Ризванов, 3. 3.

Фазлеева, Э. И.

Kazan Federal University Digital Repository

Ç. Ç. ÐÈÇÂÀÍÎÂ, Ý.È.ÔÀÇËÅÅÂÀ 151Ç. Ç. Ðèçâàíîâ, Ý.È.ÔàçëååâàÊàçàíñêèé (Ïðèâîëæñêèé) ôåäåðàëüíûé óíèâåðñèòåò,rizvanov.zemr@mail.ru, elmira.fazleeva@mail.ruÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈßÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÔóíêöèîíàëüíûé ìåòîä, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèèñâîéñòâ ôóíêöèé, ïîçâîëÿåò ðåøàòü ìíîãèå çàäà÷è ìàòåìàòè-êè, â òîì ÷èñëå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà. Â îòëè÷èå îò ãðàôè-÷åñêîãî ìåòîäà, çíàíèå ñâîéñòâ ôóíêöèé ïîçâîëÿåò íàõîäèòüòî÷íûå êîðíè óðàâíåíèÿ (íåðàâåíñòâà), ïðè ýòîì íå òðåáóåòñÿïîñòðîåíèÿ ãðàôèêîâ ôóíêöèé. Èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâ ôóíê-öèé ñïîñîáñòâóåò ðàöèîíàëèçàöèè ðåøåíèé óðàâíåíèé è íåðà-âåíñòâ.Ìîæíî âûäåëèòü ñëåäóþùèå ñïîñîáû èñïîëüçîâàíèÿ ôóíê-öèîíàëüíîãî ìåòîäà ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ: èñ-ïîëüçîâàíèå ïîíÿòèÿ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè; èñïîëüçî-âàíèå ïîíÿòèÿ îáëàñòè çíà÷åíèé ôóíêöèè; èñïîëüçîâàíèå ñâîé-ñòâà ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè; èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâ ÷åòíîñòèèëè íå÷åòíîñòè ôóíêöèé; èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâà ïåðèîäè÷íî-ñòè ôóíêöèè.Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.Ïðèìåð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå: sin x2+6x+13== (p2)2x2+12x+17 .Ðåøåíèå. 1. x2 + 6x+ 13 = (x+ 3)2 + 4; (x+ 3)2 + 4 > 4 ,0 <(x+ 3)2 + 46 4; 0 < sin(x+ 3)2 + 46p22:2. Ãðàôèêîì ôóíêöèè f(x) = 2x2+12x+17 ÿâëÿåòñÿ ïàðà-áîëà, âåòâè êîòîðîé íàïðàâëåíû ââåðõ. Êîîðäèíàòû âåðøèíû:152 Ç. Ç. ÐÈÇÂÀÍÎÂ, Ý.È.ÔÀÇËÅÅÂÀx0 =  3 ,f(x0) =  1 . Ñëåäîâàòåëüíî, f(x) >  1 . Òîãäà, â ñèëóâîçðàñòàíèÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè, èìååì:(p2)2x2+12x+17 > (p2) 1 =p22:3. Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ, åñëè8<:sin x2+6x+13 =p22 ;(p2)2x2+12x+17 =p22 :4. Ðåøåíèåì ñèñòåìû è, ñëåäîâàòåëüíî, íàøåãî óðàâíåíèÿÿâëÿåòñÿ x =  3 .Îòâåò:  3:Ïðèìåð 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: log2(8  x) 6 3x  10 .Ðåøåíèå. 1. ÎÄÇ: x < 8 .2. Ïðè x = 4 ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè ðàâíû.3. Òàê êàê ëåâàÿ ÷àñòü  ñòðîãî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, à ïðàâàÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ, òî íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò x > 4 .4. Ñ ó÷åòîì ÎÄÇ èìååì: 4 6 x < 8 .Îòâåò:x 2 [4; 8) .Ïðèìåð 3. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: cosx cos 3x < cos 5x cos 7x .Ðåøåíèå. Ýêâèâàëåíòíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïðèäåì ê íåðà-âåíñòâó cos 4x  cos 12x < 0 . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþf(x) = cos 4x  cos 12x = 2 sin 8x sin 4x:Åå ïåðèîä T = =2: Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå íåðàâåíñòâàäîñòàòî÷íî íàéòè íà ïðîìåæóòêå [ =4;=4] . Òàê êàê ôóíê-öèÿ ÷åòíàÿ, òî ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî íàéòè ëèøü íà îòðåçêå[0;=4] . Ôóíêöèÿ íà äàííîì ïðîìåæóòêå èìååò äâà êîðíÿ:0; =8; êîòîðûå ðàçáèâàþò ïðîìåæóòîê [0;=4] íà äâà èíòåðâà-ëà çíàêîïîñòîÿíñòâà: (0;=8); (=8;=4) . Íåðàâåíñòâî âûïîë-íÿåòñÿ äëÿ âñåõ x2(=8;=4) . Íî òîãäà îíî áóäåò âûïîëíÿòüñÿè äëÿ x2( =4; =8) .Ì.Ñ.ÐÎÃÎÇÈÍÀ 153Ó÷èòûâàÿ ïåðèîäè÷íîñòü ôóíêöèè, çàïèøåì îáùåå ðåøå-íèå íåðàâåíñòâà 4+k2< x <  8+k2;8+k2< x <4+k2; k 2 Z :Ë È Ò Å Ð À Ò Ó Ð À1. ÊîâàëåâàÃ.È., ÊîíêèíàÅ.Â.Ôóíêöèîíàëüíûé ìåòîä ðå-øåíèÿ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ.  Ì.: ×èñòûå ïðóäû, 2008. 32 c.2. ËûñåíêîÔ.Ô., ÊàëàøíèêîâÂ.Þ., ÍåéìàðêÀ.Á., Äàâû-äîâÁ.Å.Ìàòåìàòèêà. Ïîäãîòîâêà ê ÅÃÝ, ïîäãîòîâêà ê âñòó-ïèòåëüíûì ýêçàìåíàì.  Ðîñòîâ-íà-Äîíó: Ñôèíêñ, 2004. 400 c.Ì.Ñ.ÐîãîçèíàÑèáèðñêèé ôåäåðàëüíûé óíèâåðñèòåò,rogozina.marina@mail.ruÎ ÊÎÐÐÅÊÒÍÎÑÒÈ ÍÅßÂÍÛÕÌÍÎÃÎÑËÎÉÍÛÕ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌÒåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì  ðàçäåë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòå-ìàòèêè, èçó÷àþùèé ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ äèôôå-ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïóòåì èõ çàìåíû êîíå÷íîðàçíîñòíû-ìè óðàâíåíèÿìè (ðàçíîñòíûìè ñõåìàìè) (ñì., íàïðèìåð, [1]).Îäíà èç âàæíûõ çàäà÷ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì  èññëåäîâàíèåêîððåêòíîñòè ðàçíîñòíûõ çàäà÷.Ââåäåì íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü1  îïåðàòîð ñäâèãà ïî ïåðåìåííîé x , ò. å. 1f(x; y) == f(x + 1; y) , à 2  îïåðàòîð ñäâèãà ïî ïåðåìåííîé y , ò. å.

Функциональный метод решения уравнений и неравенств

http://dspace.kpfu.ru/xmlui/bitstream/net/107753/1/2014_50_151-153.pdf

Функциональный метод решения уравнений и неравенств

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Kazan Federal University Digital Repository