A necessary condition is given for the existente of the tensor product of certain measures valued in locally convex spaces

Fernández y Fernández - Arroyo, José Fidel

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Publicacions Matemátiques, Vol 32 (1988, 129-134 .AbstractSOBRE LA EXISTENCIA DEL PRODUCTO DEMEDIDAS VALORADAS EN ESPACIOSLOCALMENTE CONVEXOS :UNA CONDICION NECESARIAFIDEL JOSÉ FERNÁNDEZ Y FERNÁNDEZ-ARROYOA necessary condition is given for the existente of the tensor product ofcertain measures valued in locally convex spaces .1 . Introducción y Preliminares . En un reciente trabajo ([7], [8]) ob-tuvimos condiciones suficientes para garantizar, en el contexto de los espacioslocalmente convexos, la existencia y la representación integral del producto dedos medidas a y /3 con valores en un espacio de operadores . El objetivo delpresente artículo es probar que, al menos en determinadas situaciones, algunade estas condiciones es también necesaria, a semejanza de lo que ocurría en elcaso bilineal considerado por S .A . Sivasankára [14] y R. Chivukula y Sastry[111 .En lo sucesivo, X, Y y S serán e.l .c . separados, siendo Y y S completos ;denotaremos por P, Q y S sendas familias generantes y dirigidas de seminormascontinuas de estos espacios . Consideraremos, en el espacio vectorial L(X, Y)(resp .L(Y, S), L(X, S)) de las aplicaciones lineales y continuas de X en Y (resp.de Y en S, de X en S), la topología localmente convexa de la convergenciapuntual . (9, A) y (E, ¿) serán espacios medibles ; a : .A -> L(X, Y)L(Y, S), medidas contablemente aditivas .Para cada par de seminormas q E Q y p E P, llamaremos semivariación dea asociada a q y p a la aplicacióndefinida porIIa11e, : A -R + u {+oo}IIall9 .p(A) = sup{q(Es la(CJ(xif	(A E A) ,130	F.J . FERNÁNDEZdonde el supremo se toma sobre todas las particiones medibles finitas{Cl,.,C,,} de A y todas las colecciones finitas {x1 , . . ., x,'} de elementos deX tales que p(xi) < 1, para i = 1, . . . , n.Análogamente se define la semivariación de /6 asociada a cada par de semi-normas s E S y q E Q.Decimos que la medida a (resp.p) es de semivariación acotada si, para cadaseminorma q E Q (resp.s E S), existe una seminorma p E P (resp . q E Q) talque IIall ..p(n) < +oo (resp.IIQIIe,q(E) < +oo) .En adelante supondremos que a y Q son de semivariación acotada .Diremos que la medida a es continua si, para cada seminorma q E Q, existeuna seminorma p E P tal que la semivariación IIallq,p es continua ; es decir,se verifica que, si (An)nEN C A es una sucesión disjunta, entonces la sucesión(IIaIIq.p(U¡> .AJ)nEN converge a cero . (Nótese que, por ser a de semivariaciónacotada, podemos suponer que IIaii4,p(n) < +oo).Decimos que a verifica la *' -condición si, para cada q E Q, existen unaseminorma p E P, y una medida positiva finita y contablemente aditiva vq .pA -3 R+, tales que IIall,p « v9,p (IIall .,p es absolutamente continua conrespecto a vq , p ; e .d ., dado e > 0, existe 6 > 0 tal que, si A E .A y vq ,p (A) < 6,entonces IIali q , p (A) < s) ; puede demostrarse que, en este caso, IIaliq,p (D) < +oo(ver [2], [15]) .Diremos que la medida a : A -> L(X,Y) está acotada en el sentido deMackey (o es Mackey-acotada) si existe una aplicación A : A ----> R+ verifi-cando :1) a está acotada .2) Si (An)nEN C A es una sucesión disjunta, entonces la sucesión(A(U¡>.Ai))nEN converge a cero .3) Para cada seminorma q E Q, existen p E P y Mq > 0 tales queqx (a(A)) < Mg p(x)A(A), cualesquiera que sean xp E X y A E A .Si se verifica además la condición :3') Para cada seminorma q E Q, existen p E P y Mq > 0 tales queIIailq,p (A) < Mq A(A), para todo A E A, entonces a se llama Mackey* -acotada.Nótese que de 3') se deduce 3) (ver [7]) . Además, se comprueba fácilmenteque, si a es Mackey* -acotada, entonces a ha de ser continua . Por otra parte,se prueba en [7] que, si Y es metrizable y a es continua, entonces a es Mackey*-acotada (y, por tanto, Mackey-acotada) . (En [7] se pone un ejemplo de unamedida que es Mackey*- acotada sin que Y sea metrizable.)De manera análoga se definen las correspondientes condiciones relativas a lamedida ,0 .Observación. Si la medida Q : ---> L(Y, S) es continua y Mackey-acotada(en particular, si es Mackey* -acotada), entonces verifica la *' -condición .En efecto, ya que Q es Mackey-acotada, existe un conjunto acotado y ab-solutamente convexo B C L(Y, S) tal que Q(1) C LB y /i : ¿ ---> LB es unamedida contablemente aditiva (y, por tanto, acotada) (ver[7, Teorema 11.3]) .(Siguiendo la notación de Grothendieck, LB denota el subespacio vectorial gen-erado por B, en el que consideraremos la topología definida por el funcional deMinkowski, pB .)Por consiguiente, existe una medida positiva finita contablemente aditivatt : e ---> R+ tal que p a o Q« p (ver [5]) .Se sigue que, si p(G) = 0(G E e), entonces /3(B) = 0, para todo subconjuntomedible B de G; y, por tanto, 11a1I8,4(G) = 0, para cada par de seminormassESygEQ .Se deduce de lo anterior que, si la semivariación 11(311,, 4 es continua, entoncesIIa11,,4 « M-2 . Resultados. Supongamos ahora que Y es normado, con norma q ; lasmedidas a y f3 son Mackey-acotadas, y /3 verifica la *' - condición .Según probamos en [7], [8], en estas condiciones la medida producto a ®,6existe y está dada pordonde la integral se toma en el sentido de [7] (ver también [9]) . (Para cadas E E, denotamos por G, al conjunto {t E 91(t, s) E G}, que como sabemos esmedible) .Por otra parte, sabemos (ver [5]) que para cada x E X existe una medidapositiva finita contablemente aditiva ju, : A  t8+ tal que qZ o a « hz .Además, por ser /3 Mackey-acotada, existen un conjunto acotado y absoluta-mente convexo B C L(Y, S) y una medida positiva finita contablemente aditivav : 1 - R+ , tales que Q(~) C LB y PB - Q « v.Proposición . Para cada s E S y x E X, sZ (ce 0,3) « Fez ® v es decir,Demostración : Si 0 = (P. ® v) (G) = fE Fe x (G.)dv	(G E A ® J), entoncesexiste B E e tal que v(B) = 0 y p,x (GJ = 0, para todo s E E - B; y,por tanto, 11Q11,,4(B) = 0, Y gx(a(G,)) = 0, si s E E - B. Se sigue quesx((a ® fl)(G)) = S(fE-B a(G.)(x)df3) = o-Y ya que la medida producto a ®/3 es contablemente aditiva, resulta de loanterior que sx (a ® /3) « Ue ® v.PRODUCTO DE MEDIDAS 131(a ® /3) (G) = I a(G.)df3 (G E A ® £) ,Elim sZ ((a ® ,p) (G)) = 0 .