Kinnebrock, W.

KITopen

Januar 1971Institut für Neutronenphysik und ReaktortechnikProjekt Schneller BrüterKFK 1361Strategien zur Beschleunigung zweidimensionaler SN-Verfahrenmit Hilfe der GrobgittertechnikW. KinnebrockJanuar 1971KERIfFORSCHUNGSZENTRUM KARLSRUHEKFK 1361Institut für Neutronenphysik und ReaktortechnikProjekt Schneller Brüterstrategien zur Beschleunigung zweidimensionaler SN-Verfahrenmit Hilfe der GrobgittertechnikW. KinnebrockGesellschaft für Kernforschung mob.Ho. KarlsruheZuaammenf'as sun«rt =.,. • N6Bei zweidimensionalen SI'J-Reclumngen lassen sich Rechenze i.tgev.inne erzielen.wenn man die Anfangsflußschätzung P!it Filfe einer SI'r-Rechnun;:: mit >;,enlf,erOrtspunkten bereitstellt. Auch dieser "Vorlauf" lä.ßt sich in der Hechen-zeit verkürzen. wenn man einen wei t er-en Sn-Lauf vorschaltet. Es entstehtin diesem Zusffir~enhanG die Frage nach Stratep,ien. die die Rechenzeitoptimal gestalten. In dieser Arbeit vrerden insgesamt 120 verschiedeneTransportprobleme , die mitHilfe des zweidimensionalen SN-PrograJ!'ill'ces 8;'T\il\1mit verschiedenen Strategien gerechnet vrurden, ausgevrertet. Gleichzeitigwird eine Theorie entwickelt. die die mittleren Rechenzeitpewinne approxi-mativ wiedere;ibt. Anhand dieser 'I'heorie wurden Strate~ien aufgefunden.die bis zu 60% Rechenzeitgewinne liefern.Abstract-.-. ..The time of t.wo dimensional SH-calculations c an be shortened if the initialflux is prepared by a SH-calculation with 1ess spatial poi.nt s , Al.so thisinitial calculation can be shortened in time in the s ame way. In thisconnection there arises the question for a s.t.rat.e gy , vh i ch influences theglobal calculation-time in an optimal vray. In t.he folloving you f'i.nda statistical interpretation of 120 transport-problems, calculated by thet.wo dimensional SN-code "SN\il"lv" wi th different s t.rat eg.i es , Simultaneouslythere is developed a theory, describing the calculation-time in dependericeof the appl i.ed strategy. This theory made i t possible to find strateeiesvrhich save about 60% calculation-time in the mean.EinleitungMehrdimensionale SN-Progra~~e benötiGen neben großen Speicherkapazitätenauch hohe Rechenzeiten. Es ist daher unerläßlich, geeignete Beschleunigungs-verfahren zu verwenden. Es gibt mehrere erfolgreiche Methoden. die Rechen-zeit zu reduzieren, so z.B. die "Tschebyscheff-Beschleunigung" (1-5_7. L-7_7)sowie das unter dem Namen "Rebalancing" bekannte Verfahren (L-3 7). DieBer-ei t s'teLl.ung einer möglichst genauen Anf'angs f'l.ußsc hät.zung , etwa durcheine vorausgehende Difussionsrecp~ung, bringt ebenfalls große Rechenzeit-gewinne. Schließlich ist es vorteilhaft, die ersten Iterationen einer SN-Rechnung wegen des in diesem Stadiun des Prograrru'nablaufes noch recht unge-nauen Flusses entweder mit einer groben Fehlerschätzung oder mit nur wenigenGitterpunkten zu rechnen. Das letztere Verfahren 'wird z.B. in den ProcrmMuenDSN und TDC (L-2_7) angewendet, wo die erste äußere