López-Gay, Rafael

Martínez Torregrosa, Joaquín

López Gay, Rafael

Martínez-Torregrosa, Joaquín

Repositorio Institucional de la Universidad de Alicante

1ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005. NÚMERO EXTRA. VII CONGRESOIDENTIFICACIÓN DE OBSTÁCULOS PARA UN USOCON COMPRENSIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL EN FÍSICALÓPEZ-GAY, RAFAEL y MARTÍNEZ TORREGROSA, JOAQUÍNDepartamento de Didáctica General y Didácticas Específicas de la Universidad de Alicante  1. INTRODUCCIÓNEl cálculo diferencial se usa de forma generalizada cuando se enseña física en un curso universitario. Larazón no es otra que la necesidad del cálculo para abordar situaciones mínimamente complejas, más cer-canas a la realidad que las tratadas en cursos elementales, aunque en muchas ocasiones esta justificaciónno se hace explícita y parece quedar reducida a una cuestión de rigor o abstracción en el lenguaje. Estopuede provocar importantes deficiencias y dificultades matemáticas que contribuyen a crear barreras paracomprender la física y abordarla con una actitud positiva (Steinberg y otros, 1996).Porter y Masingila (2000) afirman que los estudiantes piensan que no hay conceptos tras los procedimien-tos, para ellos las matemáticas consisten en realizar operaciones puntuales sobre símbolos sin significado,y reducen su aprendizaje a la memorización de algoritmos. No hemos encontrado muchos trabajos que aborden el problema de la introducción y utilización del cál-culo en el contexto de la física. Cabe mencionar, a modo de excepción, el interesante trabajo de un equipopluridisciplinar y de nivel universitario sobre el concepto de diferencial (Artigue y Viennot, 1987; GroupeDidactique du CNRS, 1989) que apoya nuestra percepción inicial y nos ha servido de punto de partida paranuestro estudio.2. OBJETIVOSCon la intención de mejorar el uso del cálculo en la física, hemos considerado necesario previamente ana-lizar la situación actual para identificar los obstáculos que guíen el diseño de nuestras secuencias de ense-ñanza. Pero, desde nuestro punto de vista, no tiene sentido realizar ese análisis sin clarificar antes en quéconsiste un aprendizaje con comprensión del cálculo diferencial. Será esta clarificación la que nos dará luzsobre qué aspectos analizar y sobre qué obstáculos han de ser tenidos en cuenta si queremos cambiar lasituación.Hemos realizado un estudio histórico sobre la evolución del cálculo diferencial, en especial sobre el con-cepto de diferencial teniendo en cuenta su importancia en las aplicaciones físicas. Ese estudio nos ha lle-vado a reconocer dos importantes concepciones que aún se mantienen en la enseñanza (Leibniz y Cauchy),pero también nos ha permitido tomar como punto de partida una nueva concepción (Fréchet) para clarifi-car y entender lo que se hace y por qué se hace cuando se usa el cálculo en la física. Las conclusiones deese estudio han sido presentadas con detalle en otros trabajos (Mtnez. Torregrosa y otros, 2002), aunqueresumimos aquí algunas ideas necesarias para comprender mejor los resultados que se presentarán másadelante:– Cuando se busca la relación funcional entre dos magnitudes: Δy=f(Δx), la causa que obliga a usar el cál-2 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005. NÚMERO EXTRA. VII CONGRESOculo diferencial no es el supuesto valor más o menos pequeño de Δx o Δy sino la existencia de una rela-ción no lineal entre ambas magnitudes- La diferencial (dy) no es un Δy más o menos pequeño, ni es el Δy correspondiente a un Δx más o menospequeño, ni tampoco es el límite al que tiende Δy cuando Δx tiende a cero. La diferencial (dy) es una esti-mación lineal del Δy producido por un Δx, y tiene la forma: dy=k(x)·Δx o, como suele escribirse: k(x)·dxLa forma exacta de esa expresión a veces constituye una definición (por ejemplo: dW=Fr·dr) y otras esuna hipótesis que se deriva del análisis físico de la situación (por ejemplo: dI=-α·I·dx). – La diferencial es una función de dos variables (x, Δx) y puede tomar distintos valores numéricos, grandeso pequeños, según el valor de x, Δx.