Rumpel, Thorsten

Schweizerhof, Karl

KITopen

Rumpel, T.; Schweizerhof, K.Volumenabhängige Druckbelastung bei großen DeformationenQuasistatische Fluid-Festkörperwechselwirkungen sind besonders bei großen Deformationen von Membranstrukturenvon Interesse. Im Beitrag wird speziell auf die Wechselwirkung von Gasdruckkräften in elastischen Mehrkammer-strukturen eingegangen. Die virtuelle Arbeit der Druckbelastung wird zuerst allgemein dargestellt und für die im Rah-men einer nichtlinearen Lösung z.B. mit dem Newton Verfahren erforderliche Aufbereitung linearisiert. Die FiniteElement Diskretisierung führt zu den entsprechenden Steifigkeitsmatizen und zum Residuum der volumenabhängigenDruckkraft. An einem numerischen Beispiel wird die Fluid-Festkörperwechselwirkung vorgeführt.1. Volumenabhängige DruckbelastungDie virtuelle Arbeit der Druckbelastung läßt sich darstellen als:δWext =∫ap n · δu da, (1)mit n =x,ξ ×x,η|x,ξ ×x,η | , da = |x,ξ ×x,η |dξdη, p = p(v(x)).x bezeichnet die Lage eines Oberflächenpunktes, v(x) das Volumen einer Kammer mit Innendruck p und ξ, ηkörperfeste Koordinaten der Oberfläche. Mit n∗ = x,ξ ×x,η als nicht normiertem Normalenverktor ergibt sich füreine Kammer j das Volumen und die virtuelle Arbeit zu:vj =13∫η∫ξx · n∗ dξdη, (2)δW jext =∫η∫ξpj n∗ · δu dξdη. (3)2. LinearisierungBei geometrisch nichtlinearem Strukturverhalten wird die Lösung der entstehenden nichtlinearen Gleichungen übli-cherweise mit Hilfe eines Newtonverfahrens gelöst. Hierzu wird an einem bekannten Zustand xt = X+ut linearisiertund der gesuchte Zustand x = xt + ∆u über den Verschiebungszuwachs ∆u iterativ angenähert. X bezeichnet denAusgangszustand und ut den bekannten Verschiebungszustand. Der linearisierte virtuelle Arbeitsausdruck lautet:δW lin,jext = pjt∫η∫ξn∗ · δu dξdη+13p,jv |t∫η∫ξn∗ · ∆u dξdη∫η∫ξn∗ · δu dξdη+13p,jv |t∫η∫ξ(∆u,ξ ×xt,η −∆u,η ×xt,ξ ) · xt dξdη∫η∫ξn∗ · δu dξdη+ pjt∫η∫ξ(∆u,ξ ×xt,η −∆u,η ×xt,ξ ) · δu dξdη. (4)Mit Hilfe partieller Integration kann die Konservativität der Druckbelastung analog zu [1], [2], [3], [4], [5] auchbei Berücksichtigung der Volumendeformation nachgewiesen werden [6], [7]. Der Druck-Volumengradient p,jv |t einerKammer j berechnet sich aus der thermodynamischen Zustandsgleichung. Für eine isentrope Zustandsänderung (κisentropen Konstante) ergibt sich im Speziellen:p,jv |t = −κpjtvjtaus pvκ = ptvκt . (5)232 PAMM, Proc. Appl. Math. Mech. 1 (2002)First published in:EVA-STAR (Elektronisches Volltextarchiv – Scientific Articles Repository) http://digbib.ubka.uni-karlsruhe.de/volltexte/11552002 3. DiskretisierungWird eine isoparametrische Finite Element Diskretisierung ∆u = Ndse, δu = Nδdse vorgenommen, ergibt sich einalgebraisches Gleichungssystem. Steifigkeitsmatrizen und Residuum einer Kammer j bestehend aus nse Schalenseg-menten (z.B. Solid Shell Elementen) [1] sind:KjDruck.,1 = −pj∑nse∫ 1−1∫ 1−1NT (x,seξ ×N,η +N,ξ ×x,seη ) dξdη (6)KjDruck.,2 = −p,jv∑nse∫ 1−1∫ 1−1NT (x,seξ ×x,seη ) dξdη∑nse∫ 1−1∫ 1−1(x,seξ ×x,seη )TN dξdη= −p,jv aaT mit a =∑nse∫ 1−1∫ 1−1NT (x,seξ ×x,seη ) dξdη (7)Rjext.Druck = pj∑nse∫ 1−1∫ 1−1NT (x,seξ ×x,seη ) dξdη. (8)Gl.