Fraude, A.

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Oktober 1963 Institut für Neutronenphysik und Reaktortechnik KFK 186 Über den Einfluß eines prompten negativen Temperaturkoeffizienten auf das Verhalten eines schnellen Reaktors nach einem Reaktivitätssprung Axel Fraude . ;' Sonderdruck aus ,Nukleonik", 5. Band, 7. Heft, 1963, X. 290-293 Springer-Verlag. Berlin . QGttingen . Heidelberg Über den Einfluß eines prompten negativen Temperaturkoeffizienten auf das Verhalten eines schnellen Reaktors nach einem Reaktivitätssprung Von AXEL FRAUDE .- (Aus dem Institut für Keutronenphysik und Reaktortechnik des Kernforschungszentrums Karlsruhe) Mit 1 Textabbildung (Eingegangen um 2. August 1963) f rcchung m-bsHs 6essgshaft für ~entrolbiicherei Zusammenfassung. Die nichtlinearen ortsunabhängigen dynamischen Gleichungen werden im Bereich solcher Reaktivitäts- sprünge näherungsweise analytisch gelöst, bei denen sich der Einfluß der verzögerten Neutronen und der des negativen Tempe- ratiirkoeffizienten ganz oder teilweise kompensieren. I. Einleitung In dem voranstehenden Beitrag von K. OTT [I] ist die Verwendung verzögert überkritischer Exkur- sionen zur Messung des Doppler-Koeffizienten mathe- matisch in vereinfachter IVeise behandelt worden. In  der nachfolgenden Arbeit soll als Ergänzung hierzu das zeitliche Verhalten der Neutronendichte nach einem Reaktivitätssprung unter Berücksichtigung eines gegebenen negativen prompten Temperaturko- effizienten auf einam anderen Wege näher beschrieben werden. 2. Lösungssatz für die Integro-Differentialgleichung der nornzierten Neutronendichte Bezieht man die zeitabhängige Neutronendichte n(t) auf ihren Anfangswert n, zur Zeit t=O, so kann man für die normierte Neutronendichte unter Zusammenfassung der kinetischen Gleichungen die folgende Integro-Differentialgleichung anschreiben 1 G=- 1 - k + y * ~ ( y < r ) - 1 )  dr)  y(t)+ ß 0 G t + C ai je-"< + ii J e-4."" ( T )  dr)  i = l  0 mit der Anfangsbedingung Diese Gleichung entspricht der G1.(1) in der oben genannten Arbeit [I]. Es sind darin k der zur Zeit t = 0 eingeführte Sprung des RZultiplikationsfaktors, gemessen in Einheiten von ß (0< k< l), y* [sec-l] die Rückkopplungskonstante und ai=ßi/ß. Die Lösung der G1. (2a) Iäßt sich in strenger ana- lytischer Form nicht herstellen. Um einen brauch- baren Ansatz für eine Näherungslösung machen zu können, ist es zweckmäßig, sich zunächst mit Hilfe eines Analogrechners einige Anhaltspunkte über das Verhalten der exakten Losung zu verschaffen. Hierbei zeigt sich, daß die Neutronendichte nach einem plötz- lichen Anstieg des hfultiplikationsfaktors zunächst den bekannten „prompten Sprung" macht. Ohne Tem- peraturrückwirkung würde sich dann ein weiteres jedoch langsameres exponentielles Ansteigen anschlie- ßen, das im wesentlichen durch die verzögerten Neu- tronen bestimmt ist. Bei großen Werten von k (km 1) ist wegen des hölieren Sprunges von y auch die nega- tive Temperaturrückivirkung auf die Reaktivität grö- ßer. In diesem Falle wird y unmittelbar nach dem Sprung wieder kleiner, während es bei kleineren Wer- ten von k zunächst noch weiter ansteigt. Es ist daher sinnvoll, den ,,prompten Sprung" als eine bequem darstellbare Bezugskurve zu ver- wenden und die vollständige Lösung für y(t) durch Hinzufügen einer Korrektur y(t) herzustellen. ~ ( t )=yp( t )+y( t ) .  (4) y,(t) ist die Lösung der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung 3. Formale Lösung Nach Einsetzen des Ansatzes G1. (4) in GI. (2a) er- hält man unter Berüclrsichtigung der G1.(5) für y (t) die ebenfalls noch nichtlineare Integro-Differential- gleichung Band 5, Heft 7 A. FRAUDE: Uber den Einfluß eines prompten negativen Temperaturkoeffizienten 291 Hier kann man jedoch die Nichtlinearität beheben, wenn man nur einen kurzen Zeitraum nach dem Re- aktivitätssprung betrachtet. Dann ist das Produkt und kann vernachlässigt werden. Ferner ist für kleine t  t t J e - a i ( t - 7 ) y d r m  j y d t .  