La democràcia parlamentària està basada en l'elecció justa d'un nombre petit d'individus (diputats) per representar un nombre molt més gran de ciutadans. És una idea ben clara, llevat que. . . què vol dir justa

Alabert, Aureli

Diposit Digital de Documents de la UAB

MAT 2MATerials MATema`ticsVolum 2006, treball no. 11, 8 pp. ISSN: 1887-1097Publicacio´ electro`nica de divulgacio´ del Departament de Matema`tiquesde la Universitat Auto`noma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmatDemocra`cia: dels vots als escons∗Aureli AlabertLa democra`cia parlamenta`ria esta` basada en l’eleccio´ justa d’un nombrepetit d’individus (diputats) per representar un nombre molt me´s gran deciutadans. E´s una idea ben clara, llevat que. . . que` vol dir justa?Al nostre pa´ıs, els candidats a diputat es presenten a les eleccions agru-pats en les anomenades candidatures o llistes, que poden ser presentades perpartits pol´ıtics o per coalicions de partits. Cada elector vota una de les llistes.A partir del nombre de vots obtinguts, cada llista rep una certa quantitatd’escons.La pregunta e´s, doncs, com determinar, a partir del nombre de vots querep cada llista, la quantitat d’escons que li correspon. El sistema que s’u-tilitza a les eleccions al Parlament de Catalunya es coneix amb el nom dellei de d’Hondt, i els ca`lculs que requereix so´n molt fa`cils de fer. Prenguemcom a exemple els resultats de les eleccions del 17 d’octubre de 1999 a lacircumscripcio´ de Lleida, on calia escollir 15 diputats.Fem una taula amb una fila per a cada candidatura, i posem a la primeracolumna el nombre de vots v que ha obtingut cadascuna. La llista amb me´svots (CiU) rep el primer esco´. Hi fem una marca, i posem a la segona columnael nombre de vots dividit per 2.v v/2CiU •91199 45600PSC-CC-IC-V 55963ERC 22011PP 15121∗Aparegut pre`viament com a Cap´ıtol 2.1 del llibre Fes Matema`tiques, Dept. de Ma-tema`tiques, Univ. Auto`noma de Barcelona, 2000.2 Democra`cia: dels vots als esconsEntre tots els nu´meros de la taula que no estan marcats, escollim el me´sgran. La candidatura corresponent rep el segon esco´. En aquest cas, e´sla coalicio´ PSC-CC-IC-V. Marquem el nu´mero i posem tambe´ a la columnasegu¨ent aquest nu´mero dividit per 2. El segu¨ent nu´mero me´s alt sense marcare´s un altre cop el de CiU, que rep el tercer esco´. Ara posem a la terceracolumna el nombre de vots dividit per 3.El procediment continua fins que s’han esgotat els 15 escons. A cadacolumna cal dividir els vots per 1, 2, 3, 4, . . . La taula resultant, amb elsescons e assignats finalment a cada candidatura e´s:v v/2 v/3 v/4 v/5 v/6 v/7 v/8 v/9 eCiU •91199 •45600 •30400 •22800 •18240 •15200 •13028 •11400 10133 8PSC-CC-IC-V •55963 •27982 •18654 •13991 •11193 5ERC •22011 11006 1PP •15121 7561 1La llei de d’Hondt e´s un algorisme, e´s a dir, un procediment que mena ala resolucio´ d’un cert problema matema`tic. Per tant, e´s lo`gic demanar-se:• Quin problema matema`tic resol la llei de d’Hondt?• E´s aquest problema matema`tic un bon model per al repartiment justdels escons?En principi, el que voldr´ıem d’un sistema electoral proporcional e´s quela proporcio´ d’escons de cada llista fos igual a la proporcio´ de vots que haobtingut. Veiem a la taula que ERC, per exemple, ha rebut 22 011 vots sobreun total de 184 294. Per conservar aquesta proporcio´, la quota d’escons q queli correspon es calcularia fent22 011184 294=q15, ⇒ q = 1.79 .El mateix ca`lcul per a les altres llistes ens do´na quotes de 7.42, 4.55 i 1.23.Ate`s que no podem assignar fraccions d’esco´, hem de trobar una manerad’aproximar