The classical Helmholtz model for wakes behind an obstacle in perfect fluid mechanics boils down in complex analysis into a Riemann problem with free boundary, the free boundary being the wake and being such that the Riemann map parametrizes it as arclength parametrization. We generalize a method due to Coifman and Meyer [CM] to solve this problem for a class of non-smooth obstacles

Erba, Carole

Weber, Régine

Zinsmeister, Michel

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Publ. Mat. 55 (2011), 19–26LE PROBLE`ME DE HELMHOLTZ POUR DESOBSTACLES PEU RE´GULIERSCarole Erba, Re´gine Weber, et Michel ZinsmeisterAbstractThe classical Helmholtz model for wakes behind an obstacle inperfect fluid mechanics boils down in complex analysis into a Rie-mann problem with free boundary, the free boundary being thewake and being such that the Riemann map parametrizes it as arc-length parametrization. We generalize a method due to Coifmanand Meyer [CM] to solve this problem for a class of non-smoothobstacles.1. Introduction et e´nonce´ du re´sultatDans la the´orie du fluide parfait incompressible plan, un e´coulementpermanent dans un domaine Ω est donne´ par une fonction holomorphef : Ω→ C dont la partie imaginaire est constante au bord.Les parties re´elles et imaginaires de f sont usuellement note´es Φ et Ψet sont appele´es respectivement fonction potentiel et fonction courant.Les lignes de niveau de Ψ ne sont autres que les lignes de courantdu fluide. Les trajectoires orthognonales a` ces lignes de courant sont lese´quipotentielles {Φ = cste}.La de´rive´e ω(z) = f ′(z) est appele´e vitesse complexe. Si l’on munitle plan complexe de sa structure euclidienne canonique, la vitesse del’e´coulement, qui n’est autre que ~V = ∇Φ, est encore e´gale a` ω¯.Si maintenant Ω′ est un autre domaine de C conforme´ment e´quivalenta` Ω, alors la donne´e d’une repre´sentation conforme h : Ω′ → Ω permetde de´finir un e´coulement g dans Ω′ par g = f ◦ h.Ainsi l’e´coulement uniforme f(z)=z dans le demi-plan supe´rieur R2+={x+ iy; y > 0} permet de de´finir un e´coulement naturel dans tout do-maine a` gauche d’une courbe de Jordan Γ = {z = γ(t), t ∈ R} avec|γ(t)| → ∞ quand |t| → +∞, par g (ξ) = f (h (ξ)) ou` h est une repre´sen-tation conforme du domaine a` gauche de Γ sur R2+ telle que h (∞) =∞.2000 Mathematics Subject Classification. 32A37, 30C20, 76B10.Key words. Helmholtz Wake, BMOA, Riemann mapping theorem, free boundary.20 C. Erba, R. Weber, M. ZinsmeisterVue sous cet angle, la the´orie des fluides parfaits plan apparaˆıt commee´quivalente a` la the´orie de la repre´sentation conforme de Riemann.Un autre exemple illustrant cette hypothe`se est celui d’un e´coulementautour d’un obstacle.Cet obstacle est un compact K connexe plein du plan et C\K peuteˆtre transforme´ conforme´ment en C\[−1, 1] par une transformation pre´-servant ∞.On peut alors transfe´rer l’e´coulement uniforme f(z) = z sur C\[−1, 1]en un e´coulement sur C\K via cette repre´sentation confome.On pourrait ainsi fabriquer un e´coulement autour d’un segment verti-cal orthogonal a` la vitesse a` l’infini. Mais il est clair qu’un tel e´coulementne correspondrait pas a` la re´alite´. Quiconque s’est attarde´ a` observer lepassage de l’eau autour d’un pilier de pont a pu observer l’existence d’unsillage entourant une zone de fluide mort.Helmholtz a construit un tel mode`le de