"Rozważa się układ nierówności różniczkowych typu parabolicznego (w sensie J. Szarskiego) postaci (...)" (fragm. streszczenia

Chabrowski, Jan

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Repozytorium Uniwersytetu Śląskiego RE-BUŚ

             Title: Sur un systeme non lineaire d'inegalites aux derivees partielles du type parabolique   Author: Jan Chabrowski  Citation style: Chabrowski Jan. (1973). Sur un systeme non lineaire d'inegalites aux derivees partielles du type parabolique. "Prace Naukowe Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. Prace Matematyczne" (Nr 3 (1973), s. 17-23) PRAC E  N AU KO W E U N IW ERSYTETU  ŚLĄSKIEG O  W  K A TO W IC A C H  N R  30PRACE M ATEM ATYCZN E  III, 1973JAN  C H ABRO W SKISUR UN SYSTÈME NON LINÉAIRE  DTNÊGALITÉS AU X  DÉRIVÉES PARTIELLES DU TYPE  PARABOLIQUEDans la note présente nous considérons les inégalités non linéaires du type parabolique dans des domaines non bornés et dans une classe de fonctions satisfaisant à une condition de la croissance à 1 infini. Comme une conséquence nous obtenons des théorèmes sur l ’unicité des solutions des problèmes aux limites pour un système d’équations non linéaires du type parabolique.1. Introduisons d’abord des définitions et des notations (voir [2]).Soit En+1 l ’espace-temps à n +  1 dimensions de points (t, x) =  (t, Xj xn).Soit B un ensemble ouvert et non borné de l ’espace En des variables spatiales (x1;. . . ,  x „) et posonsD  =  ( —oo ,+oo )X B , Dtu =  (—oo, ta)X B , r  =  ( — oo, +  oo)X3 B  et - o =  ( - o o ,  t0) X 3 B  U (* =  to )XB ,où 3 B désigne la frontière de B.D ÉFINITION 1. La fonction F 1 (t, x, Z, Q, R ), où Z  =  (zu . . . ,  zm), Q =  (Qu ■ • • ,Qn), R =  (ru , r 12, r nn), définie pour (t, x ) e  D  ((t, x ) e  Dt#), Z, Q, R arbitraires, est dite elliptique par rapport à une suite de fonctions U(t, x ) =  {u i(t, x ) }  (j =  1 , m)  de classe C1 dans D  (D t0) lorsque pour toute suite de nombres r )k, r}k (j, k ~  1 .  ri), où r ik =  rk), r jk — rk}, telle que la form e quadratiquen(rjk. rjij) kj kkj, k—lest non positive, on a l’inégalitéFi (t, x, U (t, x), u*x (t, x), R ) <  Fi (t, x, U  (t, x ), u*x (t, x), R),oùu ix ~  (u ix t , • ■ ■ , u ix n) ‘1 Prace matematyczne I I I 17D EFIN ITIO N 2. Nous disons que la suite de fonctions F 1 (t, x, Z, Q, R> satisfait à la condition W, lorsque l’indice i étant fixé arbitrairement les relationsz’ (j =  1 , .. ., m; j i), zï =  zl impliquent l ’inégalitéFi (t, x, Z, Q, R ) <  F1 (t, x, Z, Q, R).D EFINITION 3. Nous disons que la fonction  F* (t, x, Z, Q, R) satisfait à la condition L  lorsqu’elle vérifie l ’inégalitén[F* (t,x, Z, Q, R )—Fi (t, x, Z, Q, R )] sgn (z*—z‘) <  L XA  (r) ^  | r jk—r jk | +j , k = l+ L î  t 1 l + L >  [ & ] ’  S 1- L‘ [fvds(s)où r2 =  'y  ^ x t2 +  2, L 1; L 2, L 3 et L i sont des constantes positive et dei  =  lplus L t et L t satisfont à l’inégalité(1 ) (m — 1 ) L 3 < L 4(Nous admettons que sgn 0 — 1). La fonction A  (s) intervenant dans cette condition est définie pour s ^  1, de classe C1 et satisfait aux conditions(a) A (s) >  0 pour s ^  1, (b) f  ,\ \ A- (s)(c) 1 A (r  j  <  M , r  ( 7 = = ,  (d) y - / A ( r )  <  Ms f=  OO,sp\ y/ A  (s )9 ' dr " \ sj A  (s)où M l et M 2 sont des constantes positives.r ds, . REMARQUE. Vu que r >  | 2, on peut admettre que f ^  1 .\ A  (s)DÉFIN ITION 4. Une fonction f  {t, x ) est dite de classe E^dans l’ensem­ble D (D to) lorsqu’il existe des constantes -positives M  et a telles quef  (t, x ) M  exp r ds 1 3j-l m > \ + aMpour (t , x ) e D  ((t, x ) e D to) et(2) 4a2 n2 L j n + a  (2 n2 L j M 1 +  2 n2L i M 2 +  2 L j n2 +2 L 1 M x n+ 2  L 2 n+!