aquests valors de q per nombres enters. Examinarem tres pos-sibilitats, entre les moltes que hi ha.Suposem que hi ha n candidatures. Denotem per vi, i = 1, . . . , n la quan-titat de vots aconseguits per la candidatura i. Si li assignem una quantitat ei(entera) d’escons, aleshores el quocient vi/ei e´s el preu, en vots, de cada esco´obtingut per i. La llista me´s afavorida e´s la que obte´ el preu mini=1,...,n vi/ei.Aquest mı´nim sempre esta` acotat superiorment (per V/E, on V e´s el nombretotal de vots emesos i E e´s el nombre total d’escons per repartir). Per tant,Aureli Alabert 3si escollim els ei de manera que el preu mı´nim sigui el ma`xim possible, estemuniformitzant el preu per esco´ de totes les candidatures.En definitiva, obtenim el problema matema`tic de trobar les n quantitatse1, . . . , en, enteres positives i de suma E, per a les quals s’obte´ elmax mini=1,...,nviei.Aquest problema pertany a una classe de problemes d’optimitzacio´, ano-menats de programacio´ entera, que so´n en general molt dif´ıcils. Afortunada-ment, pero`, en aquest cas hi ha un algorisme molt eficient per resoldre’l. Estracta precisament de la llei de d’Hondt. Aixo` respon a la primera preguntaque formula`vem.Com acabem de veure, el model matema`tic de “just´ıcia electoral” que hiha darrere de la llei de d’Hondt prete´n uniformitzar els preus per esco´ “al’alc¸a”. Tambe´ podem uniformitzar “a la baixa”: la llista menys afavoridae´s la que paga el preu maxi=1,...,n vi/ei. Escollirem aleshores els ei de formaque aquest preu sigui el mı´nim possible. S’obte´ el problemamin maxi=1,...,nviei.Aquest problema tambe´ te´ un algorisme de resolucio´ eficient, similar al dela llei de d’Hondt. Nome´s cal canviar els divisors de cada columna, queeren 1, 2, 3, 4, . . . per la sequ¨e`ncia 0, 1, 2, 3, . . . L’algorisme s’anomena lleid’Adams o dels divisors me´s petits. En el nostre exemple de Lleida obtindr´ıemla taula segu¨ent, on el resultat de la divisio´ per 0 el representem amb el s´ımbol∞, que cal interpretar en el sentit que totes les llistes reben un primer esco´abans que cap d’elles en rebi el segon.v/0 v/1 v/2 v/3 v/4 v/5 v/6 v/7 eCiU •∞ •91199 •45600 •30400 •22800 •18240 •15200 13028 7PSC-CC-IC-V •∞ •55963 •27982 •18654 13991 4ERC •∞ •22011 11006 2PP •∞ •15121 2Considerarem finalment el model segu¨ent: si E e´s el nombre total d’esconsi V el nombre total de vots, e´s lo`gic demanar que cada elector tingui un“poder d’influe`ncia” sobre aproximadament E/V escons. Si vota la llista i,el seu poder d’influe`ncia ha estat realment de ei/vi, puix que ei e´s el nombred’escons assignats a la llista i. Les difere`ncies eivi− EVes poden interpretar comMAT 2MATerials MATema`ticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.Publicacio´ electro`nica de divulgacio´ del Departament de Matema`tiquesde la Universitat Auto`noma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmatTrigonometria esfe`rica i hiperbo`licaJoan GirbauL’objectiu d’aquestes notes e´s establir de forma curta i elegant les fo´rmulesfonamentals de la trigonometria esfe`rica i de la trigonometria hiperbo`lica.La redaccio´ consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a latrigonometria esfe`rica i l’altra, a la hiperbo`lica. La primera esta` adrec¸ada aestudiants de primer curs de qualsevol carrera te`cnica. La segona requereixdel lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.1 Trigonometria esfe`ricaAquells lectors que ja sa`piguen que` e´s un triangle esfe`ric i com es mesuren elsseus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passardirectament a