Se presenta una modificación al modelo de la barredora de nieve tradicional donde se supone que la lámina se forma sobre el aislante y tiene un espesor  , pudiendo luego evolucionar tanto en la dirección radial como en la axial. La evolución se realiza planteando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en la cual, para tener en cuenta la curvatura de la lámina, se agrega un segundo parámetro (eficiencia de transferencia de impulso, ) en el término que contabiliza la cantidad de movimiento cedida al gas barrido. El modelo incluye la ecuación del circuito eléctrico y el sistema de ecuaciones resultante se resuelve numéricamente.
Los parámetros libres se ajustan a partir de mediciones de la cinemática de la lámina obtenidas con una sonda magnética inductiva en un equipo Plasma Focus con un electrodo central de 9,5 mm de diámetro y 90 mm de longitud. El segundo electrodo está formado por un disco plano sobre el que asienta el aislante y el electrodo central. Los gases empleados fueron hidrógeno y nitrógeno, en el rango 0,5 – 10 mbar. Se encuentra que tanto   como decrecen al aumentar la presión del gas de llenado.An extension to the standard Snow Plow model is presented which assumes that the current sheath is formed along the insulator with a width  , and it is then able to evolve both in the axial and radial directions.
This evolution is modelled taking into account the conservation of momentum, but a second parameter is included (momentum transfer efficiency ) in order to consider the curvature of the current sheath. The model also includes an equation for the electric circuit. The resulting set of equations is solved numerically. Both parameters are fitted using measurements of sheath cinematics taken with magnetic probes. A Plasma Focus device with a central electrode of 9.5 mm in diameter, 90 mm long and with no outer electrode was used. The filling gas was either hydrogen or nitrogen and the filling pressure was varied in the range 0.5 – 10 mbar. We found that both   and decrease as the filling gas pressure is increased.ISSN 0327-358 

Clausse, Alejandro

Di Lorenzo, F. J.

Lazarte, A. I.

Moreno, C. H.

Vieytes, R. E.

Undetermined

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Validación experimental de un modelo que describe la etapa axial de un plasma focus sin electrodo externo