(W.®v)(G)-0(GEA®E)Definición. Supongamos que Y es normado (con norma q), la medida,ú : ¿ --) L(Y, S) es Mackey-acotada, y a : A --> L(X, Y) es una medidacontablemente aditiva tal que la medida producto a ® f3 existe .Según hemos visto, existen un conjunto acotado y absolutamente convexoB C L(Y, S) ; y medidas positivas finitas contablemente aditivas v : e --> R+132	F.J . FERNÁNDEZy pZ : A -> F8+ (para cada x E X), tales que Ñ(e) C LB, pB K v, ygx'a«¡ux(XEX) .Decimos que la medida producto a ® 0 hereda la propiedad de dominaciónsi s x (a ® Q) « pi , ® v para cada s E S y x E X (y para cada t¿,, B y vverificando las condiciones anteriores) . Según hemos visto en la Proposición,a ® Q hereda la propiedad de dominación si las medidas a y P verifican lashipótesis del Teorema 11.3 de [7] .Definición . Supongamos que Y es normado . Siguiendo a Rao Chivukula ySastry [11] y S.A . Sivasankara [14], diremos que el espacio Y tiene la propiedadP si el conjunto B = {y E Y1q(y) <_ 1} está contenido en la imagen de unamedida vectorial (es decir, existen un espacio medible (n, A) y una medidacontablemente aditiva a : A --> L(R,Y) - Y tales que B C {a(A)(1)/A EA} - a(A)) . (En [11] y [14] se dan ejemplos de espacios normados que tienenla propiedad P.)Teorema. Supongamos que : la medida Q es Mackey-acotada; el espacio Yes normado con norma q (por ser Y normado, P verifica la u-condición, ver(`l] ), y tiene la propiedad P; y, para todo espacio medible (9, A) y toda medidacontablemente aditiva a : A --> L(R,Y) - Y, la medida producto a ® Q existey además hereda la propiedad de dominación.Entonces, la medida Q verifica la *' -condición .Demostración: Ya que Y tiene la propiedad P, existen un espacio medible(S), A) y una medida contablemente aditiva a : A ) L(R,Y) tales que B ={y E Y1q(y) < 1} C a(A)({1}) = {a(A)(1)1A E A} .Por ser ,ri Mackey-acotada, existen un conjunto B C L(Y, S), acotado,convexo y equilibrado ; y una medida positiva finita contablemente aditivav :e---)W- , tales que f(e)CLBY'PB-Q«v.Por otra parte, puesto que a es contablemente aditiva, existe una medidapositiva finita contablemente aditiva p : A -> R + tal queg l -a«p.Pongamos K = p(n) + 1.Sea s E S . Veamos que JIP11s,q « v .Por hipótesis, la medida producto a ® Q existe y hereda la propiedad dedominación. Por tanto, dado E > 0 existe 8 > 0 tal que, si (p ® v) (G) < 8 (G EA ® e), entonces s i ((a ®/3)(G)) < E.Se tiene que, si B E 1 verifica que v(B) < x , entonces, para cada particiónmedible y finita {B1, . . ., B.} de B, y para cada colección {A,, . . ., A,,} C .A,n(p ® v)(v l A¡ x Bi) = J:(p ® v) (A¡ ® Bi) _~p(Ai) v(Bi) <nn< K . (E v(Bi )) = K . v(B) < 8 ;i= ly por consiguiente,PRODUCTO DE MEDIDAS	133ns i ((a ® 0)(U j Aj x Bi) = s(r(Q(Bi) - a(Ai )(1») < E.i-1Ahora bien, puesto que B = {y E Y1q(y) <_ 1} C a(A) ({1}), para cadacolección finita {yi . . . . , yn } C B existen A,,.An E !1 tales que yi = a(Ai) (1)(i = l, . , n) .Se sigue de lo anterior que, si v(B) < K(B E e), entonces, para cada par-tición medible y finita {B,, . . . . Bn } de B y cada colección {y,, . . . , yn } CB,S(Eni==i Q(Bj(yi)) < E; y, por tanto, 110119,q(B) :~ E.Así pues, 1101j8,q « v, como queríamos demostrar .Bibliografía1 . BARTLE, R . G ., A general bilinear vector integral, Studia Math . 