Fraude, A.

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Februar 1963 KFK 144 Institut für  Neutronenphysik und Reaktortechnik Über  eine Lösung der kinetischen Gleichungen bei periodischen Reaktivitätsänderungen A. Fraude Sonderdru$ aus „Nukleonik", 5. Band, 2. Heft, 1963, X. 62-67 Springer-Verlug, Berlin . GöUinqcn . Heidclberg Über eine Lösung der kinetischen Gleichungen bei periodischen Reaktivitätsänderungen Von A. FRAUDE Aus dem Institut fur Neutronenpliysik und Reaktortechnik des Kernforschungszentrums Iiarlsruhe Mit 3 Textabbildungen (Eingegangen um 29. Oktober 1962) KERNREAKTOR Bau- und Betriebs-Uosellsuh& m. b. H. Verwaltung der Zentralbücherei 2. Juli 1963 Zusammenfassung. Es wird eine Lösung der kinetischen Gleichungen eines Reaktors bei periodischem Reaktivitätsverlauf angegeben, die aus der Lösung der linearisierten Form dieser Gleichungen entwickelt wird. Bnhand dieser Lösung wird das Zustantlekoinmen und die Größe des exponentiellen Ansteigens der Keutronendichte erläutert. 1. Einleitung IL Zusammenhang niit Stabilitätsuntersuchungen an Reaktoren stellt sich die Frage nach dem zeitlichen Verhalten der Keutronendichte bei periodischer Än- derung der Reaktivität. I n  den meisten Fällen genügt es hierbei, die sog. linearisierte Form der kinetischen - Gleichungen zu verwenden, die ohne Schwierigkeiten lösbar ist, wobei die Lösung auf die bekannte Ober- tragungsfunktion führt. I n  der vorliegenden Arbeit wird eine Lösung der kinetischen Gleichungen in ihrer nichtlinearen Form angegeben. Dabei interessiert vor allem das exponentielle Ansteigen der Neutronendichte, das sich der rein periodischen Änderung überlagert, wenn die Reaktivitätsänderung 6 k(t) nicht auch einen zeitlich konstanten negativen Term von bestimmter Größe ent'Iiält. Die Untersuchung beschränkt sich auf eine bemittelte Gruppe verzögerter Neutronen. '3. h'i~~etisclze Gleichungen und Lösungsu~zsutz Das Zeitverhalten der ortsunabhängigen Neutro- rienclichte n (t) unter Berücksichtigung der Neutronen- vorlaufer Ci (t) der verzögerten Neutronen, die mit einem Bruchteil ßi der Gesamtzahl der Neutronen ver- treten sind und eine Zerfallskonstante Ai haben, ~vird tlurcli die Gleichungen beschrieben : (Zn d i  = ( ( l - ß ) d ~ ( t ) - l ) ( t ) + A i ~ i ( t ) ,  ( l a )  i d C,  d l  = - ? . i c ~ ( t ) + ~ ( l + p . s k ( t ) ) . . ( t ) .  ( l b )  Dabei ist 1 die effektive Lebensdauer und 6 k  ( t)  die auf ß = 1 /Ii bezogene Änderung des effektiven Multipli- l<at,ionsfaktors, die für die folgende Rechnung in der Form Ok(t) = 6 + k . c o s ( w t + p )  t 2 O  = 0 t<O } (2) angesetzt wird. Dabei sind 6 ein zeitlich konstanter Terni, w die IZrcisfrequenz der Anregung und p, deren Pliasen~vinkel. hlit G1. (2) gelten dann die Anfangs- bedingungcn n (0) = no, (3a) Bi no Ci(0)==C. , *" - Ai 1 (3b) sowie ß f i(0) =--- 1 (1-ß) . n o .  ak(0).  (3 C) Für sehr kleine Werte von 6 k ist auch die Änderung 6n der Neutronendiehte 12 klein, und man kann dann mit dem Ansatz n( t)  =not-6n(t) ,  (4a) Ci (t) = Ci, + 6 Ci (t) (4b) die Gln. (1) unter Vernachlässigung von Produkten 6 k - dn in die linearisierte Form überführen, die sich streng lösen läßt. &fit Hilfe der Laplace-Transformation erhalt man mit, 41 &(S) = Je-~ tdw( t )  d t ,  (6) 0 Sn(,) =no . ß . G0(s) . G ( s ) ,  wobei (7) ist. &fit 6 =0, also rein periodischer Anregung, ist K ejv 6 E (s) = - -  2 ( s-ji s + j o  Die Rücktransformation von G1. (7) ergibt bei sechs Gruppen verzögerter Neutronen + ~ ~ ( j ~ )  ej(mt+~) +Go(- jo )  e-j(wt+v) , I Band 6, Heft 2 A. FRAUDE: Ober eine Lösung dcr kinetischen Gleichungen 63 wobei die s, die Wurzeln der Gleichung sind. Da alle s,<O sind, stellt der zweite Term in GI. (10) den abklingenden Einschwingvorgang dar. Nach hinreichend langer Zeit bleibt eine rein periodi- sche Änderung von 6 n ,  zu der je nach der Anfangs- phase der Reaktivität ein konstantes Glied hinzu- kommt. Eine strenge Lösung der kinetischen Gln. (1) in der vollständigen, nichtlinearen Form bereitet erheb- liche Schwierigkeiten und ist bisher auch noch nicht angegeben worden. Das Hilfsmittel der Laplace- Transformation, mit der auch die Einschwingvorgänge erfaßt werden, ist wegen des Produktes 6 k  ( t )  n ( t )  nicht mehr anwendbar. Eine wesentliche Erleichte- rung bringt hier nun die Zusammenfassung der sechs Gruppen verzögerter Neutronen zu einer gemittelten Gruppe mit den Parametern ß und 1. Ohne daß dabei die Struktur der Lösung verändert wird, gewinnt man - bei hinreichender Genauigkeit - einen guten Ein- blick in die Zusammenhänge. Durch Einsetzen der Gln. ( 1 )  in die nach t  abgeleitete GI. (1 a)  erhält man für ?z(t) die Differentialgleichung oder i i+g( t )  i + h ( t )  n=O. (13) In dieser Differentialgleichung mit den periodischen Koeffizienten g und h Iäßt sich durch den Ansatz n ( t )  = u ( t )  . v ( t )  (14) und die Bedingung das Glied mit der 1. Ableitung beseitigen; man erhält für U ( t )  die Differentialgleichung ü + @ ( t )  u =O (16) mit s2 6 @ ( t )  = I & - -  --. 4 2 (17) Diese Differentialgleichung ist vom Typ der I-Lillschen Differentialgleichung [ I ] ,  [2] ,  für die man die Lö~ung in der Form + W  ~ ( t )  = ewt U, einat  n= -m (18) ansetzt, wenn w die Grundfrequenz von @ ( t )  ist. Der charakteristische Exponent p wird dabei aus der un- endlichen Hillschen Determinanten bestimmt. Dieser Lösungsweg gibt jedoch keine Auskunft darüber, wie die einzelnen Parameter der G1. (12) in p eingehen, und wie groß 6 in GI. ( 2 )  sein muß, damit p zu Null wird. Deshalb soll im folgenden eine Lösung angegeben werden, aus der diese Zusammenhänge erkennbar sind. Hierzu machen wir den Ansatz der als ersten FaIrtor die Lösung der linearisierten Gleichungen enthält und als zweiten einen Ausdruck, der das nichtlineare Verhalten beschreibt. Nach Einsetzen von GI. (19) in die Differential- gleichung (12) und unter Berücksichtigung, daß für 6 n/no nach G1. (5 a, b) gilt, folgt für die gesuchten Funktionen z ( t )  die Dif- ferentialgleichung &fit der Substitution 1 z ( t )  = J y ( t )  d t  0 geht G1. (21) über in Vernachlässigt man in dieser