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Validación experimental de un modelo que describe la etapa axial de unPlasma Focus sin electrodo externoDi Lorenzo F. J.1, Lazarte A. I.2, Vieytes R. E.3, Clausse A.4, y Moreno C. H.51 Becario Doctoral CONICET-Dto de Fı́sica FCEyN, UBA-INFIP-PLADEMA e-mail: fdilorenzo@focuslab.lfp.uba.ar2 Becario Doctoral CONICET-Dto. de Fı́sica FCEyN, UBA-INFIP-PLADEMA-Dto. de Fı́sica CBC, UBA3 Dto. de Fı́sica FCEyN,UBA-EST, IESE-ITBA-INFIP-PLADEMA4 Dto. de Computación y Sistemas, FCE UNCPBA, CNEA-CONICET-PLADEMA5 Dto. de Fı́sica FCEyN,UBA-INFIP-PLADEMASe presenta una modificación al modelo de la barredora de nieve tradicional donde se supone que la lámina seforma sobre el aislante y tiene un espesor ∆, pudiendo luego evolucionar tanto en la dirección radial como enla axial. La evolución se realiza planteando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en lacual, para tener en cuenta la curvatura de la lámina, se agrega un segundo parámetro (eficiencia de transferenciade impulso, ψ) en el término que contabiliza la cantidad de movimiento cedida al gas barrido. El modeloincluye la ecuación del circuito eléctrico y el sistema de ecuaciones resultante se resuelve numéricamente.Los parámetros libres se ajustan a partir de mediciones de la cinemática de la lámina obtenidas con una sondamagnética inductiva en un equipo Plasma Focus con un electrodo central de 9,5 mm de diámetro y 90 mm delongitud. El segundo electrodo está formado por un disco plano sobre el que asienta el aislante y el electrodocentral. Los gases empleados fueron hidrógeno y nitrógeno, en el rango 0,5 – 10 mbar. Se encuentra que tanto∆ como ψ decrecen al aumentar la presión del gas de llenado.An extension to the standard Snow Plow model is presented which assumes that the current sheath isformed along the insulator with a width ∆, and it is then able to evolve both in the axial and radial directions.This evolution is modelled taking into account the conservation of momentum, but a second parameter isincluded (momentum transfer efficiency ψ) in order to consider the curvature of the current sheath. The modelalso includes an equation for the electric circuit. The resulting set of equations is solved numerically. Bothparameters are fitted using measurements of sheath cinematics taken with magnetic probes. A Plasma Focusdevice with a central electrode of 9.5 mm in diameter, 90 mm long and with no outer electrode was used. Thefilling gas was either hydrogen or nitrogen and the filling pressure was varied in the range 0.5 – 10 mbar. Wefound that both ∆ and ψ decrease as the filling gas pressure is increased.I. IntroducciónLos equipos Plasma Focus operados con deute-rio o mezclas de deuterio-tritio son dispositivos de fu-sión nuclear, que permiten obtener haces de neutrones,electrones, iones y rayos X en forma pulsada a partir dela autocompresión de plasma. Estos equipos son em-pleados en la actualidad para diversas aplicaciones tec-nológicas (1). El modelo más simple que describe laevolución temporal de la lámina de corriente formadadurante su funcionamiento es el denominado “barredo-ra de nieve”(2, 3). Las diversas variantes de este modelopermiten describir la cinemática y la dinámica del plas-ma durante la descarga a partir de datos constructivos yoperativos.El modelo presentado está basado en el modelode barredora de nieve tradicional y puede aplicarse a loscasos de equipos Plasma Focus donde el electrodo ex-terno no interviene en la descarga, ya sea por que no seencuentra presente o, porque los tiempos caracterı́sticosson tales que la lámina de corriente no lo alcanza. Losmodelos convencionales no son aplicables en estos ca-sos ya que suponen que la lámina es una superficie anu-lar plana comprendida entre dos electrodos cilı́ndricoscoaxiales. En los casos que nos interesan en el presentetrabajo, la lámina no posee un lı́mite exterior impues-to de antemano, por lo que no es posible aplicar esosmodelos.En el modelo que se propone la lámina se con-sidera formada por