Iteration grundsätzlichals S2-Rechnung gerechnet wird. In dem eindimensionalen Prograrr~ DTFIV (/-3 7)werden die ersten inneren Iterationen nicht voll ausiteriert.Eine erste Untersuchung über die Auswirkungen auf die Rechenzeit, wenn dieAnfangsiterationen mit nur wenigen Gitterpunkten gerechnet werden. findetman bei Sullivan, Yu und Albers (;-10 7). Die Autoren führen die Anfangs-iterationen mit einer niedrigen Anzahl von Winkeln durch. Der Rechenzeit-gewinn beträgt bis zu 57%.Das Ziel dieser Arbeit ist es, den Zeitgewinn experimentell und theoretischzu ermitteln, wenn die ersten Iterationen mit wenigen Ortspunkten durchge-führt werden. Es wird versucht, optimale Strategien aufzufinden. Den experi-mentellen Ergebnissen liegen insgesamt 120 verschiedene SN-Rechnungen zu-grunde, d.ie mit Hilfe des zweidimensionalen Programmes SN~vl (L-11_7) durch-geführt wurden. Es werden Strategien ermittelt, die durchschnittlich biszu 60% Rechenzeitgewinn liefern •......Zum Druck eingereicht am 25. Januar 1971- 2 -1) Iterationsz~kle~ und Rech~nzeit bei SN-VerfahrenDie Lösung der stationären Boltzmanngleichungbesitzt als Variablen den Winkel n, den Ramuvektor sow~e die Energie E.Durch Hinzunehmen von Randbedingungen entsteht ein Eigenwertproblem mitdem Eigenwert K, welches durch geeignete Diskretisierung der unabhängigenVariablen in ein Matrix-Eigenwertproblem der Gestaltübergeht. Im allgemeinen sind die Matrizen T, F, S so beschaffen, daß dieIteration(3) T 1j;nn =i- F lf;n + S 1jJn+1nmit Knist eine= (I IF 1jJn l 1)/(1 IF 1jJ o l I) konvergiert (äußere Iteration). Die Matrix TBlock-Diagonalmatrix mit den Blöcken T.. und S ist (bei Fehlen-- JJvon Aufwärtsstreuung) eine untere Block-Dreiecksmatrix mit den Blöcken S..~J(i>j). Alle Matrizen T, S, F haben die gleiche Blockung.1 nDaher läßt sich (3) für r =K: F 1j; schreibenn nn+1 j ... 1 n+1T .. I1!J. = S"'1jJ~n + L S .. ·ljJ. + rJJ J JJ J i=1 J~ ~ nDie hier auftretenden Matrizen sind i.a. so komplex, da.ß eine direkte Be...rechnung von ljJr:+ 1 nicht möglich ist. Das folgende - stets konvergierendeJIterationsschema mit dem Iterationsindex l' erlaubt jedoch die Berechnungn+1der Vektoren 1jJ. :J(4) C' (,1,1111)1'o .. ",. +JJ J,j-1Li=1,J n+1s .. ~). + rJ~ ~ n(j=1,2, •• ,J)- 3 -Für j=1 fehlt der SUTflInationsterm. Obige Iterationen heißen "innereIterationen" •SN-Programme lösen das zu (1) konsistente ~1atrix-Eigenwertproblel'1(2)mit Bilfe von ä~~erenund inneren Iterationen. Wirnur zweidimensionale Programme betrachten, welchenzwei 1(1inkelvariablen sowie eine Energievariable zugrunde liep:en~ Prograr;nnedieser Art besitzen wegen der hohen Komponentenzahl des Vektors WGroßeRechenzeiten. So sind z.B. bei einer S4-Rechnung mit 26 Energieeruppenund 60x60 Orts intervallen bei einer diskreten vlinkelverteilune von 16Richtungen auf der Balpkugel (vgl. /-4 7) bei jeder inneren Iteration6 .•. •..