– Para que la diferencial permita llegar al resultado exacto vía integral (límite de una serie de sumas), lapendiente de la estimación lineal (dy/dx) debe coincidir con la derivada de la función (límite de uncociente de incrementos). De esta forma, la derivada puede interpretarse como un cociente diferencial.La clarificación realizada nos ha llevado a identificar cuáles serían los indicadores de una comprensión ade-cuada del concepto de diferencial en el campo de la física, sea cual sea la concepción que se utilice:1. Saber cuándo y por qué se hace necesario su uso, es decir, conocer cuál es el problema que hace insufi-ciente el cálculo ordinario. En concreto, saber que es necesario recurrir a la diferencial cuando queremoshallar el Δy producido en un Δx, y la relación entre Δy e Δx no es lineal (Δy/Δx no es constante). 2. Conocer la estrategia que utiliza el cálculo para resolver ese problema y comprender el sentido de losdistintos pasos que se recorren. En concreto:• Saber explicar con precisión y sentido físico el significado de las expresiones diferenciales, reconocer sinambigüedad que la diferencial puede tomar valores numéricos e interpretar el significado de los mismos. • Conocer y justificar la relación que existe entre la diferencial (dy) y la derivada (y’): y’=dy/dx, y aceptarsin ambigüedad los razonamientos en los que se utiliza esa relación.• Conocer el significado de la integral y saber justificar el denominado Teorema Fundamental, es decir, porqué la integral definida requiere el cálculo de antiderivadas o funciones primitivas.• Utilizar con sentido esa estrategia en situaciones y problemas en los que se domine el contenido físico delos mismos.3. Ser consciente de la naturaleza hipotética, tentativa, en casi todas las situaciones físicas, de la expresióndiferencial de partida, y saber que la validez de esa hipótesis no puede ser contrastada directamente sino através del resultado al que conduce.4. Valorar positivamente el papel de la diferencial en el aprendizaje de la física. Este componente axioló-gico debería ser una consecuencia natural cuando se comprende el papel crucial que juega la diferencial enel tratamiento de situaciones físicas de interés.El objetivo de este trabajo es presentar el diseño experimental, resultados y conclusiones del análisis de loque entienden y hacen los estudiantes universitarios cuando utilizan el cálculo diferencial, utilizando comoguía los indicadores de comprensión.3. DISEÑO EXPERIMENTAL Y MUESTRAPara analizar la presencia o no de los indicadores entre los estudiantes universitarios hemos obtenido sieteconsecuencias directamente contrastables relacionadas con tales indicadores. Para contrastar esas conse-cuencias, hemos diseñado una amplia variedad de instrumentos, tanto cualitativos como cuantitativos, quese presentarán durante la exposición junto con el estadillo que hemos elaborado para su análisis. Los ins-trumentos diseñados han sido:– Ocho cuestiones cerradas o semiabiertas, sobre la justificación y el significado de expresiones diferencia-3ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005. NÚMERO EXTRA. VII CONGRESOles, sobre razonamientos de uso frecuente relacionados con la derivada y la integral, o sobre la actitud yopinión de los entrevistados. – Tres problemas con notas aclaratorias, que deben resolver realizando comentarios cada vez que usan elcálculo diferencial.– Una entrevista individual semiestructurada, realizada sobre la resolución de un problema -escrita por unhipotético alumno-. Las preguntas de la entrevista pretenden profundizar en las respuestas a los cuestio-narios escritos. Los extractos nos permitirán ilustrar y confirmar la interpretación de los resultados obte-nidos con los otros instrumentos.Cada consecuencia será sometida a prueba con más de uno de estos instrumentos, y cada instrumento sereferirá a su vez a más de una consecuencia, lo que permitirá estudiar la coherencia de los resultados. Las cuestiones se pasaron en el mes de mayo, en presencia del investigador o algún colaborador, duranteuna clase de física en situación de examen. Cada estudiante recibía, por término medio, un problema y trescuestiones referidas a distintas consecuencias, y el tiempo requerido para su contestación no era superiora los