dos superficies, como se ilustra enla figura 1. Una superficie anular plana análoga a la delmodelo barredora de nieve caracterizada por una posi-ción z a lo largo del electrodo central; y una superfi-cie curva, que corresponde a la superficie lateral de uncilindro de altura z y radio r, que se apoya en la ba-se de la cámara de descargas que actúa como segundoelectrodo. Ambas superficies se unen a lo largo de unacircunferencia caracterizada por las coordenadas (r,z).Dada la simetrı́a del problema, es suficiente describirla evolución de un corte longitudinal de la lámina paramodelarla en su totalidad. El punto de unión de am-bas partes de la lámina, contenido en el corte elegido,se denomina punto testigo, ya que su evolución permitedescribir el comportamiento de toda la lámina. La curvaz(r) recorrida por el punto testigo se denomina perfil.Las predicciones del modelo se validarán a par-tir de mediciones realizadas en un equipo Plasma Focustipo Mather sin electrodo externo. La descarga se pro-duce entre un electrodo central, que actúa como ánodo,de radio re y largo le, separado de la base de la cámara,que actúa como cátodo, por un aislante longitud libre lay radio externo ra, como se ve en la figura 1.Figura 1. Esquema de la lámina de corriente y el juegode electrodos. Las regiones A y B corresponden a losvolúmenes barridos por la porción axial y radial de lalámina, respectivamenteII. Ecuaciones del modeloCada porción de la lámina es impulsada por lafuerza magnética promedio producida por la interac-ción entre la corriente circulante y el campo magnéticoproducido por la misma corriente. A su vez, ambas par-tes de la lámina experimentan una fuerza de retropro-pulsión, debida a la cesión de cantidad de movimientoa la masa que encuentra y asimila durante su avance.Por lo tanto la ecuación de movimiento para cada unade ellas resulta serr̈Mr =µ0zI24πr− ψṀr ṙ (1)z̈Ma =µ02πlnrreI2 − ψṀaż (2)donde I es la corriente total circulante por el circuito,Ṁr,a es la tasa de incremento de masa de la parte radialy axial de la lámina respectivamente, µ0 es la permeabi-lidad magnética del vacı́o y ψ es una eficiencia de trans-ferencia de impulso, que tiene en cuenta la curvaturade la lámina. El incremento de masa correspondiente acada porción de lámina se calcula a partir de la masacontenida en el volumen barrido por dicha parte en suavance. En la figura 1 se muestra la división resultantedel volumen para ambas porciones de la lámina, sien-do la trayectoria del punto testigo la curva que divideambos sectores.Teniendo esto en cuenta, los incrementos de ma-sa se pueden escribir comoṀr =ρ02πzrṙ (3)Ṁa =ρ0π(r2 − r2e)ż (4)donde ρ0 es la densidad de masa del gas de llenado pre-sente en la cámara. Por lo tanto las ecuaciones diferen-ciales para las coordenadas r y z resultan serr̈ =1Mr[µ0zI24πr− ψρ02πzrṙ2](5)z̈ =1Ma[µ02πlnrreI2 − ψρ0π(r2 − r2e)ż2](6)El equipo Plasma Focus modelado cuenta conun banco de capacitores, de capacidad C, conectadoa la cámara de descargas mediante un circuito eléctri-co que se considerará compuesto por una llave rápidagaseosa(Vsg), una resistencia (R) y una inductancia (L),tal como se muestra en la figura 2. La descarga se mo-dela como una inductancia variable (Lp) asociada a ladistribución de corrientes en el juego de electrodos y elplasma.Figura 2. Esquema del circuito asociado a la descarga.El banco de capacitores se carga inicialmente auna tensión V0 mediante una fuente que luego se des-acopla del circuito. La llave rápida gaseosa se consideraideal y se toma el momento en que cierra como tiempode inicio de la descarga, es decirVsg ={V0 t ≤ 00 t > 0(7)La ecuación de malla correspondiente al circuitodescripto, para tiempos posteriores al inicio de la des-carga, resulta serV0 =ddt[I(L+ Lp)] + IR+QC(8)dondeQ es la carga que circuló por el circuito, de formatal que la corriente resulta serI =dQdt(9)La inductancia Lp se determina como la corres-pondiente a un juego cilı́ndrico coaxial de electrodos deradios r y re y longitud z, es decirLp =µ02πlnrrez (10)Por lo tanto, la