• .. - -etwa 1.5'10 versc~iedene Flußwerte zu berechnen.Es soll nun die Rechenzeit in Abhängigkeit von der Zahl der Or-t s punkt.adargestellt werden. Dazu machen wir die beiden folgenden - durcb prak-tische Erfahrungen erhärteten - Annahmen.I) Die Gesamtanzahl I der inneren Iterationen bei einer SN-Rechnungist wesentlich von der Anfangsschätzung ~o und der für dieIterationszyklen vervrendeten Fehlergenauigkeit € und nur unwesent-lich von den Schrittlängen des räumlichen Gitters abhängi g ,Ir) Die Rechenzeit ist direkt proportional der in dieser Rechnung aus-geführten Anzahl innerer Iterationen I, multipliziert mit derDimension des Vektors ~.Es sei nun eine SN-Rechnung mit pxq Ortspunkten und G Energiegruppen durch-geführt mit einer Rechenzeit T. Nach I) und 11) ist(c>O)Eine SN-Rechnung mit der gleichen Gruppenzahl und Q,uadraturordnung, jedochmit (o;.p).(a.q) Ortspttnkten (0<0:<1) benötigen die Rechenzeit~~&th~·Ds.!1.n. . ..... - -. "-..",,gilt wegen I, 11:d.h.(5) t(o;) = o;2'T... 4 -2) SN-Rechnung~n_mit e~nem VorlaufDer Anf'angs f'Luß ljJo ist oft eine über a.lle Gitterpunkte konstante Funktion,vinstigstenfalls eine die Randbedingungen berücksichtigende Parabel oderSinus-Funktion.Eine gute Anfangsschätzung erhä.lt man, wenn man e rne SN-Rechnung mitnur wenigen Ortspunkten vorschaltet (Vorlauf), etwa mit (a·p)x(o.g)Punkten für 0<0<1, falls der eigentliche Lauf mit pxq Punkten gerechnetwerden soll. \'Jegen (5) ist die Rechenzeit eines Vorlaufes für kleine Clnur gering.Es sei T die Zeit einer Rechnung mit pxq Punkten ohne Vorlauf und t2(Cl). . . 0··d~e Ze~t elner Rechnung, deren AnfangsflQß ljJ durch e~nen Vorlauf m~t(O'p)X(Cl'q) Punkten gewonnen wurde. Offensichtlich giltt 2(O) = Tt 2( 1) = 0tt 2(Cl ) < 0wir approx~m~eren t2(a)durch(6)yt (a) = T· ( 1-Cl) \.2Die Zahl K ist abhängig von dem zugrunde liegenden Progr~nm. Wir wählenK so, daß (6) optimale Herte fiir das zvreidimensionale SU..Prograrmn SN~\'1(vglo ~-11 ..7) liefert. Es wurden insgesamt zehn verschiedene physika.lischeProbleme mit SN~W gerechnet, jeweilS mit Vorläufen für mehrere Cl, Diestatistische Mittelung der Rechenzeiten t 2(Cl) ergab für SN~W einen opti-malen Wert von K=2.Die gesamte Rechenzeit, die ein SN-Lauf mit einem Vorlauf von (a'p)x(a'q)Punkten benötigt, ist nunmehr na.ch (5) und (6)- 5 -vlir bezeichnen am folgenden als "relat i ve Rechenzeit" den i-Jert y( 0'.) =R(O'.)/T. Es istOffensichtlich ist y(O'.) für 0'.=0,5 minimal ~it y(0,5) = 0,5. Das bedeutet,daß bei einen Vorlauf mit 0'.=0,5 ein Rechenzeiteewinn von 50% vorliegt.Zur Nachpriifung dieses theoretisch ermittelten v:'ertes wurden mit Hilfevon sn0vJ zehn verschiedene Transponprobleme mit Vorläufen für ver-schiedene 0'. gerechnet. In Tabelle 1 sind die zehn gerechneten Anordnungendargestellt.Nr. Bezeichnung Li teratu:r; ~eometrie SN-Ordnung Punkte Gruppen1 SUAK U1B ;-9 7 (x,y) 4 256 26-2 SITEAK 3A1 ;-6 7 (R,Z) 4 3696 2-3 TH0TRAH-SP11PLE PR. ;-8 7 (x,y) 4 100 2- -4 Krit.Anordnung(R,Z) 4 506 26(0'emessen)5 wie 4, nur adjung. (R,Z) 4 506 266 Unendl.Zylinder (R,e) 4 80 2U2357 DTF-SAldPLE-PR. r3 