Gleichung die Produkte 6 n 6 k . - , so wird die Differentialgleichung mit 6 = 0 homogen, wobei eine Lösung yl=O ist. Gleichzeitig wird in G1. (19) A = 1 und B=O, so daß sich wieder die lineare Lösung ergibt. Da 6n/no proportional zur Reaktivitätsamplitude k  ist, können daher in den ge- suchten Funktionen ly, ( t )  und y, ( t )  mit 6 = 0 nur Glie- der mit k2 und höherer Ordnung auftreten. Die Randbedingungen Gln. (3) gehen mit dem An- satz (19) und mit "(O) ?l.o - ; (1 -ß )  ( d a -  d),=, und z ( 0 )  = 0 nach GI. (22) über in A + B = l  (27 a) und B A . ~ i ( O ) + B y n ( O ) = ~ ( l - ß ) . 6 .  (27b)  Das ergibt ß -~f (1 -P) 6-VJz(O) -4 = VJl(0) - VJz(0) (28 a) und B Y1(0)- T(l-ß)6 B= (28 b) Yi (0) -Y2 (0) ' wobei y,(O) und y2(0 )  die partikulären Integrale von GI. (24) für t  = 0 darstellen. Damit ist 64 A. FRAUDE: Ober eine Lösung der kinetischen Gleichungen Nukleonik Die Differentialgleichung (23)  ist eine Riccatische Dif- ferentialgleichung für y ( t ) ,  die durch die Transforma- tion dlnv b y =  -d t  - V  (30)  in eine Differentialgleichung 2. Ordnung für v ( t )  mit periodischen Koeffizienten, also wieder eine Hillsche Differentialgleichung, überführt werden kann. Dieser Weg soll hier jedoch nicht beschritten werden. Viel- mehr setzen wir für die Y ,  in Form einer Störungs- rechnung und versehen die Terme mit d?r/no und d k  ebenfalls mit dem Faktor E .  Für E = O  erhält man dabei die Lösung des „ungestört~en", linearisierten Probiems, für E = 1 die des „gestörten6', nichtlinearen. 3. Die Lösungsfunktionen y l ( t )  und y 2 ( t )  Nach dem Einsetzen von G1. (31)  in G1. (23)  wird nach Potenzen von E geordnet. Dies ergibt für die gesuchten Funktionen y „  ( t )  die Differentialgleichun- gen 1.  Ordnung USW. Dabei ist ß S , = - ~ + A .  (35)  Diese Differentialgleichungen sind ohne Schwierig- keiten nacheinander lösbar, wobei jedoch die Lösung mit steigender Potenz von E umfangreicher wird. Wie man bereits aus G1. (32)  erkennt, ergeben sich unmittelbar die zwei Lösungsreihen für y l ( t )  und y2 ( t ) ,  und zwar ist Y I O  = 0 ,  ( 36a )  Für die weitere Rechnung ist für 6n/no die Lösung von G1. ( 7 )  einzusetzen, die sich mit einer mittleren Gruppe verzögerter Neutronen ergibt, nämlich Damit folgen na,ch einiger Zwischenrechnung die Lö- sungen von GI. (33)  und Wie aus 01. ( 3 6 b )  unmittelbar folgt, geht in dem An- satz GI. (19)  der Term mit B exp J y 2 ( t )  d t  mit e-81t 6 t  1 zu Null ; er trägt also nur zu dem Einschwingvorgang bei. Auf die weiteren Funktionen y „  ( t )  soll daher hier nicht weiter eingegangen werden. Für die nachfolgenden Diskussion ist schließlich nur noch die Kenntnis vom y 1 2 ( t )  erforderlich; auf die weiteren y „  ( t )  kann dann ebenfalls verzichtet werden. Aus der Differentialgleichung (34)  ergibt sich nach einiger Zwischenrechnung Mit den Gln. (36)  bis (40)  ist der formale Aufbau der Lösungsfunktionen im wesentlichen beschrieben. Die folgenden y lV( t )  sind von ähnlicher Bauart: Die Funk- tionen enthalten konstante und rein