la subseccio´ 1.3.1.1 Arc de circumfere`ncia determinat per dos puntsA cada dos punts A i B de la circumfere`ncia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un u´nic arc de circumfere`ncia, de longitud menor quepi, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuacio´.ABOfigura 14 Democra`cia: dels vots als esconsuna desviacio´ de l’assignacio´ ideal deguda a circumsta`ncies aleato`ries. Unamesura habitual d’aquestes desviacions e´s l’error quadra`tic. Si volem queaquest error quadra`tic sigui mı´nim, haurem de trobar l’assignacio´ e1, . . . , en,que faminn∑i=1vi(eivi− EV)2.Aquest model esta` en certa manera a mig camı´ entre el corresponent ala llei de d’Hondt i el que do´na lloc a la llei d’Adams, com es pot veuredel fet que tambe´ e´s resoluble mitjanc¸ant una sequ¨e`ncia de divisors, que enaquest cas e´s 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, . . . (equivalentment, es pot usar la sequ¨e`ncia1, 3, 5, 7, . . . , que do´na el mateix resultat). L’algorisme es coneix amb elnom de llei de Sainte-Lague¨. L’assignacio´ d’escons resultant a Lleida e´s lasegu¨ent:v v/3 v/5 v/7 v/9 v/11 v/13 v/15 eCiU •91199 •30400 •18240 •13028 •10133 •8291 •7015 6080 7PSC-CC-IC-V •55963 •18654 •11193 •7995 •6218 5ERC •22011 •7337 4402 2PP •15121 7561 1Observem que els resultats dels tres models matema`tics de “just´ıcia elec-toral” que hem presentat so´n diferents. No obstant aixo`, tots tres estan benmotivats en termes d’una funcio´ objectiu que cal minimitzar o maximitzari que representa una mesura de desproporcionalitat respecte a la quota. Laconclusio´ e´s que no es pot parlar d’una u´nica manera justa d’assignar escons.L’eleccio´ del criteri a emprar e´s arbitra`ria i s’ha de fer a partir de consideraci-ons pol´ıtiques. Un cop escollit el criteri, correspon a les matema`tiques trobarla manera adequada de representar-lo sense ambigu¨itats i proporcionar al-gun me`tode eficient per obtenir els resultats. A la vegada, la simulacio´ deresultats d’eleccions sota diferents criteris pot aportar idees per a l’adopcio´d’un sistema electoral, o per a la invencio´ de nous sistemes.El lector pot dissenyar fa`cilment altres me`todes a partir dels anteriors; defet, se’n poden assajar infinits com a variants de les regles de divisors que hemvist aqu´ı. So´n possibles tambe´ altres criteris molt raonables de repartimentproporcional, i que no so´n resolubles mitjanc¸ant sequ¨e`ncies de divisors. La lleide d’Hondt deu el seu nom al jurista belga Victor d’Hondt, que el proposa` el1878, tot i que ja havia estat inventat anteriorment pel nord-america` ThomasJefferson. S’utilitza, a me´s de Catalunya, a Espanya, Portugal i Finla`ndia,entre d’altres. A. Sainte-Lague¨ publica` el seu me`tode el 1910, i e´s conegut aAureli Alabert 5Ame`rica del Nord amb el nom de llei de Webster. S’utilitza actualment, enforma pura, a Nova Zelanda i, amb certes modificacions, a molts altres llocs.La llei d’Adams esta` en desu´s.Si be´ els tres models vistos donen resultats diferents, que podrien certa-ment conduir a molt diversos escenaris a l’hora de la cerca de l’estabilitatparlamenta`ria i la formacio´ de govern, e´s clar que les difere`ncies so´n petites.Hi ha dos factors me´s del disseny d’un sistema electoral que solen tenir unainflue`ncia me´s gran en la desproporcio´ entre vots i escons que de vegadess’observa. El primer d’aquest factors e´s la divisio´ en circumscripcions; elsegon e´s el llindar inferior.La divisio´ en circumscripcions prete´n que els futurs diputats representintambe´ un territori, a me´s de representar a electors concrets. Si