Periodic homogenization of a pseudo-parabolic equation via a spatial-temporal decomposition

Abstract

Pseudo-parabolische vergelijkingen zijn gebruikt om onverzadigde vloeistof flow in poreuze media te modelleren. In dit rapport wordt aangetoond hoe een pseudo-parabolische vergelijking kan worden opgeschaald wanneer een spatiaal-temporale decompositie gebruikt in het Psezynska-Showalter-Yi paper [8] wordt toegepast. Deze spataal-temporale decompositie transformeert de pseudo-parabolische vergelijking in een system dat zowel elliptische partiele differentiaal vergelijkingen als een temporale gewone differentiaal vergelijking bevat. Om ons argument kracht bij te zetten, is er een advectie/diffusie/drift term toegevoegd aan de pseudo-parabolische vergelijking. De opschaling is gedaan met de periodieke homogenizatie techniek via twee-schaal convergentie. De correct-gesteldheid van deze uitgebreide pseudo-parabolische vergelijking is ook aangetoond. Daarnaast argumenteren wij dat onder bepaalde omstandigheden een niet-lokaal-in-tijd term verschijnt door de eliminatie van een variabele. Pseudo-parabolic equations have been used to model unsaturated fluid\u3cbr/\u3eflow in porous media. In this paper it is shown how a pseudo-parabolic equation can be upscaled when using a spatio-temporal decomposition employed in the Peszynska-Showalter-Yi paper [8]. The spatial-temporal decomposition transforms the pseudo-parabolic equation into a system containing an elliptic partial differential equation and a temporal ordinary differential equation. To strengthen our argument, the pseudo-parabolic equation has been given advection/convection/drif terms. The upscaling is done with the technique of periodic homogenization via two-scale convergence. The well-posedness of the extended pseudo-parabolic equation is shown as well. Moreover, we argue that under certain conditions, a non-local-in-time term arises from the elimination of an unknown