periodische Terme sowie Glieder, die mit e-81t abklingen. Die Amplituden werden mit kv bzw. 6' kleiner. Band 5, Heft 2 A. FRAUDE: a b e r  eine Lösung der kinetischen Gleichungen 65 4. Das exponentielle Ansteigen von n ( t )  Die konstanten Glieder in yl ( t )  führen mit exp ( j y ,  ( t )  d t )  auf eine exponentielle Änderung von n (t),"die je nach der Größe von 6 positiv oder negativ sein kann. Nach G1. (38)  und (40) ist der konstante Anteil von y l ( t )  bis auf Glieder mit ( k / Q 3  und höherer Ord- nung A A ( 0 > - B 6 + -  - s l l  6 1 ( ( 8 1 1 ) P ( s 1 ( 1 - ~ ) - ' ) +  Bs ß k 2  + 1 ( ~ o ( i w > + ~ ~ < - j w > ) j .  Für 6 = 0 folgt Ersetzt man Go(jw)  nach G1. ( 8 )  durch einen entspre- chenden Ausdruck mit einer gemittelten Gruppe ver- zögerter Neutronen, so führt dies auf einen mittleren komplexen Wert A=il,+jil, (s. Abschnitt 5) .  Damit ist n + i w ( l  - B )  Go ( j w )  = jwl - +i+jw)  i I und l ( G o ( j w )  +Go(- jw))  - (44) + A l  + ( W +  x2I2 ( -i' Das ergibt - B i .  , 7 . .  I"\ bei 8 = 0 .  Der Wert d o ,  der y(,O) zu Null macht, ergibt sich aus G1. (41) zu yp)  und 6, sind M. wesentlichen proportional zum Quadrat der Reaktivitätsamplitude k2; sie können deshalb in der linearisierten Rechnung, die keine Giie- der mit k2 und höherer Ordnung enthält, nicht vor- kommen. Der eigentliche Grund für das e~ponent~ielle An- steigen von n ( t )  bei periodischer Reaktivität liegt, wie zu erwarten, in dem Zusammenspiel der prompten und verzögerten Neutronen. Wie G1. (45) zeigt, ist direkt proportional zu A, dem Mittelwert der Zerfalls- konstanten Ai. Man kann nun leicht zeigen, daß n ( t )  nicht exponentiell ansteigt, wenn alle Ai = 0 sind, wenn also Neutronenvorläufer entstehen, die erst nach un- endlich langer Zeit zerfallen und dadurch verzögerte Neutronen liefern. Setzt man die G1. (1  b) nach Integration in ( l a )  ein, so ist Nimmt man die Ai als sehr klein an, so daß man e*ht w 1 setzen kann, so ist Mit Ai = ßi = 0 und 6 k = k . cos o t  erhält inan hieraus für n ( t )  eine rein periodische Lösung die wegen exp sin w t  sowohl die Grundfrequenz w als auch ganzzahlige Vielfache davon enthält. Der Mittelwert von n ( t )  über eine Periode T= 2 W ist zeitlich konstant und mit etwas größer als der ursprüngliche Anfangsmert 71,. Das bedeutet, daß die Neutronenvermehrung in der positiven Reakt,ivitätsphase größer ist als die Ab- nahme in der negativen Phase. Für sehr kleine Ibi + O  ist die vollständige Differen- tialgleichung (48) zu lösen, die nach einmaliger Dif- ferentiation wieder in eine Hillsche Differentialglei- chung übergeht. Deren Lösung ergibt dann ein 7 t ( t ) ,  das mit einem exponentiellen Ansteigen behaftet ist. Der Grund dafür ist jetzt leicht einzusehen: Die rer- zögerten Neutronen kommen mit einer Verzögerungs- zeit ri = l / A i  zu den prompten Neutronen hinzu und liefern wegen der unterschiedlichen hlultipliliation in der positiven und negat'iven Pliase der Reaktivität einen zusätzlichen Beitrag zum Mitt,elrvert von n ( t )  über eine Periode. Dadurch