15 (1956),337-352 .2 . BRAVO DE LA PARRA, R ., Tópicos en integración bilineal vectorial,Tesis Doctoral, Madrid, (1986) .3 . BROOKS, J ., On the existence of a control measure for stronglybounded vector measures, Bull. Amer. Math . Soc . 77 (1971), 999-1001 .4 . DEBIEVE, C ., Integration of vector valued functions with respect to vectorvalued measures, Rev. Roum. math. P . e t Appl. 26 (1981), 943-957 .5 . DIESTEL, J . Y UHL,J .J ., Vector measures, Math. Surveys Amer. Math .Soc . Providence, R. I. 15 (1977) .6 . DOBRAKOV, I ., On integration in Banach spaces, I, Czech . Math . J. 20(1970),511-536 .7 . FERNÁNDEZ Y FERNÁNDEZ-ARROYO, F . J ., Producto de medidas val-oradas en espacios localmente convexos, Tesis Doctoral, Madrid, (1987) .8 . FERNÁNDEZ Y FERNÁNDEZ-ARROYO, F . J ., On the product of opera-tors valued measures, (En prensa) .9 . FERNÁNDEZ Y FERNÁNDEZ-ARROYO, F .J ., Integración en espacioslocalmente convexos, (En prensa) .10 . KLUVÁNEK, I . Y KNOWLES, G ., Vector Measures and Control Systems,"Nort-Holland," Amsterdam, (1975) .11 . RAO CHIVUKULA, R . Y SASTRY, A . S ., Product vector measures viaBartle integrals, J . Math . Anal. Appl . 96 (1983), 180-195 .12 . RODRÍGUEZ SALAZAR, S ., Integración general en espacios localmenteconvexos, Tesis Doctoral, Madrid, (1985) .13 . RODRÍGUEZ SALINAS, B ., Integración de funciones con valores en unespacio localmente convexo, Rev . R . Acad . Ci . Madrid 73 (1979), 361-387 .134	F.J . FERNÁNDEZ14. SIVASANKARA, S . A ., Vector integrals and product of vector measures,Ph . D. Thesis, Univ. Microfilm, Inter . Michigan, (1983 ..15 . SWARTZ, C ., A generalization of a theorem of Duchon on products ofvector measures, J . Math. Anal. Appl . 51 (1975, 621-628 .Departamento de Matemáticas FundamentalesFacultad de Ciencias, U.N .E.D .Ciudad Universitaria28040-Madrid, SPAIN .R:ebut el 2 ¿'Octubre de 1987

Sobre la existencia del producto de medidas valoradas en espacios localmente convexos : una condición necesaria

Fernández y Fernández-Arroyo, Fidel José

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Publicacions Matemátiques, Vol 32 (1988, 129-134 .
Abstract
SOBRE LA EXISTENCIA DEL PRODUCTO DE
MEDIDAS VALORADAS EN ESPACIOS
LOCALMENTE CONVEXOS :
UNA CONDICION NECESARIA
FIDEL JOSÉ FERNÁNDEZ Y FERNÁNDEZ-ARROYO
A necessary condition is given for the existente of the tensor product of
certain measures valued in locally convex spaces .
1 . Introducción y Preliminares . En un reciente trabajo ([7], [8]) ob-
tuvimos condiciones suficientes para garantizar, en el contexto de los espacios
localmente convexos, la existencia y la representación integral del producto de
dos medidas a y /3 con valores en un espacio de operadores . El objetivo del
presente artículo es probar que, al menos en determinadas situaciones, alguna
de estas condiciones es también necesaria, a semejanza de lo que ocurría en el
caso bilineal considerado por S .A . Sivasankára [14] y R. Chivukula y Sastry
[111 .