sillage : il est de´limite´ pardeux courbes joignant les points de de´collement qui doivent eˆtre connus,et le domaine constitue´ du comple´mentaire de la zone borde´e par lesillage est l’image d’une repre´sentation conforme h de´finie sur C\R+ quiest telle que sur les deux segments correspondant aux deux branchesdu sillage (il faut voir R+ comme de´double´, c’est a` dire avec un bordsupe´rieur et un bord infe´rieur) la repre´sentation h ve´rifie |h′| = V0, lavitesse scalaire a` l’infini. On peut toujours normaliser le proble`me desorte que V0 = 1. L’hypothe`se peut alors se paraphraser en disant que hre´alise une parame´trisation par la longueur d’arc des deux branches dusillage.Naturellement il n’est pas clair que ce proble`me ait une solution. Nousl’appellerons proble`me de Helmholtz et ce proble`me peut eˆtre vu commeun proble`me de Riemann avec frontie`re libre.Ce proble`me a e´te´ e´tudie´ mathe´matiquement en 1935 par J. Leray [L]qui a obtenu des re´sultats d’existence pour des obstacles de classe C1+αavec α > 12 .Nous proposons ici une approche diffe´rente dans un cadre simplifie´en utilisant l’approche de Coifman et Meyer [CM] du the´ore`me de Rie-mann.Cette approche nous permettra de re´duire les hypothe`ses de re´gularite´sur l’obstacle.Afin de comprendre la simplification que nous ope´rons, conside´rons leroˆle de l’origine 0 dans le proble`me de Helmholtz.Dans la repre´sentation conforme, ce point correspond au point dese´paration de l’obstacle, les lignes de courant aboutissant au dessus dece point glissent vers le haut le long de l’obstacle tandis que les autresSillage de Helmholtz 21glissent vers le bas. Ce point ne peut eˆtre fixe´ arbitrairement et il s’agitd’une des difficulte´s du proble`me. Il est ne´anmoins un cas ou` ce point estclairement de´fini : c’est le cas d’un obstacle syme´trique par rapport a` R.Le point de se´paration est alors l’intersection de l’obstacle avec l’axe re´elet la ligne de courant se´parante est la demi droite ne´gative issue de cepoint.En remplac¸ant l’obstacle par la re´union de l’obstacle et de cette lignede courant se´parante, on est alors ramene´ a` un proble`me simplementconnexe. C’est dans ce contexte que nous nous placerons. On rappellequ’une courbe de Lavrentiev passant par l’infini est une courbe de Jordanlocalement rectifiable dont la repre´sentation par la longueur d’arc z(s),s ∈ R ve´rifie(1) lims→∞ |z (s)| =∞.(2) ∃ C > 0/ ∀ s1, s2 ∈ R |s1 − s2| ≤ C |z (s1)− z (s2)|.Nous appellerons norme de la courbe la plus petite constante C > 0telle que (2) soit ve´rifie´e. Avant de poursuivre il nous faut discuter dequelques pre´liminaires.Soit I un intervalle ferme´ de R. L’espace BMO (I) est l’espace desfonctions b ∈ L1loc(I) telles que‖b‖∗ = supJ⊂I1|J |∫J∣∣∣∣b(x)− 1|J |∫Jb(t) dt∣∣∣∣ dx <∞.Muni de ‖·‖∗, cet espace est un espace de Banach modulo les cons-tantes.Il est clair que si b ∈ BMO (R) alors b|I ∈ BMO (I).Re´ciproquement, si b ∈ BMO (I), comment peut-on la prolonger enune fonction de BMO (R) ?Inte´ressons nous plus spe´cialement au cas de I = R+.Soit a une fonction de´finie sur R+. Conside´rons trois extensions pos-sibles a` R :a˜ (x) ={a (x) , si x ≥ 00, si x < 0(i)apair (x) ={a (x) , si x ≥ 0a (−x) , si x < 0(ii)aimpair (x) ={a (x) , si x ≥ 0−a (−x) , si x < 0.