7 (x,y) 4 324 3-8 Unendl. Zylinder (R,Z) 4 150 89 wie 8 (R,Z) 8 150 810 wie 8, andere (R,Z) 4 150 8AbfragetechnikTabelle 1- 6 -Für jede dieser Anordnungen wurden Rechnungen durchgef~~rt mit Vorläufenfür a = 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8. Die relativen Rechenzeiten y(a) sindin Tabelle 2 gelistet (N = Nummer der Anordnung (vgl. Tab. 1)).N 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81 0.52 0.61 0.58 0,73 0.772 0,67 0.58 0.68 0,67 0.77I 3 0.56 0.52 0.48 0,57 0.70I·I 4 0,68 0,48 0,55 0,52 0,65II 5 1.00 0,(1,2 0,94 0,66 O.BOI 6 0,62 0,40 0,39 0,75 0,55I0,65 0,667 0,65 0,66 0,79-8 0.40 0.19 0.21 0,25 0.419 0.28 0,32 0,33 0,37 0,5310 0,56 0.41 0,43 0,62 0.60-Te.belle 2Man sieht. daß die Ergebnisse stark von den Anordnungen abhängen. jedochgilt allgemein. daß a =0.5 optimale Rechenzeiten liefert. In Tabelle 3ist in Spalte 2 der ar i.t.hmet i sche lVIittehTert über alle Anordnungen fürjedes a eingetragen. In Spalte 3 finden sich die mit Hilfe von (7) errech-neten relativen Rechenzeiten.a rremitt,elte Zeiten errechnete Zeiten0.4 0,59 0.520,5 0,50 0.500,6 0.52 0.520.7 0,58 0,58I 0.8 J. 0.66 0,68 J- .Tabelle 3- 7 -3) SN-Rechnungen mit mehreren Vorläufen. -..- ..Es seien mehrere SN-Rechnungen mit den Punkten (a.·p)x(a,·q) mit O<cx 1<cx2<•• <.• J . J•• <« <1 hintereinandergeschaltet • Der Ausgangs t'Luß einer Rechnung dienenbei der folgenden (nach einer linearen Interpolation) als Anfangsfluß.\venn t (a;,a. +1) die Rechenzeit bedeutet, die der .i-te Lauf benöt i gt , sou .Jgilt (vgl. Kap. 2)):t(cy"a) = 0t (0 ,cd 2·T= at(a,1) = T.(1_a)2Wir setzen daherDie relative Rechenzeit bei elner Rechnung mit den·Vorläufen mit O<a 1<a2< ••<a <1 gegenüber einer normalen Rechnung ist dannnfür a =0 und a =1.o n+1Speziell ergibt sich fürc , = ....L1·J n+die relative Rechenzeit~1y(cx1,.···,a ) =-1-n n+U=1,2, •• ,n)d.h. für wachsendes n wird die Rechenzeit beliebig klein. Letzteres steht imWiderspruch zur Erfahrung. Der Grund liegt in den beiden folgenden Effekten~- 8 -1. Die Voraussetzung t(ata) = 0 ist theoretisch. In der Pr~xis wird beieinem durch t(ata) beschriebenen Lauf mindestens eine äußere Iterationdurchgeführt mit allen zugehörigen peripheren Prograrmndurchläufenbis zu der Feststellung t daß Eingangs- und AusganGsfluß identischsind. Die hierdurch verursachte Rechenzeitverzögerung ist proportional2a •2. Nichtberücksichtigt 1m obigen Hodell sind die Interpolationszeiten tdie für kleine n zwar vernachlässigbar t für große n jedoch ins GewichtA.. • 2f'e.LLen, uch d.iese sand propor-t i onal, zu a •Es ist daher notwendig t die Formel (9) zu korrigieren t etwa durch Anhän[eneines Termsn-1c . Ij=12a.,](C>O)Die in 1) beschriebene Rechenzeitverzögerung tritt in der Praxis dann auf twenn in einem Z,-lischenlauf a . und o . 1 sich nur ven i g unterscheiden. so1 J+ ~r:\. • 2 ..