•)•+(ni— 1) L 3—L 4 ^  0,où Lj, L 2, L 3, L 4, et M 2 sont les constantes introduites dans la définition 3. Analogiquement, une fonction f(t, x ) satisfaisant à l’inégalitéf  (t, x ) M  exp nr ds2+ a  | t |J  . V A  (s)iet vérifiant (2) appartient à la classe E aA.PosonsEa =  2%CIË*2. Les définitions du paragraphe 1 étant adoptées, pous pouvons énoncer le théorème suivantTHÉORÈME 1. Supposons que1 ° Les fonctions F ł (t, x ,Z ,Q ,R )  ( i =  1 ,.. ., m ) sont définies pour (t, x) e  D ((t, x ) e  D to) et Z, Q, R arbitraires et satisfont aux conditions W et L.2° Les fonctions ul (t, x), vl (t, x ) (i =  1 ,. . . ,m ) sont continues dans la fermeture de D  (D tg), de classe C1 dans D (D tu) et possèdent des dérivées partielles du second ordre par rapport aux variables (x u . . . ,  x n) continues dans D  (D tg) et de plus ul e  E “ , v l e  E ![ .3° Pour chanque indice i la fonction Ft (t, x, Z, Q, R ) est elliptique par rapport à la suite {uJ (t, x )}  (j =- 1, , m) .4° Les inégalités différentiellesu) (t, x )  <  F1 (t, x, U (t, æ), uf (t, x), u[xx (t, x)). v\ (t, x) >  F 1 (t, x  V (t, x ) ,  V lx (t, x), v[xx(t, x))1, . . . ,  m) sont remplies dans tout point (t, x ) e  D [{t, x ) e  D to).(iu' (t, x ) ^  v l (t, x) (i =  1 ,. .. , m)pour (t, x ) 6  T ((t, x ) e r to).Dans toutes ces hypothèses, les inégalités(3) . u1 (t, x ) ^  v l (t, x ) ( i =  1, . . . , m)ont lieu dans D  (D to).D é m o n s t r a t i o n ,  La démonstration est strictement analogue à celle du théorème 1 dans [1], Nous introduisons une fonction auxiliaire des variables (t, x ) et du paramèthe cp de la forme suivanter  ds?) J V M s )_ iH (t, x ) =  expoù aj satisfait à l ’inégalité (2) et de plus >  a Posonscosh ajt,) F  (H) -  L x A  (r) ^  | Hx,Xj \ + L Z V A  (r) Jr /i,j=l+  [ ( m - l ) L 3- L 4]V A  (s)ds V A js )+i=iEn appliquant les propriétés de la fonction A  (s) (définition 3) on peut vérifier par un calcul simple que la fonction H (t, x ) satisfait à l ’inégalitéF  (H ) <  H  (t, x )r/■ds{4  aj n2 L j+ cq  (2n2 L j M 2 +  2L j n2 +V A (s )+  2n 2Lj AÎJ +  2LJ M4 n+2L2 n + l )  +  (m—1) L3—L4}.Puisque oq satisfait à l ’inégalité (2), donc nous avons(5) F  (H ) 0 pour (t, x ) e  D.Introduisons encore les fonctions(6) u4 =  ülH vl =  u4H.Les inégalités (3) sont équivalentes aux inégalités(7) ü’ ^  u4 pour (t, x ) e D.Il suffit donc de démontrer (7). En vertu de l ’inégalité cq >  a, à e >  0 on peut faire correspondre un nombre R  >  0 tel que pour (t, x ) e D— K R on ait(8) ü4 (t, x ) — vl (t, x ) ^  e (i =  1 , . . . ,  m),où K r  — {(t , x); | x  |2 +  t2 ^  R2} .Nous montrerons que l ’inégalité (8) est remplie dans D. Dans le cas contraire il existerait u nindex j et un point (t*, x*) s  K R f l D  tel que£ < iu i (t*, x*) — vi (t*, x*) =  maximax Tu4 (t, x ) — u4 (t, x).D ’après l ’inégalité (8) et l ’hypothèse 5°, (t*, x*) est un point intérieur de l ’ensemble K R f l D, donc(9) u\ (t*, x*) — v j (t*, x*) =  0; u Jx (t*, x*) — v>x (t*, x*) =  0k knIk,l = l(fc =  1, . . ,  n),u[ (t*, X*) — v{ T (t*, X*)pour tout vecteur (A1;. . . ,  Xn). Posons encoreQu =  j[üi (t*, x*) H  (t*, x*) 4- (t*, x*) HXI (t*, x*)Jn1 = 1 ,* r * )  \ ^’ 1 = 1 ,Qu —[ yj (t*j a;*) H  (t*) X*) +  U* (t*, X *) HXl, (t\ "iRu =|.