comparemla proporcio´ d’electors a cadascuna de les quatre circumscripcions catalanesamb el nombre de diputats que escullen, veiem que la circumscripcio´ deBarcelona esta` infrarepresentada en benefici de les altres tres.Circumscripcio´ Electors Quota EsconsBarcelona 2376050 102.35 85Tarragona 284221 12.24 18Girona 283346 12.21 17Lleida 190309 8.20 15Totals 3133926 135 135El terme quota vol dir aqu´ı els escons teo`rics que correspondrien a cada cir-cumscripcio´ si mantingue´ssim la proporcionalitat estricta amb la poblacio´d’electors que contenen. Determinar aquesta assignacio´ e´s un problema com-pletament ana`leg al de repartir escons entre candidatures. Per exemple, a leseleccions al Congre´s dels Diputats espanyol, cada circumscripcio´ (prov´ıncia)rep dos escons inicials i la resta es reparteix arrodonint cap amunt les quotesque tenen una part decimal me´s gran, i arrodonint cap avall la resta.El segon factor que hem esmentat, el llindar inferior, estableix que unacandidatura que no obtingui almenys el 3% dels vots en una circumscripcio´ e´sautoma`ticament eliminada, i els seus vots es perden. La justificacio´ pol´ıticad’aquesta norma e´s evitar que hi hagi una excessiva dispersio´ de partits enel Parlament.En el nostre exemple de Lleida, hem descartat ja d’entrada les set llistesque no van arribar al llindar. De fet, en aquest cas concret, tampoc no hau-rien obtingut representacio´ (amb la llei de d’Hondt) encara que no s’hague´sMAT 2MATerials MATema`ticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.Publicacio´ electro`nica de divulgacio´ del Departament de Matema`tiquesde la Universitat Auto`noma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmatTrigonometria esfe`rica i hiperbo`licaJoan GirbauL’objectiu d’aquestes notes e´s establir de forma curta i elegant les fo´rmulesfonamentals de la trigonometria esfe`rica i de la trigonometria hiperbo`lica.La redaccio´ consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a latrigonometria esfe`rica i l’altra, a la hiperbo`lica. La primera esta` adrec¸ada aestudiants de primer curs de qualsevol carrera te`cnica. La segona requereixdel lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.1 Trigonometria esfe`ricaAquells lectors que ja sa`piguen que` e´s un triangle esfe`ric i com es mesuren elsseus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passardirectament a la subseccio´ 1.3.1.1 Arc de circumfere`ncia determinat per dos puntsA cada dos punts A i B de la circumfere`ncia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un u´nic arc de circumfere`ncia, de longitud menor quepi, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuacio´.ABOfigura 16 Democra`cia: dels vots als esconsestablert el llindar. En efecte, la cinquena llista en nombre de vots, EV-CEC,n’obtingue´ 1232, que, com es comprova fa`cilment a la taula, e´s insuficient perobtenir l’u´ltim esco´.Examinarem la influe`ncia de la divisio´ en circumscripcions i del llindarinferior aplicant la llei de d’Hondt amb una sola circumscripcio´ i sense im-posar cap llindar mı´nim. En la taula segu¨ent, comparem els resultats ques’obtindrien amb aquest sistema (S2) amb els resultats oficials del sistemaactualment en vigor (S1).Llista Vots % Quota S1 S2CiU 1178420 37.70 51.37 56 53PSC-CIPC 948202 30.33 41.33 36 42PSC-CC-IC-V 235097 7.52 10.25 16 10PP 297265 9.51 12.96 12 13ERC 271173 8.67 11.82 12 12IC-V 78441 2.51 3.42 3 3EUiA 44454 1.42 1.94 0 1EV-CEC 22797 0.73 0.99 0 1EV-AV 8254 0.26 0.36 0 0POSI 2784 0.09 0.12 0 0EC 1774 0.06 0.08 0 0PHC 1327 0.04 0.06 0 0FE-JONS 1281 0.04 0.06 0 0UC-CDS 1161 