(8) zeigt die Volumenabhängigkeit der Druckbelastung, die zu der Kopplung der Freiheitsgrade einer Kammerüber eine Rang-eins-Aufdatierung der üblichen Steifigkeitsmatrizen führt. Die Lösung des globalen Gleichungssystemserfordert demnach zusätzlich zur Lösung mit Steifigkeits- und Druck,1- Matrix pro Iteration j vorwärts-rückwärtsSubstitutionen für j Kammern, wenn der bekannte einfache Zusammenhang nach Sherman-Morrison genutzt wird [7].[KjStruktur. + KjDruck.,1 + KjDruck.,2]dj = Rjint.Kraft + Rjext.Druck (9)4. Numerisches Beispiel0 1 2 3 4 5 6 74704804905005105205305405505600 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4380390400410420430440450460470p [bar]p [bar]V [cm3]V[cm3]✷ 10 cm10cmrechte Kammerlinke KammerverformteZwischenwandEine starre Kammer wird durch eine elastische Zwischenwand symmetrisch unterteilt. Die linke Kammer wird mit8 bar, die rechte Kammer mit 1 bar beaufschlagt. Infolge der Verformung der Zwischenwand kommt es zu ei-nem Druckabfall in der linken Kammer (6,2 bar) und zu einer Druckerhöhung in der rechten Kammer (1,3 bar).Der Volumen-Druck-Verlauf bei linear geführter Drucksteigerung zeigt die Wechselwirkung zwischen Struktur undDruckkraft.5. References1 Perason, C.E.: General Theory of Elastic Stability Quart. Appl. Math., 14 (1956), 133–144.2 Sewell, M.J.: On Configuration-Dependent Loading. Arch. Rational Mech., 23 (1966), 327–351.3 Schweizerhof, K.; Ramm, E.: Displacement Dependent Pressure Loads in Nonlinear Finite Element Analyses. Computer& Structures, 18 (1984), 1099–1114.4 Bufler, H.: Pressure Loaded Structures under Large Deformations. ZAMM, 64-7 (1984), 287–295.5 Bufler, H.: Configuration Dependent Loading and Nonlinear Elastomechanics. ZAMM, 73 (1993), 4–5.6 Knebel, K.: Stabilität von Stahlzylindern mit unilateralen Randbedingungen bei statischen und dynamischen Beanspru-chungen. Dissertation, Universität Karlsruhe (1997).7 Schweizerhof, K.; Rumpel, T.: Volume Dependent Pressure Loading and Large Deformation Finite Element Analysis.Trends in Computational Structural Mechanics, CIMNE (2001), 386–396.Dipl.-Ing. T. Rumpel Universität Karlsruhe (TH), Institut für Technische Mechanik, D-76128 KarlsruheProf. Dr.-Ing. K. Schweizerhof Universität Karlsruhe (TH), Institut für Mechanik, D-76128 KarlsruheSection 7.5     233First published in:EVA-STAR (Elektronisches Volltextarchiv – Scientific Articles Repository) http://digbib.ubka.uni-karlsruhe.de/volltexte/11552002 

Volumenabhängige Druckbelastung bei großen Deformationen

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Volumenabhängige Druckbelastung bei großen Deformationen

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