih brojeva C.Promotrimo skup Zp = {0, 1, 2, . . . , p − 1}. Zp je prsten uz operacije zbrajanja imnozˇenja modulo p.Pokazˇimo na primjeru kako su definirane operacije u prstenu Zp.Primjer 3.2 Neka je nasˇ p = 5. Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}.2 +5 4 = 6 (mod 5) = 1.2 ·5 4 = 8 (mod 5) = 3.U polju nam je Zp \ {0} = (Zp)∗. Prsten Zp je polje ako i samo ako je p prirodan prostbroj. Primijetimo da je Zp ∼= Z/pZ.Za prstene ostataka modulo n vrijedi: Z/nZ je polje ako je Z/nZ integralna domenaako i samo ako je n prost prirodan broj. Ta cˇinjenica je zapravo samo specijalan slucˇajopc´enitog fenomena koji govori da je svaka konacˇna integralna domena polje. Taj serezultat dokazuje u dva koraka. Prvi je vrlo jednostavan i govori da je svaka konacˇnaintegralna domena tijelo. Drugi korak, koji je dosta kompliciraniji, predmet je tzv.Wedderburnovog teorema koji kazˇe da je svako konacˇno tijelo sˇtoviˇse i polje, odnosnocˇim imamo konacˇnost imamo i komutativnost.Polja i prsteni 134. ZAKLJUCˇAKPolje je algebarska struktura u kojoj se izvode operacije zbrajanja, oduzimanja, mnozˇenjai dijeljenja (osim dijeljenja s nulom) i gdje vrijede pravila iz aritmetike.Sva polja predstavljaju i prstene, ali nisu svi prsteni polja. Glavna razlika je sˇto jeoperacija dijeljenja u polju moguc´a te operacija mnozˇenja uvijek komutativna.Prvi i osnovni primjeri polja, koji su fundamentalni objekti u svim granama matematikesu polje racionalnih brojeva Q, polje realnih brojeva R i polje kompleksnih brojeva C.Osnovna podjela prstena je na komutativne i nekomutativne. Naime, isto kao i kodgrupa, u pravilu je proucˇavanje strukture nekomutativnih prstena puno kompliciranijenego kod onih koji su komutativni.Karatsuba algoritam je primjer algoritma koji uvelike skrac´uje broj i vrijeme izvodenjaoperacija mnozˇenja te je izuzetno efikasan za velike brojeve.Polja i prsteni 145. LITERATURA[1] N.L. Childs: A Concrete Introduction to Higher Algebra, Third Edition,Springer, 2000.[2] C.K. Koc: High-Speed RSA Implementation , TR 201, RSA Laboratories, 1994.[3] H. Kraljevic´: Algebra, Odjel za matematiku, Sveucˇiliˇste Josipa Jurja Strossmayerau Osijeku, 2007.[4] S. Kresˇic´-Juric´: Algebarske strukture, Skripta, PMF - Odjel za matematiku,Sveucˇiliˇste u Splitu, 2013.[5] B. Sˇirola: Algebarske sturkture, predavanja, PMF - Matematicˇki odsjek,Sveucˇiliˇste u Zagrebu, 2008.

Fields and Rings

Croatian Digital Thesis Repository

https://repozitorij.unios.hr/islandora/object/mathos:90/datastream/PDF

Fields and Rings

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository of Josip Juraj Strossmayer University of Osijek

Croatian Digital Thesis Repository