(iii)22 C. Erba, R. Weber, M. ZinsmeisterNotons que apair + aimpair = 2 a˜. Par ailleurs il est facile de se rendrecompte que apair ∈ BMO (R) de`s que a ∈ BMO (R+).On en de´duit imme´diatement que a˜∈BMO (R)⇐⇒aimpair∈BMO (R).Mais cette condition n’est pas obligatoirement satisfaite, comme le mon-tre l’exemple a(x) = ln(x), x ≥ 0.Nous de´signons par E l’espace des fonctions a ∈ BMO (R+) tellesque a˜ ∈ BMO (R), muni de la norme ‖a˜‖∗. En d’autres termes, E estisome´trique a` l’espace des fonctions b ∈ BMO (R) qui s’annulent sur R−,qui est clairement un ferme´ de BMO (R). On peut aussi voir E commele sous-espace de BMO(R) des fonctions impaires.Revenons au courbes de Lavrentiev. Si z(s) est la parame´trisation parlongueur d’arc de l’une d’entre elles, alors on peut montrer ([CM]) qu’ilexiste α ∈ BMO (R) telle quez′(s) = eiα(s), s ∈ Ret que re´ciproquement si ‖α‖∗ est assez petit alors z(t) =∫ t0eiα(s) dsparame´trise une courbe de Lavrentiev de norme proche de 1.Nous sommes maintenant en mesure d’e´noncer le re´sultat principalde ce travail :The´ore`me 1.1. Il existe 0 > 0 tel que si α ∈ BMO(R+) et ‖α‖∗ < 0alors Γα se prolonge en une courbe Γ de Lavrentiev de norme proche de 1et qui est telle qu’il existe F : R2+ → Ω (le domaine a` gauche de Γ), unerepre´sentation conforme telle que F (0) = 0, F (∞) = ∞ et F| ]−∞,0[ estune parame´trisation de Γ\Γα par longueur d’arc.2. Preuve du the´ore`meSupposons le proble`me re´solu. Alors (voir [Z]) log |F ′| ∈ BMO (R)et donc, puisque |F ′| = 1 sur R−, log(F ′)|R+ ∈ E. Par ailleurs z et Frepre´sentent deux parame´trisations de Γα par R+ : on passe donc del’une a` l’autre par composition par un home´omorphisme de R+, soitF (x) = z (h (x)). On a donc h′ = |F | et log h′ ∈ E. On a aussi(1) ArgF ′ = α ◦ h sur R+.Appelons H la transforme´e de Hilbert sur R normalise´e de sorte quepour une fonction holomorphe dans R2+, la partie imaginaire au bordsoit la transforme´e de Hilbert de la partie re´elle. En particulierArgF ′ = H(log |F ′|)et (1) devient(2) H (log h′)|R+ = α ◦ h.Sillage de Helmholtz 23Posons θ = h−1 et de´signons par Vθ l’ope´rateur : b 7→ b ◦ θ qui est unisomorphisme de BMO (R) et donc aussi de E puisque Vθ et Vh fixent E.Comme h′ = 1θ′◦θ−1 , l’e´quation (2) devient(3) α = −VθHV −1θ (log θ′)|R+ .Pour faire la synthe`se, on raisonne comme dans [CM]. α e´tant donne´,si l’on parvient a` re´soudre (3) c’est a` dire a` trouver log θ′ ∈ E pour lequel(3) est ve´rifie´ alorsF (x) =∫ x0exp {log h′(u) + iH(log h′)} duest la fonction cherche´e (ou plutoˆt sa trace sur R). Pour re´soudre (3),on reprend l’ide´e de [CM] (qui est de´ja` celle de [L]) : on se rame`ne a`un proble`me de point fixe. Pour le faire, nous aurons besoin du lemmesuivant :Lemme 2.1. L’ope´rateur T : b 7→ 1[0,∞[H(b) est un isomorphisme de Esur BMO(R+).Preuve du lemme: Montrons que T est injectif : si b ∈ E est tel queT (b) = 0, alors bH(b) est identiquement nulle et donc (b + iH(b))2est une fonction re´elle , donc constante puisque valeur au bord d’unefonction holomorphe. Donc b + iH(b) est aussi constante et donc nullepuisque b = 0 sur R− et Hb = 0 sur R+.Pour montrer que T est surjectif, donnons nous β ∈ BMO(R+). Oncherche a ∈ E tel que T (a) = β. Conside´rons la transforme´e de Cauchyde a. C’est une fonction holomorphe sur C\R+ et les formules de Plem-melj ([Z]) montrent que cette fonction a pour valeur au bord positivesur R+, 12 (a+ iHa) et pour valeur au bord ne´gative,12 (−a+ iHa).Mais si ζ 7→ F (ζ) est une fonction holomorphe sur C\R+, alors z 7→F (z2) est holomorphe sur R2+. On en de´duit qu’il existe une fonctionholomorphe sur R2+ dont les valeurs au bord sont12(a(x2)+ iHa(x2)), x ≥ 012(−a (x2)+ iHa (x2)) , x < 0.24 C. Erba, R. Weber, M. ZinsmeisterPosons alorsA (x) ={a(x2), si x > 0−a (x2) , si x ≤ 0etB (x) ={Ha(x2), si x ≥ 0Ha(x2), si x < 0et l’on a A = −H(B), B = H(A).Pour effectuer la synthe`se posons maintenantB (x) ={β(x2), si x ≥ 0β(x2), si x < 0etA (x) = −H (B) , a (x) = A (√x) , x > 0.Le fait que A soit impaire et dans BMO prouve que a ∈ E car f 7→(x 7→ f(√x)) pre´serve BMO (R) ([Z]). Enfin le fait que B = H(A)prouve que β = T (a).Revenons a` la preuve du the´ore`me. On peut re´e´crire (3) sous la forme(4) α = −VθTV −1θ (log θ′) .Posons F (b) = −VθTV −1θ (b) ou` log θ′ = b.Si ‖b‖∗ est assez petit, Vθ est alors un isomorphisme de BMO ([Z]).Posons encore(b) = F (b) + T (b).Alors (4) e´quivaut a` −T (b) + (b) = α ou encore(5) −T−1(α) + T−1 o (b) = b.Posons alors Λ(b) = −T−1(α) + T−1((b)). On a‖Λ(b)− Λ(β)‖∗ ≤ C ‖(b)− (β)‖∗ ,et‖(b)−(β)‖∗=‖(T − VθTV −1θ)(b− β)−VθTV −1θ (β) + VζT V −1ζ (β) ‖∗,ou` log ζ ′ = β≤ C (‖b‖∗ + ‖β‖∗) ‖b− β‖∗par les re´sultats de [CM] qui s’appliquent par restriction.Sillage de Helmholtz 25Fixons alors r > 0 tel que si ‖b‖∗, ‖β‖∗ < r alors‖Λ(b)− Λ(β)‖∗ ≤12‖b− β‖∗ .Pour conclure, il suffit de montrer qu’il existe 0 > 0 tel que si ‖α‖∗ ≤0 alors la boule ferme´e de E de centre 0 et de rayon r est invariantepar Λ.Mais ‖(b)‖∗ ≤ C ‖b‖2∗ par [CM], et il suffit de choisir 0 tel queC0 + C′r2 ≤ r,ce qui est possible si C ′r < 1 et 0 ≤ r(1−C′r)C .Ce qui pre´ce`de s’applique en particulier au cas d’un obstacle de typedie´dral syme´trique par rapport a` l’axe re´el dont l’intersection avec ledemi plan supe´rieur est donne´e par {y = f(x)} ou` f est une fonctionlipschitzienne de petite norme sur [0, 1] nulle en 0 et > 0 sur ]0, 1]. Il suffitpour s’en convaincre d’appliquer ce qui vient d’eˆtre vu a` la demi-courbede Jordan de´finie par le demi axe re´el ne´gatif prolonge´ par le graphe dela fonction f . Le cas du die`dre correspond a` f(x) = x tan θ. Dans cecas, la solution est explicite et donne´e par F (z) = λΨ(z/λ) ou` λ est telque |λΨ(1)| est e´gal a` la longueur du coˆte´ du die`dre etΨ′(z) =( √z√z − 1− i) 2θpi.Re´fe´rences[CM] R. Coifman et Y. Meyer, Le the´ore`me de Caldero´n par les“me´thodes de variable re´elle”, C. R. Acad. Sci. Paris Se´r. A-B289(7) (1979), A425–A428.[L] J. Leray, Les proble`mes de repre´sentation conforme d’Helmholtz ;the´ories des sillages et des proues, Comment. Math. Helv. 8(1)(1935-36), 250–263.[Z] M. Zinsmeister, “Domaines de Lavrent’iev”, Publications Ma-the´matiques d’Orsay 85-3, Universite´ de Paris-Sud, De´partementde Mathe´matiques, Orsay, 1985.26 C. Erba, R. Weber, M. ZinsmeisterCarole Erba:MAPMO, UMR 6628Universite´ d’Orle´ansBP 6759Orle´ans cedex 2FranceE-mail address: carole.erba@univ-orleans.frRe´gine Weber:Institut PRISMEUniversite´ d’Orle´ansBP 674945067 Orle´ans cedex 2FranceE-mail address: regine.weber@univ-orleans.frMichel Zinsmeister:MAPMO, UMR 6628Universite´ d’Orle´ansBP 6759Orle´ans cedex 2FranceE-mail address: zins@univ-orleans.frPrimera versio´ rebuda el 23 de desembre de 2008,darrera versio´ rebuda el 29 de juliol de 2010.

Le problème de Helmoltz pour des obstacles peu réguliers

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