erhöht sich wiederum im Mittel die Zahl der Vorläufer Ci, die nach der Ver- zögerungszeit ri weitere verzögerte Neut,ronen ins Spiel bringen. Dieser Vorgang läuft k~nt~inuierlicli ab ; der hfittelwert von n ( t )  über eine Periode T ist eine mit der Zeit anwachsende Funktion. Sofern also die unterschiedliche illultiplikation in der positiven und negativen Phase nicht durch einen hinreichend großen negativen Mittelwert der Reaktivität kompensiert wird, zeigt n ( t )  ein exponentielles Ansteigen. Dies gilt fiir beliebige periodische Reaktivität'sänderungen, wie H. S ~ T E T S  [3] in allgemeiner Form durch eine Abscliät,- zung der Mittelwerte von n ( t )  über Periodenintervalle t  . . . t  + T nachgewiesen hat*. J e  größer nun die Ai, d. h. je kiirzer die Verzöge- rungszeiten ti sind, dest'o eher führen die verzögerten Neutronen zu einer Erhöhung des Mitt'elwertes, und n ( t )  steigt stärker an. Andererseits wirkt sich - wie aus G1. (50) ersichtlich - die unterschiedliche Multi- plikation in der posit,iven und negativen Phase bei kleineren Frequenzen st>ä,rker aus als bei großen. yiO) hat demnach bei kleinen Frequenzen größere Werte, wobei die Periodendauer T = 2nlw zur prompten Lebensdauer 1 in Bezug zu setzen ist. Für einen thermischen und einen schnellen Reaktor sind mit den Werten der Tabelle yiO) und 6, für Reaktivitätsamplituden k = 0 . . . ß und die drei Kreis- frequenzen w =0,1; 1  und 10 sec-' berechnet morden. Das Ergebnis ist in den Abb. 1 und 2 eingetragen. , . 66 A. ~ R A U D E :  Uber eine Lösung der kinetischen Gleichungen Nukleonik Die Abb. 3 zeigt den zeitlichen Verlauf der Neu- tronendichte n (t) und den einiger Neutronenvorläufer Ci(t)  - jeweils bezogen auf den Anfangswert - für 6 k = 0,4 sin o t. Die Kurven wurden auf einem Analog- rechner unter Berücksichtigung von sechs Gruppen von verzögerten Neutronen gewonnen. Abb. 1. Reziproke Zeitkonstante wie) in Abhängigkeit von der Reaktivitätsamplitude k (k in Einheiten von ß) Tabelle U) Thermischer Reaktor b )  Schneller Reaktor (90% + 10% U238; Daten nach ANL 5800, P. 25) i / ßi. I O ~  ) A, sec-1 I 1 E = 10-7 sec & = 0,559 sec-' 0,344 1, = 0,0875 sec-' 3,OO Neutronen-Lebensdauer 1,13 1 = 0,855 - 10-3 sec 0,301 I,, = 0,424 sec-' 1 2 3 5. Mittelwerte für die Zerfallskonstanten Ai 0,294 0,820 2,630 Abb. 4 2. Negativer konstanter Reaktivitätsanteil8, zur Unterdnickung des exponentiellen Ansteigens von n(t) in Abhängigkeit von der Reaktivitätsamplitude k (k und 8. in Einheiten von ß) 0.340 , 0.277 Am = 0,0983 sec-' L5= qfft sec-' &= O,0305sec-~ ; 1 = 4855. M3sec 0 70 20 30 4 0  t [sec] Abb. 3. Zeitlicher Verlauf der Xeutronendichte n ( t )  und einiger Vorläufer- konzentrationen Ci(t) bei rein periodischer Reaktivitätsänderung 6 k = 0.4 sin t (thermischer Reaktor) Man erkennt das den Schwingungen überlagerte exponentielle Ansteigen sowohl bei n(t) als auch bei den Ci (t). J e  größer die jeweilige Zerfallskonstante Ai ist, desto stärker ist das exponentielle Ansteigen, desto größer ist die Schwingungsamplitude und desto