0 0 Damit erhält man Nun liegt bei schnellen Reaktoren /?/I in der Größen- ordnung von 104/sec, d.h. eap - - - ( 1 - k ) t ]  in i f G1. (3)  fällt sehr rasch ab. Da andererseits die Tempe- ratmückwirkung praktisch erst nach dem prompten Sprung einsetzt, ist der Wert von y dann erst merklich von Null verschieden. Man kann daher in der obigen Gleichung in den beiden Termen mit y ohne wesent- lichen Fehler setzen. Das ergibt nach Ausführung drr Integrationen und nachfolgender Differentiation für y (t) die inhomo- gene Differentialgleichung zweiter Ordnung wobei mit ß U=--  (1 -k)  1 (11) für cp  ( t )  der Ausdruck zu setzen ist. Die Differentialgleichung (10) ist mit den Anf angsbedingungen y(O)=y(O)=O (13) zu lösen. &fit dem Ansatz läßt sich die Differentialgleichung (10) in die soge- nannte Normalform überführen : Mit Hilfe der Transformation vereinfacht sich diese Differentialgleichung zu 1 1 Y* (z)  e  (17) mit I - k  (18) Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung (17) sind die Funktionen des parabolischen Zylinders D,(+ von denen D,,@) und D-,-,(i z )  ein für alle Werte von V gültiges Fundamentalsystem bilden [2] ,  [3].  Die Wronskische Determinante dieser beiden Punk- tionen ist Die vollständige Lösung der Differentialgleichung (17) unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen läßt sich mit Hilfe des Ansatzes u ( z )  = A(z)  D,,@) + B ( z )  D-,- ,( i  z )  ohne Schwierigkeiten herstellen. Sie lautet - D, ( C )  D_,-,  (i z ) ]  9 ( C )  e:(52-z:) d5. . ) Damit ist dann die gesuchte Zösung für y [ z ( t ) ]  -D,(C) D-v- l ( iz ) l  p( t )e ic 'd5.  1 Hierin ist für p(5) nach G1. (12) und (16) einzusetzen. Der Ausdruck ist dabei in einen sich nur schwach ändernden Anteil ~ ~ ( 5 )  und einen rasch ab- klingenden Anteil cp2(C)  aufgeteilt. 4. Ausführliche DarsteZlzc?zg der h"8un.g Mit den bekannten Funktionen D, ( z )  und D_,-,  (iz) kann man das Integral in G1.(22) zwar numerisch auswerten; der tatsächliche Verlauf von y ( z )  - be- sonders bei Variation der einzelnen Parameter - ist aus dieser Gleichung jedoch noch nicht erkennbar. Wie man aus G1. (23) erkennt, wird F ( ( )  im wesentlichen durch Y,((') bestimmt; cp,(c) geht mit 292 A. FRAUDE: ffber den Einfluß eines pi *ompten negativen Temperaturkoeffizienten Nukleonik sehr schnell gegen ~ i l l  und zwar in derselben Zeit, in der yp nach Gl.(3) seinen asymptotischen Wert 1 1 - k  erreicht hat. Man erh&lt daher eine brauch- bare Näherung für y bereits mit dem Anteil pll, zu dem man gegebenenfalls pl, als Korrektur hinzuneh- men kann. Setzt man so ist das Integral in G1. (22) durch wiederholte par- tielle Integration leicht zu lösen. Hierzu benötigt man die sich aus den Rekursionsformeln für die paraboli- schen Zylinderfunktionen zP za d Dv (z) + ; D. (2) = e - 4  &- (P D. (2)) unmittelbar ergebenden Beziehungen und Damit erhält man nach kurzer Zwischenrechnung Da der Wert für z, nach GI. (16) im allgemeinen > -3 ist und ferner stets z > z,, kann man diese Gleichung mit Hilfe der asymptotischen Entwicklungen für die Funktionen Dv(z) weiter vereinfachen. 3n Für /arcz!  <-- gilt 4 X [ i ( v + l )  Dv(z) D-,-,(iz0) - P'(%) z - (2,) D-v-l (i z)] + - -  ------ - y*(v + l)(v 4- 27Damit erhält man schließlich nach kurzer Zwischen- rechnung bei Berücksichtigung von Gliedern mit 1/z2 J (27) für y (z) den Ausdruck Diese vereinfachte Darstellung der Lösungsgleichung (22) gestattet zusammen mit der G1. (3) für yp (t) eine hinreichend genaue Beschreibung der normierten Neu- tronendichte y. 5 .  