cuarenta minutos.Los estudiantes de la muestra, todos con asignaturas de física, pertenecen a grupos completos de cuatrouniversidades de otras tantas capitales (Almería, Alicante, Madrid y Valencia), repartidos entre nueve pro-fesores diferentes. Para presentar los resultados, los hemos dividido en dos grupos: alumnos de primercurso y alumnos de cursos superiores, para discernir si los malos resultados son achacables al fracaso engeneral que suele producirse en el primer curso. En concreto, se trata de 283 estudiantes de primer curso(103 de carreras técnicas, 102 de ciencias físicas, 45 de ciencias biológicas y 33 de informática superior) y184 estudiantes de cursos superiores (79 de 2º de ciencias químicas, 65 de 2º de ciencias físicas, 19 de 3º deciencias físicas y 21 de 5º de ciencias físicas).Algunos instrumentos fueron utilizados también con 270 estudiantes de COU (con la asignatura de física)pertenecientes a grupos completos de seis institutos distintos. Los resultados de estos alumnos servirán deelemento de comparación con los universitarios.4. RESULTADOSEn lugar de presentar los resultados obtenidos con cada instrumento particular, se presentarán agrupadosen torno a cada uno de los indicadores de comprensión. Aunque durante la exposición se hará una pre-sentación más amplia, adelantamos aquí algunos de los resultados más destacados:Cuándo y por qué es necesario usar la diferencial:– Cuando se les pide que señalen cuál es la razón que justifica con mayor precisión el paso de Δv=a·Δt a laexpresión dv=a·dt, señalan correctamente la causa: “Porque la aceleración depende del tiempo”: el 10,7%de los estudiantes de COU, el 2,2% de los estudiantes universitarios de primer curso y el 3,3% de losestudiantes de cursos superiores.– Cuando se les pide que señalen, entre varias ecuaciones del movimiento x(t), en cuáles es imprescindibleusar el cálculo diferencial para averiguar la rapidez instantánea, señalan correctamente las ecuaciones nolineales: el 16,2% de COU, el 11,2% de primer curso universitario y el 4,7% de cursos superiores.– Cuando resuelven problemas con la petición expresa de incluir explicaciones y aclaraciones, se refieren(correcta a o incorrectamente)  a la razón por la que usan diferenciales: el 1,8% de COU, el 1,1% de pri-mer curso universitario y el 4,8% de los estudiantes de cursos superiores.Estos resultados muestran con rotundidad la falta de comprensión sobre las razones que obligan a usardiferenciales.Significado de expresiones diferenciales: El único significado que aparece en las cuestiones es el que iden-4 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005. NÚMERO EXTRA. VII CONGRESOtifica la diferencial con un incremento muy pequeño o infinitesimal (concepción de Leibniz), que, comocualquier docente conoce, es el significado que habitualmente se le asigna en las clases y textos de física.Sin embargo, este significado no se hace explícito con la frecuencia que cabría esperar, pues más del 90%de cualquier grupo de estudiantes no dedica ni una sola frase a explicar el significado de las expresionesdiferenciales que utilizan cuando resuelven problemas en los que se piden comentarios explicativos. Enconcreto, cuando se pregunta a los estudiantes por la expresión relativa a las desintegraciones nucleares:dN=-λ·N·dt, expresan aunque sea vagamente la idea de cantidad infinitamente pequeña: el 23,1% de COU,el 43,2% de primer curso universitario y el 21,2% de estudiantes de cursos superiores.Relación entre derivada y diferencial: – Cuando simplemente se les presenta la expresión: dR/dz=L·z, señalan como lectura correcta de esaexpresión: “la diferencial de R entre la diferencial de z es igual a…”: el 12% de los estudiantes de primercurso universitario. – Cuando se les presenta el razonamiento: “dR/dz=L·z, y despejando dR se obtiene: dR=L·z·dz”, señalanque el razonamiento es correcto y leen la ecuación final como: “la diferencial de R es igual a…”: el 76,0%de los estudiantes de primer curso universitario.En el contexto operativo de la segunda parte consideran correcta una idea que no habían consideradocorrecta en la primera parte. Interpretamos esta inconsistencia como un reflejo del