En lo sucesivo, X, Y y S serán e.l .c . separados, siendo Y y S completos ;
denotaremos por P, Q y S sendas familias generantes y dirigidas de seminormas
continuas de estos espacios . Consideraremos, en el espacio vectorial L(X, Y)
(resp .L(Y, S), L(X, S)) de las aplicaciones lineales y continuas de X en Y (resp.
de Y en S, de X en S), la topología localmente convexa de la convergencia
puntual . (9, A) y (E, ¿) serán espacios medibles ; a : .A -> L(X, Y)
L(Y, S), medidas contablemente aditivas .
Para cada par de seminormas q E Q y p E P, llamaremos semivariación de
a asociada a q y p a la aplicación
definida por
IIa11e, : A -R + u {+oo}
IIall9 .p(A) = sup{q(Es la(CJ(xif
	
(A E A) ,
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F.J . FERNÁNDEZ
donde el supremo se toma sobre todas las particiones medibles finitas
{Cl,.,C,,} de A y todas las colecciones finitas {x1 , . . ., x,'} de elementos de
X tales que p(xi) < 1, para i = 1, . . . , n.
Análogamente se define la semivariación de /6 asociada a cada par de semi-
normas s E S y q E Q.
Decimos que la medida a (resp.p) es de semivariación acotada si, para cada
seminorma q E Q (resp.s E S), existe una seminorma p E P (resp . q E Q) tal
que IIall ..p(n) < +oo (resp.IIQIIe,q(E) < +oo) .
En adelante supondremos que a y Q son de semivariación acotada .
Diremos que la medida a es continua si, para cada seminorma q E Q, existe
una seminorma p E P tal que la semivariación IIallq,p es continua ; es decir,
se verifica que, si (An)nEN C A es una sucesión disjunta, entonces la sucesión
(IIaIIq.p(U¡> .AJ)nEN converge a cero . (Nótese que, por ser a de semivariación
acotada, podemos suponer que IIaii4,p(n) < +oo).
Decimos que a verifica la *' -condición si, para cada q E Q, existen una
seminorma p E P, y una medida positiva finita y contablemente aditiva vq .p
A -3 R+, tales que IIall,p « v9,p (IIall .,p es absolutamente continua con
respecto a vq , p ; e .d ., dado e > 0, existe 6 > 0 tal que, si A E .A y vq ,p (A) < 6,
entonces IIali q , p (A) < s) ; puede demostrarse que, en este caso, IIaliq,p (D) < +oo
(ver [2], [15]) .
Diremos que la medida a : A -> L(X,Y) está acotada en el sentido de
Mackey (o es Mackey-acotada) si existe una aplicación A : A ----> R+ verifi-
cando :
1) a está acotada .
2) Si (An)nEN C A es una sucesión disjunta, entonces la sucesión
(A(U¡>.Ai))nEN converge a cero .
3) Para cada seminorma q E Q, existen p E P y Mq > 0 tales que
qx (a(A)) < Mg p(x)A(A), cualesquiera que sean xp E X y A E A .
Si se verifica además la condición :
3') Para cada seminorma q E Q, existen p E P y Mq > 0 tales que
IIailq,p (A) < Mq A(A), para todo A E A, entonces a se llama Mackey* -acotada.
Nótese que de 3') se deduce 3) (ver [7]) . Además, se comprueba fácilmente
que, si a es Mackey* -acotada, entonces a ha de ser continua . Por otra parte,
se prueba en [7] que, si Y es metrizable y a es continua, entonces a es Mackey*
-acotada (y, por tanto, Mackey-acotada) . (En [7] se pone un ejemplo de una
medida que es Mackey*- acotada sin que Y sea metrizable.)
De manera análoga se definen las correspondientes condiciones relativas a la
medida ,0 .
Observación. Si la medida Q : ---> L(Y, S) es continua y Mackey-acotada
(en particular, si es Mackey* -acotada), entonces verifica la *' -condición .