ecuación para la variación de lacorriente, obtenida a partir de (8), resulta serİ =V0 − [QC + I(R+µ02π (ṙr z + lnrreż))]L+ Lp(11)Los valores iniciales de masa (M0r y M0a) sedeterminan como la masa de gas presente en el volumencontenido entre la superficie del aislante (de radio ra ylargo la) y otra superficie cilı́ndrica, ubicada un espesor∆ tanto radial como axialmente por encima del aislante(de radio ra +∆ y largo la +∆), como se muestra en lafigura 1. La masa presente en dicho volumen se divideentre ambas láminas de acuerdo aM0r =πρ0[(ra + ∆)2 − r2a]la (12)M0a =πρ0[(ra + ∆)2 − r2e]∆ (13)III. Resolución numérica y ajuste deparámetrosEl modelo resulta depender de 8 variables (Mr,Ma, Q, I , r, ṙ, z y ż), cuya evolución está determinadapor cuatro ecuaciones de primer orden: (3), (4), (9) y(11); y dos de segundo orden: (5) y (6). Además el mo-delo posee dos parámetros libres (ψ y ∆) a ser ajustadosa partir de los datos experimentales.Las condiciones iniciales adecuadas para el cál-culo se detallan en el cuadro 1, es decir, que se asumeque la lámina se forma sobre la superficie del aislan-te, que su velocidad inicial es nula y que la carga y lacorriente en el instante inicial son cero.Cuadro 1. Condiciones iniciales para las variables del pro-blema.Variable Sı́mbolo ValorMasa radial Mr M0rMasa axial Ma M0aCarga Q 0Corriente I 0Posición radial r raVelocidad radial ṙ 0Posición axial z laVelocidad axial ż 0Para determinar los valores óptimos de los pa-rámetros libres se definió una función de mérito χ2 deacuerdo aχ2(∆, ψ) =n∑i=1(texpi − t(zi,∆, ψ))2σ2i(14)donde el ı́ndice i corresponde a las distintas posicionesde la sonda magnética, n es el número de posicionesexploradas, texpi es el tiempo medio de arribo medidopara una sonda ubicada a una distancia zi de la basede los electrodos, σ2i es la varianza de dichos datos yt(zi,∆, ψ) es el tiempo predicho por el modelo en elque la lámina llega a la posición zi, para un dado valorde los parámetros libres.Se exploró el espacio de parámetros ψ y ∆hallándose un único mı́nimo de la función de méritoen el intervalo definido por (0 < ψ < 1) y (5 mm <∆ < 25 mm). El intervalo elegido para ψ correspon-de a los valores compatibles con la interpretación fı́sicadel parámetro como una eficiencia. El intervalo elegidopara ∆ se definió teniendo en cuenta las dimensionesdel juego de electrodos y datos experimentales previosque indican que el espesor de la lámina es del orden de0,5∼1 cm en equipos similares al utilizado(4). La in-certeza de dicha determinación se estimó mediante unmétodo de Monte Carlo.IV. Parte experimentalLas predicciones del modelo fueron contrasta-das contra mediciones realizadas con una sonda mag-nética. Esta permite medir la variación temporal decampo magnético en la posición donde se encuentra suespira sensora. De esa forma, es posible determinar elinstante en que la lámina de corriente alcanza dicha po-sición. La cámara utilizada permite el posicionamientode la sonda magnética a distintas distancias (z) de la ba-se de la cámara, y a una distancia radial fija de∼16 mmrespecto del eje de los electrodos. Como gas de llenadose utilizaron tanto hidrógeno como nitrógeno en el ran-go de 0,5 a 10 mbar (5). Las caracterı́sticas del electrodoempleado, el aislante y el gas de llenado se detallan enel cuadro 2.Cuadro 2. Caracterı́sticas del juego de electrodos empleadoy densidad de masa del gas de llenado, donde P0 es la presiónde llenado medida en milibares y µ la masa atómica relativadel gas utilizado.Parámetro (sı́mbolo) ValorLongitud del aislante (la) 10 mmRadio del aislante (ra) 6,4 mmLongitud del electrodo (le) 90 mmRadio del electrodo (re) 4,75 mmDensidad de masa (ρ0) P0µ 8,7× 10−5 kgmbar m3Se utilizaron dos bancos de capacitores de di-ferentes caracterı́sticas eléctricas en forma alternati-va, denominados banco rápido y banco lento debido asus distintos tiempos caracterı́sticos de descarga, cuyosparámetros eléctricos se consignan en el cuadro 3.Cuadro 3. Caracterı́sticas de los circuitos empleados pararealizar las mediciones.Parámetro