predominio del opera-tivismo frente a la comprensión: al enfrentarse con un razonamiento que se repite con frecuencia en lostextos y clases de nivel universitario, contestan aceptando implícitamente la derivada como cociente; sinembargo, no aceptan esa misma idea cuando se les pregunta sin referencia directa a una regla mecánica. La integral y su cálculo mediante antiderivadas: Cuando resuelven problemas, sólo el 7,6% de los estu-diantes de cursos superiores intenta explicar la integral como (límite de una) suma de muchos términos, loque hemos interpretado no como desconocimiento sino como un reflejo del uso operativo del cálculo. Peroningún estudiante intenta justificar por qué esa suma se calcula mediante la técnica inversa a la del cálcu-lo de derivadas. Cuando se les pide, después de presentarles el teorema fundamental, que escriban argu-mentos para justificarlo, sólo el 2,8% de los estudiantes de primer curso, y ninguno de los restantes, escri-be algún comentario del que pueda deducirse argumento alguno.Percepción sobre el uso de la diferencial en la física y valoración de su importancia:– Se muestran explícitamente de acuerdo con la idea: “cuando se usa el cálculo en las clases de física des-conecto, pues sé de antemano que no me voy a enterar, y atiendo sólo a la fórmula final”: el 43,5% de losestudiantes de COU, el 65,5% de primer curso universitario y el 54,0% de los de cursos superiores.– Se muestran explícitamente de acuerdo con la idea: “mi profesor usa el cálculo porque lo necesita, pero élno espera que nosotros lo entendamos”: el 47,2% de COU, el 59,5% de primer curso universitario y el41,3% de los de cursos superiores– Se declaran de acuerdo o neutros con la idea: “el uso del cálculo es una de las causas más importantes deque a los alumnos no les guste la física”: el 77,8% de COU, el 65,5% de primer curso universitario y el44,4% de los de cursos superioresResulta así que un gran número de estudiantes, muy llamativo en el caso de cursos superiores aunque seanmenos de la mitad, renuncian a entender el uso del cálculo y reconocen además que tampoco su profesorespera más de ellos, considerando en estas condiciones que el cálculo provoca rechazo hacia la física.5. CONCLUSIONESLos resultados que hemos adelantado y el total de resultados que hemos obtenido, analizados en su con-junto, confirman que existe un uso mecánico y algorítmico del cálculo, despreocupado por la comprensióny el sentido de lo que se hace, lo que provoca una falta de confianza y un claro rechazo hacia el uso del cál-culo.5ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005. NÚMERO EXTRA. VII CONGRESOEsta situación sería difícilmente sostenible sin la existencia de dos ideas fundamentales:– la idea intuitiva -y errónea- de que la suma de infinitos trozos infinitesimales aproximados acabará dandosiempre un resultado correcto, sin importar la forma concreta como se eligen esos trozos tan pequeños,amparados en que, al final, el error será despreciable– la apariencia de rigor y de que funciona, con tal de aplicar correctamente las reglas de cálculo.REFERENCIASSTEINBERG, R.N. y otros (1996). Mathematical Tutorials in Introductory Physics. The International Conference onUndergraduate Physics Education (ICUPE), College Park, Maryland.http://www.physics.umd.edu/perg/papers/redish/index.html  ARTIGUE, M. Y VIENNOT, L. (1987). Some aspects of students' conceptions and difficulties about dif-fe-ren-tials.Proceedings of the Second In-ter-na-tio-nal Se-mi-nar: Misconceptions and Educa-tio-nal Strate-gies in Scien-cesand Mathe-ma-tics (vol. III). Cornell, Ithaca, USA: Ed. Cornell U. GROUPE DIDACTIQUE DU CNRS (1989). Procedures différentielles dans les enseignements de mathematiques et dephysique au niveau du premier cycle universitaire. Université Paris 7: IREM et LDPES. MTNEZ. TORREGROSA, J. y otros (2002). La diferencial no es un incremento infinitesimal. Evolución del concep-to de diferencial y su clarificación en la enseñanza de la Física. Enseñanza de las Ciencias, 20(2), pp. 271-283.

Identificación de obstáculos para un uso con comprensión del cálculo diferencial en Física

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