En efecto, ya que Q es Mackey-acotada, existe un conjunto acotado y ab-
solutamente convexo B C L(Y, S) tal que Q(1) C LB y /i : ¿ ---> LB es una
medida contablemente aditiva (y, por tanto, acotada) (ver[7, Teorema 11.3]) .
(Siguiendo la notación de Grothendieck, LB denota el subespacio vectorial gen-
erado por B, en el que consideraremos la topología definida por el funcional de
Minkowski, pB .)
Por consiguiente, existe una medida positiva finita contablemente aditiva
tt : e ---> R+ tal que p a o Q« p (ver [5]) .
Se sigue que, si p(G) = 0(G E e), entonces /3(B) = 0, para todo subconjunto
medible B de G; y, por tanto, 11a1I8,4(G) = 0, para cada par de seminormas
sESygEQ .
Se deduce de lo anterior que, si la semivariación 11(311,, 4 es continua, entonces
IIa11,,4 « M-
2 . Resultados. Supongamos ahora que Y es normado, con norma q ; las
medidas a y f3 son Mackey-acotadas, y /3 verifica la *' - condición .
Según probamos en [7], [8], en estas condiciones la medida producto a ®,6
existe y está dada por
donde la integral se toma en el sentido de [7] (ver también [9]) . (Para cada
s E E, denotamos por G, al conjunto {t E 91(t, s) E G}, que como sabemos es
medible) .
Por otra parte, sabemos (ver [5]) que para cada x E X existe una medida
positiva finita contablemente aditiva ju, : A  t8+ tal que qZ o a « hz .
Además, por ser /3 Mackey-acotada, existen un conjunto acotado y absoluta-
mente convexo B C L(Y, S) y una medida positiva finita contablemente aditiva
v : 1 - R+ , tales que Q(~) C LB y PB - Q « v.
Proposición . Para cada s E S y x E X, sZ (ce 0,3) « Fez ® v es decir,
Demostración : Si 0 = (P. ® v) (G) = fE Fe x (G.)dv
	
(G E A ® J), entonces
existe B E e tal que v(B) = 0 y p,x (GJ = 0, para todo s E E - B; y,
por tanto, 11Q11,,4(B) = 0, Y gx(a(G,)) = 0, si s E E - B. Se sigue que
sx((a ® fl)(G)) = S(fE-B a(G.)(x)df3) = o-
Y ya que la medida producto a ®/3 es contablemente aditiva, resulta de lo
anterior que sx (a ® /3) « Ue ® v.
PRODUCTO DE MEDIDAS 131
(a ® /3) (G) = I a(G.)df3 (G E A ® £) ,
E
lim sZ ((a ® ,p) (G)) = 0 .(W.®v)(G)-0
(GEA®E)
Definición. Supongamos que Y es normado (con norma q), la medida
,ú : ¿ --) L(Y, S) es Mackey-acotada, y a : A --> L(X, Y) es una medida
contablemente aditiva tal que la medida producto a ® f3 existe .
Según hemos visto, existen un conjunto acotado y absolutamente convexo
B C L(Y, S) ; y medidas positivas finitas contablemente aditivas v : e --> R+
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F.J . FERNÁNDEZ
y pZ : A -> F8+ (para cada x E X), tales que Ñ(e) C LB, pB K v, y
gx'a«¡ux(XEX) .
Decimos que la medida producto a ® 0 hereda la propiedad de dominación
si s x (a ® Q) « pi , ® v para cada s E S y x E X (y para cada t¿,, B y v
verificando las condiciones anteriores) . Según hemos visto en la Proposición,
a ® Q hereda la propiedad de dominación si las medidas a y P verifican las
hipótesis del Teorema 11.3 de [7] .
Definición . Supongamos que Y es normado . Siguiendo a Rao Chivukula y
Sastry [11] y S.A . Sivasankara [14], diremos que el espacio Y tiene la propiedad
P si el conjunto B = {y E Y1q(y) <_ 1} está contenido en la imagen de una
medida vectorial (es decir, existen un espacio medible (n, A) y una medida
contablemente aditiva a : A --> L(R,Y) - Y tales que B C {a(A)(1)/A E
A} - a(A)) . (En [11] y [14] se dan ejemplos de espacios normados que tienen
la propiedad P.)