kleiner ist die Phasenverschiebung gegenüber n (t). Entspre- chend G1. (1 b) müssen die Maxirna und Minima von Ci (t)/Cio auf der Kurve n (t)/n, liegen. Schließlich ist bei allen Kurven deutlich die Ver- zerrung durch Oberwellen erkennbar. Wegen des komplizierten Zusammenhanges zwi- schen prompten und verzögerten Neutronen ist es nicht möglich, die Zerfallskonstanten Ai durch einen einzigen Mittelwert zu ersetzen. Aus der mit dem Mittelwert A geschriebenen Differentialgleichung (12) erhält man daher lediglich die, Struktur der Lösung, die sich bei Verwendung von sechs Gruppen verzöger- ter Neutronen ergeben würde. Dies ist ausreichend, wenn man nur einen Einblick in die Verhältnisse ge- winnen will. So steht die Differentialgleichung (12) als Ersatz für eine Differentialgleichung 7. Ordnung in n(t) mit periodischem Koeffizienten, und anstelle der beiden Konstanten A und B in G1. (19) müßten bei sechs Gruppen sieben Konstanten angeschrieben werden. Vor einer numerischen Auswertung der Lösung, speziell zur Bestimmung von ylO) und 6„ sind jedoch einige zusätzliche Uberlegungen zur Größe des Mittel- wertes A erforderlich. Durch Laplace-Transformation der Gln. (1) unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen (3a, b) er- hält man die Beziehung In der Obertraguiigsfunktion Go(s) nach G1. (8) sind die Gruppenparameter ßi und Ai enthalten. Geht man zu einer mittleren Gruppe mit ß und il über, so soll gelten ß 1-s..- Dies ergibt Nun transformiert sich die Umgebung von t-+O im Oberraum in die Umgebung von s -+ CO im Unterraum. Band 5. Heft 2 A. FRAUDE: Uber eine Lösung der kinetischen üieicnungen ti 1 Andererseits wird t - t o o  in s+O abgebildet. Dies nehmen. Damit erhält man den komplexen Rlittel- führt für ?, auf die beiden Grenzwerte wert ß j=b+jj,=---,--jw. B i 4  2 -2. (56) t - i O  A o = '  (54) i 2 i S - l ~  B ' B Da es sich bei dein exponentiellen Ansteigen von iz(t) t+oo Am=-. (55) im allgemeinen um eine relativ langsame Änderung 2 .& handelt, kann man in guter Näherung in G1. (41) mit Ai A = A, rechnen; dagegen ist bei G, (& jw) in dieser Hieraus erkennt man, daß ii streng genommen zeit- Gleichung nach (31- (56) zu verfahren. abhängig ist, und daß man bei der  Anwendung zwi- Literatur: [I] WITTAKER, E. T., and G. X. \VATSO?T: Aschen Einschwingvorgängen und asymptotischen Lö- cOu„ of &Iodem Analysis, 4th ed., Cambridge: Cambridge sungen unterscheiden muß bzw. zwischen schnell und University Press 1958. - [2] INCE, E. L.: Ordinary Differen- langsam ablaufenden Änderungen. tial Equations. New York: Dover Publications, Inc. 19%. - [3] SXETS, HEXRI B.: General Properties of the Response of Für ~eriodische Vorgänge ist die hlittelung über P\Tuclear Reoctor low Power Undergoing a Periodic Reac- die komplexe Ubertragungsfunktion Go(jw) vorzu- tivity Variation. Nukleonik 3, 181-185 (1961). Druck der Uiiiversitatsdruekerei 11. Sturtz A G . ,  1Vurzl)urg 

Ueber eine Loesung der kinetischen Gleichungen bei periodischen Reaktivitaetsaenderungen

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