0.04 0.05 0 0PLN 1029 0.03 0.04 0 0UNIC-FIC 881 0.03 0.04 0 0TPR 833 0.03 0.04 0 0PE 799 0.03 0.03 0 0LI(LIT-CI) 485 0.02 0.02 0 0UFD 447 0.01 0.02 0 0CAM 110 0.00 0.00 0 0PDEP 108 0.00 0.00 0 0Dues curiositats de l’assignacio´ S2: s’observa que els escons estan semprea dista`ncia me´s petita que 1 de la quota, excepte en el cas de CiU, quesembla anormalment suprarepresentada. En canvi, EUiA sembla injustamentAureli Alabert 7infrarepresentada. De fet, aquests dos partits es disputen l’u´ltim esco´ en joc.Si 15 votants de CiU (curts de vista) confonguessin la seva papereta ambla de EUiA, l’esco´ canviaria de mans. D’altra banda, si les dues coalicionsformades al voltant del PSC presentessin una u´nica candidatura, obtindrienun esco´ me´s (53), en perjudici de CiU (52) i sense afectar la resta de llistes.Les sigles que hem utilitzat corresponen a les candidatures segu¨ents:CiU Converge`ncia i Unio´PSC-CIPC PSC-Ciutadans pel CanviPSC-CC-IC-V PSC-Ciutadans pel Canvi-IC-VerdsPP Partit PopularERC Esquerra Republicana de CatalunyaIC-V Iniciativa per Catalunya-VerdsEUiA Esquerra Unida i AlternativaEV-CEC Els Verds (Confederacio´ Ecologista de Catalunya)EV-AV Els Verds-Alternativa VerdaPOSI Partit Obrer Socialista InternacionalistaEC Estat Catala`PHC Partit Humanista de CatalunyaFE-JONS Falange Espa~nola de las J.O.N.S.UC-CDS Unio´n Centrista-Centro Democra´tico y SocialPLN Partit de la Llei NaturalUNIC-FIC UNIC-FICTPR Trabajadores Pu´blicos RebotadosPE Partit Espinaltia`LI(LIT-CI) Lluita InternacionalistaUFD Unio´n Federal Democra´ticaCAM Catalans al Mo´nPDEP Partido Democra´tico del PuebloLa llei que regula les eleccions a tot el territori espanyol e´s essencialmentla Llei orga`nica 5/1985, de 19 de juny, del re`gim electoral general (BOE nu´m.147, de 20 de juny), amb algunes modificacions posteriors.Els resultats complets, per circumscripcions, comarques, municipis i can-didatura, de les eleccions al Parlament de Catalunya del 17 d’octubre de1999 es poden trobar a les pa`gines d’Internet de la Generalitat de Catalunya(http://www.gencat.cat).MAT 2MATerials MATema`ticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.Publicacio´ electro`nica de divulgacio´ del Departament de Matema`tiquesde la Universitat Auto`noma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmatTrigonometria esfe`rica i hiperbo`licaJoan GirbauL’objectiu d’aquestes notes e´s establir de forma curta i elegant les fo´rmulesfonamentals de la trigonometria esfe`rica i de la trigonometria hiperbo`lica.La redaccio´ consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a latrigonometria esfe`rica i l’altra, a la hiperbo`lica. La primera esta` adrec¸ada aestudiants de primer curs de qualsevol carrera te`cnica. La segona requereixdel lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.1 Trigonometria esfe`ricaAquells lectors que ja sa`piguen que` e´s un triangle esfe`ric i com es mesuren elsseus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passardirectament a la subseccio´ 1.3.1.1 Arc de circumfere`ncia determinat per dos puntsA cada dos punts A i B de la circumfere`ncia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un u´nic arc de circumfere`ncia, de longitud menor quepi, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuacio´.ABOfigura 18 Democra`cia: dels vots als esconsAureli AlabertDept. de Matema`tiquesUniversitat Auto`noma de Barcelona08193 BellaterraAureli.Alabert@uab.catPublicat el 18 de setembre de 2006

Democràcia : dels vots als escons

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Diposit Digital de Documents de la UAB