Banco(Sı́mbolo) Rápido LentoInductancia (L) 0,17 µH 1 µHCapacidad (C) 5,6 µF 628 µFTensión de carga (V0) 20 kV 3 kVResistencia (R) 15 mΩ 15 mΩCon ellos se determinaron los tiempos de arri-bo de la lámina de corriente a distintas posiciones dela espira sensora, para diversas presiones de llenado denitrógeno e hidrógeno. Para ello, se realizaron variosdisparos para cada posición de la sonda y cada condi-ción de llenado, obteniéndose una serie de tiempos dearribo para cada configuración. Se realizó un prome-dio de los datos obtenidos para cada serie hallándoseun tiempo de arribo promedio con su correspondientedispersión.V. ResultadosLas figuras 3 y 4 muestran tiempos de arribo pa-ra distintas posiciones de la sonda tı́picos, predichas porel modelo presentado en esta comunicación para los va-lores óptimos de los parámetros respectivos. Los ajustespresentados ilustran ambos bancos y gases empleadosası́ como el rango de presiones estudiado. Se compara lapredicción del modelo con un ajuste lineal de los puntosobservándose que, si bien el ajuste lineal es satisfacto-rio considerando la magnitud de los errores experimen-tales, el modelo ajusta mejor los datos aproximándosea ellos al reproducir las inflexiones observadas en losresultados experimentales.Figura 3. Tiempo de arribo de la lámina a la posiciónde la sonda para 10 mbar de presión de llenado en H2con el banco rápido, ajustada linealmente y por el mo-delo. ψ = 0,28; ∆ = 2,46 mmFigura 4. Tiempo de arribo de la lámina a la posiciónde la sonda para 1 mbar de presión de llenado en N2con el banco lento, ajustada linealmente y por el mode-lo. ψ = 0,45; ∆ = 12 mmLa eficiencia de transferencia de impulso y el es-pesor inicial de la lámina de corriente óptimos resultanser función de la presión, variando como ψ ∝ p−1/3y ∆ ∝ p−1/6 aproximadamente, tal como se muestraen las figuras 5 y 6, donde se presentan los ajustes paraambos gases correspondientes al banco rápido.VI. Comentarios finalesEl modelo ajusta los datos experimentales obte-nidos a varias presiones de llenado de dos gases distin-tos y empleando dos circuitos eléctricos de caracterı́sti-cas muy diferentes, con resultados satisfactorios en to-dos los casos. Se observa que en los casos estudiadoslos parámetros de ajuste óptimos disminuyen al aumen-tar la presión, siendo sus respectivas tendencias simila-res entre sı́ en todos los casos. El espesor inicial de laFigura 5. Valores óptimos de la eficiencia ψ en funciónde la presión para ambos gases empleados. H2 con ♦y N2 con©. Las curvas corresponden a ajustes poten-ciales de los datos.Figura 6. Valores óptimos del espesor ∆ en función dela presión para ambos gases empleados. H2 con♦ y N2con ©. Las curvas corresponden a ajustes potencialesde los datos.lámina se halla en el rango 0,2∼1,5 cm siendo menorpara H2 que para N2, resultado artibuı́ble a la mayor fa-cilidad para ionizar N2. El rango de espesores inferidospara la lámina resulta ser inferior al esperado a partirde la literatura. Ello puede ser debido a que las dimen-siones del electrodo utilizado son menores a las de lareferencia citada.Referencias1 - Moreno C, Vénere M, Barbuzza R, Del Frenso M,Ramos R, Bruzzone H, Florido P, González J y ClausseA. Brazilian Journal of Physics, 32,(1), p. 20-25,(2002).2 - Lee S. En Lee S. y Sakanaka P, editores, Proceedingsof Symposium on smalll scale laboratory plasma expe-riments, p. 113-169, Singapur, (1990).3 - Rosembluth M and Garwin R. Technical Report. LosAlamos National Laboratory, 1954, LA-1850.4 - Bruzzone H and Vieytes R. Plasma Phys. and Control.Fusion, 35,(1), p. 1745-1754, (1993).5 - Lazarte A, Di Lorenzo F, Martı́nez J, Clausse A yMoreno C. Anales de la Asociación Fı́sica Argentina,Vol. 14, p. 110-114, (2002).AgradecimientosEste trabajo se llevó a cabo en el marco de subsi-dios de la IAEA (TC Proy. AR1026-11099L), de la UBA, delPLADEMA y del CONICET. Uno de nosotros (AIL) agrade-ce también el apoyo económico del Dto. de Fı́sica del CicloBásico Común de la UBA.

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