~. - 1·' fdaß eane nu t C' a korrIGIerte Formel dann gute Rec aenz e i t en Li.e ert, wenndie Anzahl der Vorläufe grol? ist.Hir setzen also( 10)nI (a. 1-a .) + C •• ' .1+ JJ=O -2a .JDiese Formel ist, ,....ie ervähnt , um so genaue r , je größer n ist. Die Konstanteeist progr-armabhäng i g , Für SN\l1-Vi erhält man experimentell C = 0 t25.Die mit (10) für verschiedene Strategien errechneten Hechenzeiten sollenim folgenden mit experimentellen Frgebnissen verglichen werden. Die Anord-nungen der 'I'abel.Le "! wurden mit Hilfe verschiedener Strategien mit zwei, dreiund vier Vorläufen gerechnet. In Tabelle 4 sind die den ausgew8,hltenstrategien zugeordneten (y'v (v=l ,2 t •• ) sowie die relativen Rechenzeitender Anordnung 1 bis 10 gelistet. 1\iie man sieht t scheint die Vorlauf-Kombination mitA n 0 r d nun gStrategieAnzahl der• \11 .......~- . ... .. , .. . .il'1iIIVorLäut'e Ci, Ci2 Ci3Ci4, 2~l4 5 I 6 7 8 9 10•. '. I1 » -tl --2 0.33 0.66 0,62 o .lt8 0.5 0 0.43 0.57 0.59 0.58 0.30 0.29 0.48.. -"MN2 0.25 0.50 0.57 0.41 0.4)+ 0.4B 0.49 0.32 0.60 0.27 0.25 0.46....... ...2 0.50 °.75 0.64 0.55 ° .41~ 0.50 0.75 0.38 0.70 0.23 0.3)-1- 0.42.. 11 rIt:P'l 'I -3 0.25 0.50 0.75 0.62 0.48 0.50 0.45 0.56 0.57 0.65 0.34 0.28 0.47'I' , rl" liI ......._..3 0.13 0.25 0.50 0.60 0.40 - 0.48 0.)-1-8 0.37 0.61 0.31 0.28 0,50--4 0.20 0.40 0.60 0.80 0.69 °.4e 0.49 0.48 0.61 O.Tr 0.70 0.26 0.29 0.56~~lliIitM -- -'I'ab elle 4I\0- 10 -die optimalen Rechenzeiten zu liefern. Arithr,etische ~ittelung über alleAnordnungen ergibt die in Tabelle 5 aufgezeichneten relativen Rechen-zeiten. Zum Vergleich sind in der letzten Spalte die mit (10) errechnetenZeiten aufgetragen.hAnz ahL ! gemlttelte errecnnete Ider Vorläufe Cl. 1 Cl.2 0,3 0,4 Zeiten Zeiten2 0,33 0,66 o,h9 I 0,472 10,25 0,50 0,43 I 0,45I2 0,50 0,75 0,50 0,583 0,25 0,50 0,75 0,49 0,473 0,13 0,25 0,50 I 0,45 0,434 0,20 0,40 0,60 0,80 0,53 0,50Tabelle 5- 11 -4) Ogtimale StrategienWie bereits erwähnt, ist die Formel (10) für große n gut geeignet, dadie ihr zugrunde liegenden Annahmen teilweise erst bei einer großenAnzahl von Vorläufen voll gerechtfertigt sind. Es ist daher möglich,rili t Hilfe von (10) zu untersuchen, wie das Vorschalten einer großenAnzahl von Vorläufen vor den Hauptlauf sich in der Rechenzeit aus-wirkt.Im folgenden werden zwei Strategien, die sich bei den Untersuchungen inKap. 3) als günstig herausstellten, für n=2,3,4, ••• ,10 betrachtet. Dieerste ist gegeben durch die Ci.-"Herte:Ci.. = j/(n+1)JFür n=2,3 erhält man eine relative Rechenzeit von 0,47 (vgl. Tabelle 5).Tabelle 6 zeigt die Rechenzeiten für alle n ~ 10:n errechnete Zeiten2 0,473 0,474 0,505 0,556 0,617 0,678 0,749 0,8110 0,89Tabelle 6Für n = 2,3 erhält man die optimalen Rechenzeiten.Die zweite zu betrachtende Strategie sei gegeben durch die a-Werte( 1 1 \\ I I I 1l~n+1-jet. - /c.J- 12 -Tabelle 7 zeigt die relativen Zeiten für 2 ~ n < 10n errechnete Zeiten2 0,45313 O,l~2584 0,4 1905 0,40506 0,)+0467 0,40458 0,40459 I 0,404510 I 0,4045.......lTabelle 7........... Im.Diese Strategie ist offensichtlich für große n günstig. Im Gegens at.z zurStrategie (6) konvergieren die Zeiten für wachsendes n e;egen einen festenWert. Für eine große Anzahl von Vorläufen gewinnt man etwa 60% an Rechen-zeit.Um zu prüfen, ob Strategien mit besserer Rechenzeitausnutzung existieren,bilden wir die ersten Ableitungen der Funktion y(a .ary, •• ,a ) in (10)1 c: nund setzen•••• =3.J....