Teorema. Supongamos que : la medida Q es Mackey-acotada; el espacio Y
es normado con norma q (por ser Y normado, P verifica la u-condición, ver
(`l] ), y tiene la propiedad P; y, para todo espacio medible (9, A) y toda medida
contablemente aditiva a : A --> L(R,Y) - Y, la medida producto a ® Q existe
y además hereda la propiedad de dominación.
Entonces, la medida Q verifica la *' -condición .
Demostración: Ya que Y tiene la propiedad P, existen un espacio medible
(S), A) y una medida contablemente aditiva a : A ) L(R,Y) tales que B =
{y E Y1q(y) < 1} C a(A)({1}) = {a(A)(1)1A E A} .
Por ser ,ri Mackey-acotada, existen un conjunto B C L(Y, S), acotado,
convexo y equilibrado ; y una medida positiva finita contablemente aditiva
v :e---)W- , tales que f(e)CLBY'PB-Q«v.
Por otra parte, puesto que a es contablemente aditiva, existe una medida
positiva finita contablemente aditiva p : A -> R + tal que
g l -a«p.
Pongamos K = p(n) + 1.
Sea s E S . Veamos que JIP11s,q « v .
Por hipótesis, la medida producto a ® Q existe y hereda la propiedad de
dominación. Por tanto, dado E > 0 existe 8 > 0 tal que, si (p ® v) (G) < 8 (G E
A ® e), entonces s i ((a ®/3)(G)) < E.
Se tiene que, si B E 1 verifica que v(B) < x , entonces, para cada partición
medible y finita {B1, . . ., B.} de B, y para cada colección {A,, . . ., A,,} C .A,
n
(p ® v)(v l A¡ x Bi) = J:(p ® v) (A¡ ® Bi) _~p(Ai) v(Bi) <
n
n
< K . (E v(Bi )) = K . v(B) < 8 ;
i= l
y por consiguiente,
PRODUCTO DE MEDIDAS
	
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n
s i ((a ® 0)(U j Aj x Bi) = s(r(Q(Bi) - a(Ai )(1») < E.
i-1
Ahora bien, puesto que B = {y E Y1q(y) <_ 1} C a(A) ({1}), para cada
colección finita {yi . . . . , yn } C B existen A,,.An E !1 tales que yi = a(Ai) (1)
(i = l, . , n) .
Se sigue de lo anterior que, si v(B) < K(B E e), entonces, para cada par-
tición medible y finita {B,, . . . . Bn } de B y cada colección {y,, . . . , yn } C
B,S(E
n
i==i Q(Bj(yi)) < E; y, por tanto, 110119,q(B) :~ E.
Así pues, 1101j8,q « v, como queríamos demostrar .
Bibliografía
1 . BARTLE, R . G ., A general bilinear vector integral, Studia Math . 15 (1956),
337-352 .
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Tesis Doctoral, Madrid, (1986) .
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bounded vector measures, Bull. Amer. Math . Soc . 77 (1971), 999-1001 .
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valued measures, Rev. Roum. math. P . e t Appl. 26 (1981), 943-957 .
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oradas en espacios localmente convexos, Tesis Doctoral, Madrid, (1987) .
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tors valued measures, (En prensa) .
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localmente convexos, (En prensa) .
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"Nort-Holland," Amsterdam, (1975) .
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Departamento de Matemáticas Fundamentales
Facultad de Ciencias, U.N .E.D .
Ciudad Universitaria
28040-Madrid, SPAIN .
R:ebut el 2 ¿'Octubre de 1987


Sobre la existencia del producto de medidas valoradas en espacios localmente convexos : una condición necesaria

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