Zahlenbeispiel und Diskussion Die Genauigkeit und der Gültigkeitsbereich der obigen Rechnung lassen sich am einfachsten an einem Zahlenbeispiel deutlich machen. Bei einem Versuchs- reaktor sei bei einer Nennleistung von 10 MW die cal Wärmequelldichte q, = 12,O -- cm3 sec ' die Brennstoff- g dichte P =  10 und die spezifische Wärme c = cal 0,078 Nimmt man für defi Reaktivitäts-Tem- €5 C peraturkoeffizienten y' = 5 - 10-6/OC an, so erhält man bei einem Bruchteil ß = 3,455 . 10-3 der verzögerten Neutronen mit für die Rückkopplungskonstante den Wert y*= 0,0222/sec. Die Zerfallskonstanten Ai [sec-l] und Anteile ßi der verzögerten Neutronen sind in der Tabelle 1 in [l] enthalten ; 2 ai Ai = 0,404/sec. i Für die Lebensdauer der prompten Neutronen wurde EIß= 10-4 sec angenommen. Mit diesen Zahlen- werten wurde für verschiedene Reaktivitätssprünge k das Verhalten der normierten Neutronendichte y(t) sowohl streng auf einem Analogrechner, als auch näherungsweise nach Gln. (3), (4) und (29) bestimmt. Das Ergebnis ist im Diagramm Abb.1 gezeigt. Die ausgezeichneten Linien sind die Analogrechnerkurven ; die gestrichelten stellen die Näherung dar. Außerdem ist für drei Fälle der prompte Sprung yp eingezeichnet. Nach Beendigung des prompten Sprunges hängt der unmittelbare weitere Verlauf von y davon ab, ob 3 2 ai Ai ist, d. h. ob die Vermehrung infolge 1-L der verzögerten Neutronen die TTerminderung infolge der negativen Rückkopplung überwiegt oder nicht. Bei gegebener Größe der Rückkopplungskonstanten gibt es für den Reaktivitätssprung k einen bestimm- ten Wert Y* ko=l- - xa iA i  ' (31) bei dem sich die beiden Effekte zunächst kompen- sieren, so daß y(t) nach dem Anklingen von yp noch für kurze Zeit horizontal verläuft. Ist k<k„ so ist bei ebenfalls kleinerem asymptotischem Wert von yp Band 6, Heft 7 A. BAUDE: Uber den Einfluß eines prompten negativen Temperaturkoeffizienten 293 Abb. 1. TVirkung eines prompten negativen Temperaturkoeffizienten bei verschiedenen hohen Reaktivitätssprungen. Ausgezogene Kurven: Lösung durch Analogrechner. Gestrichelte Kurven: iVAherungslösung nach G1.(3) und (29) die Rückkopplung zunächst kleiner als die Vermeh- rung durch die verzögerten Neutronen, und y (t) steigt zunächst weiter an. Bei k > k,, liegen die Verhaltnisse umgekehrt. J e  kleiner die Rückkopplung wird, desto näher rückt k,, an 1 heran; y„ wird dann sehr groß und der Bereich, in dem y(t)wconst ist, schrumpft zu- sammen. Ferner wird bei größeren Werten von k die Zeit- konstante T,= 1 (1- k) für das Ansteigen von y, i R  größer, so daß in der Rechnung y,(t) nicht mehr näherungsweise durch eine Sprungfunktion ersetzt werden kann. In der Anregungsfunktion q(5) in GI. (22) ist dann auch der Anteil q,(c) nach G1.(23) zu berücksichtigen. Die in dem Diagramm bei den Kurven für k=0,96 zu erkennende Abweichung von W 1,6 % im Maximum ist auf diese Vernachlässigung von q2 zurückzuführen (abgesehen von inhärenten Ungenauigkeiten des Analogrechners). Schließlich sei noch bemerkt, daß für sehr kleine Werte von y* und zu große Werte von k die Voraus- setzung für die Anwendung der asymptotischen Ent- wicklungen nicht mehr erfüllt sein können. In dem praktisch interessierenden Bereich stellt die Rechnung jedoch eine brauchbare Lösung dar. Literatur: [I] OTT, K.: Nukleonik 5, 285 (1963). - [2] BUCHHOLZ, H.: Die lionfluente hypergeometrische Funk- tion. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1953. - [3] &- GRUS-OBERHETTIRGER: Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Berlin-Göttingen- Heidelberg : Springer 1948. Druck der UniversitätsdruckereiII. StUrtz AG..\VUrzburg 

Ueber den Einfluss eines prompten negativen Temperaturkoeffizienten auf das Verhalten eines schnellen Reaktors

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