=0danMan erhält ein Gleichungssystem für (\1,a2,••• ,an•Die Lösung ergibt diebestmögliche Strategie. In Tabelle 8 sind die so bestirMaten optimalenStrategien für n=2,3,4,5,6,7 auf'geze i chnet , Die letzte Spalte enthältdie zugehörigen relativen Rechenzeiten:- 13 -n ~1 °2 a,3 a,4 1°'5 a,6 a,7 errechneteZeiten2 0,25 0,55 0,44593 0,15 0,33 0,59 0,41054 0,09 0,16 0,33 0,59 0,40035 0,04 0,°9 10,16 0,33 0,59 0,39676 0,02 0,°5 0,10 0,20 0,36 0,60 0,39267 0,01 0,03 0,06 0,12 0,22 0,37 0,61 0,3913Tabelle 8Der Vergleich mit Tabelle 7 zeigt, daß die durch (11) definierte Strategiefast die best möglichen Zeiten erreicht.Man kann also zus&~enfassend feststellen, daß bei elnem SN-Problem mitpxq verschiedenen Ortspunkten die Vorlaufkombinationp/2 x q/2p/4 x q/4••••••••n n-0/2 x 0/2. -,einen ReChenzeitgewinn von knapp 60% liefert. Die Zahl n ist dabei be-schränkt durch p, q sowie durch die Anzahl der Reaktorzonen, da imersten Vorlauf in jeder Zone mindestens ein Intervall liegen sollte.Diese Strategie eignet sich insbesondere zum standardmäßigen Einbauin das Programm.Literatur;-8 7- -- 14 -B.G. CarlsonSolution of the transport equation by SN-approximationLA.-1891 (1955)B.G. Carlson, C.E. Lee, vl.J. 'i'TorltonThe DSN and TDC neutron transport codesIJI.-2346 (1959)K.D. LathropDTF IV, a Fortran IV program for solving the multigrouptransport equation with anisotropie scatteringLA.-3373 (1965)K.D. Lathrop, B.G. CarlsonDiscrete ordinates angular quadrature of the neutrontransport equationLA.-3186 (1965)R.S. VargaMatrix i terative analysisL. Barleon et allPhysics investigations of a 6701 steam cooled fast reactorsystem in SNEAK, as sembly 3A-1KFK 627 (1967)K.D. LathropUser's guide for the TW~TRAN (x,y) programLA-4058 (1968)K.D. LathropTW~TRAN - a F~RTRAN program for two dimensional transportG.A. 8747 (1968)F. Mitzel. K.E. SchroeterGepulste Experimente an der Schnellen Unterkritischen Anlage(SUAK) und Vergleich der Ergebnisse mit ExperimentenNukleonik 12, 110 - 117 (1969)R.E. Sullivan, D. Yu, L.K. AlberoReduction of machine time in discrete ordinates calculationsProc. of conf. on the effective uses of comp. in the nucl.indust.Knoxville, Tennessee (1969)C. Günther, W. KinnebrockSN~Vl - Ein zweidimensionales SN...Programm zur Lösung der Neutronen-Transportgleichung in Platten- und ZylindergeametrieKFK, erscheint demnächst

Strategien zur Beschleunigung zweidimensionaler SN-Verfahren mit Hilfe der Grobgittertechnik

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Strategien zur Beschleunigung zweidimensionaler SN-Verfahren mit Hilfe der Grobgittertechnik

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