Error analysis of splitting methods for wave type equations

Abstract

In dieser Doktorarbeit analysieren wir Splittingverfahren für zwei wellenartige Gleichungen. Wir untersuchen das Lie- und das Strangsplitting für die kubisch nichtlineare Schrödingergleichung auf dem Ganzraum und dem Torus in bis zu drei Raumdimensionen. Wir beweisen, dass das Strangsplitting in $L^2$ mit Ordnung $1+\theta$ für Anfangsfunktionen in $H^{2+2\theta}$ mit $\theta\in (0,1)$ konvergiert und dass beide Splittingverfahren mit Ordnung eins für Anfangsfunktionen in $H^2$ konvergieren. Wir bestätigen die theoretischen Konvergenzordnungen durch numerische Experimente. Außerdem analysieren wir ein "Alternating direction implicit"-Zeitsplittingverfahren für die Maxwellgleichungen mit Quellen, Strömen und Leitfähigkeit. Wir zeigen, dass es effizient ist, dass es mit Ordnung zwei in $L^2$ und in einem schwachen Sinne konvergiert, und dass es die Divergenzbedingungen bis auf Ordnung eins in $L^2$ und in einem schwachen Sinne erhält. Wir bestätigen die $L^2$-Resultate durch numerische Experimente