üi x (t*, x*) H (t*, x*) +  ü>x (t*, x*) Hx (t*, x*) +I  V ; z An+  u>x (t*, x*) HXI (t* x*) +  üi (t*, x*) Hx x (t*, X*).fc i fc J fc, I  =  1,R° =  |djx (t*, x*) H (t*, x*) +  u1 (t*, x*) Hx (t*, x*) +I V z  *1 *nfc, I =  1 ,+  v ‘ (t*, x*) Hx; (t*, x*) +  u7(t*, x*) H x (t*, x*) 1 A' Ik  JR uu =  I v’ (t*, x * )  H  (t*, x*) +  ü ’ (t*, x*) H  (t*, x*) +[  xkxi x i Xku> (t*, x*) H (t*, X*) +  ûi (t*, X*) H (t*, x * ) }r'k Z XlXk j Î. fc =  1,W  (t*, x * ) =  { i u l  (t*, x * ) }  ( 1=  1, . . . ,  n), t o 1 (t*, x*) =  max (ü1 ( t* ,  x * ) ,  p l )  t * ,  x ) ) .  D ’après l ’hypothèse 4° nous avons(10) [ü j (t*. x*) — ü \ (t*, x * )] H  (t*, x*) +  [üi  (t*, x * )—vi (t*, x*)] H t (t*, x*)[FI (t*, x*, U  (t*, x*) H  (t*, x*), Qu, R U) — F1 (t *, x*, U  (t*, x*) H  (t*, x*),Qu +  [y j (t*) x *; u  (t* x*) h  (t*, x*), Q“ f l « ) -— F j (t*, x*, W (t*, x*) H  (t*,x*), Qu, Rru)] +  [F7 (t*, x*, W (t*, x*),qu, R v u )— F j  y * ' x *t y  (t*, x *) H  (t*,x*), Q «, R «)].Selon 3° la première différence du second membre de cette inégalité est non positive, et en vertud el’hypothèse 1° (la condition W) la deuxième différence est aussi non positive. D ’autre part nous avons(1 1 ) | w1 (t*, x*) — vl (t*, x*) | =  w1 (t*, x*) —vl (t*, x*) ^m ax  ( 0,  ü1 ( t*, x * ) — v l ( t * ,  x * ) )  <  ü f  ( t * ,  x * ) — v~( t* ,  x* ) .pour ï =  1 , . . . ,  m, donc en vertu de la condition L  et de l ’inégalité (11) nous pouvons écrire l ’inégalité (10) sous la forme[ ü{(t*, x * ) - v {  (t*, x*) ] H  (t*, x*) <  F (H) <  0, ce qui est impossible.3. Considérons le système d’équations(12) u\ =  F i (t, x, U , u ‘x , u lxz) ( i  =  1, . . . ,  m)et une solution {u ^ t^ x )} (i =  1 , . . . ,  m ) du ( 12) définie dans l ’ensem­ble D  (Dt ).DÉFINITION 5. La solution { « * ( ! ,  a:)} (i =  1 , . . . ,  m) sera dite solu­tion parabolique régulière du système (12) lorsque chaque fonction F1 est elliptique par rapport à la suite {u 1 (t, x ) }  (i =  1, . . . ,  m) et les fonctions u4 (t, x ) sont continues dans la ferpieture de D (Dto), de classe C1 dans D (Dt ) et possèdent des dérivées partielles du second ordre par rapport aux variables (x lt . . . , x n) continues dans D  (D tJ .Le théorème suivant est une conséquence immédiate du théorème 1.THÉORÈME 2. Dans les hypothèses 1° et 3° du théorème 1 le pro­blème aux limitesu4 (t, x ) =  q>i (t, x ) (i =  1 , . . ., m)pour (t, x ) e  T  ( r t ), où les fonctions (p, sont données d’avance sur T  (Tt0), rélatif au système (12), admet dans D  (D to) au plus une solution para­bolique régulière de classe EA.T R A V A U X  CITÉS[1] J. C h a b r o w s k i ,  Sur un système non linéaire d’inégalités différentielles pa­raboliques dans un domaine non borné, Ann. Polon. Math. X X I I  (1969), p. 27— 35. F2] J. S z a r s k i, D ifferentia l inequalities, Warszawa 1965.JAN  C H ABRO W SKIO PEW N YM  U K ŁA D Z IE  NIERÓW NOŚCI N IE L IN IO W YC H  RÓ ŻN ICZKO W YCH  O PCCH O BNYCH  C ZĄSTK O W YC H  T Y P U  PARAB O LIC ZN EG OS t r e s z c z e n i eRozważa się układ nierówności różniczkowych typu parabolicznego (w  sensieJ. Sznrskiego) postaci(t, x , U , u ‘x, u ‘XI),v  \ >  F* (t, x, V , v x , v 'xx) =  m )w  obszarach nieograniczonych postaci ( —00, +  00) X  B  lub (— 00, t0) X B (B  C En). Jako wniosek otrzymuje się twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania pierwszeg problemu brzegowego dla układu postaciu ) =  F l (t, x, U, u ‘x , u ‘rx) (z — 1 , ,  m).Oddano do Redakcji 21. 5. 1970 r.

Sur un systeme non lineaire d'inegalites aux derivees partielles du type parabolique

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