Basulto Santos, Jesús (Coordinador)

Gamero Rojas, Francisco Javier

García del Hoyo, Juan José (Coordinador)

Romero García, José Enrique

Spanish

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

Capítulo 33Consideraciones sobre la medida de la concentración por GiniRomero García, José Enrique Gamero Rojas, JavierUniversidad de SevillaIntroducciónA finales del siglo XIX y principios del XX en diversos países europeos (y en Estados Unidos) se estaban desarrollando rápidamente las primeras técnicas de la Estadística Descriptiva. Hasta cierto punto en este desarrollo hubo una “especialización” en diferentes países, así por ejemplo en Inglaterra se estaba desarrollando los campos aplicados a la psicología, biología, ciencias sociales, etc.; en Francia y en Rusia, por otra parte, existían considerables aportaciones con un enfoque más teórico y en Italia hubo una escuela de estadísticos aplicados al campo de la economía y concretamente al campo de las cantidades “macro” de los Estados. Ni que decir tiene que esta descripción esquemática no tiene vocación de ser exhaustiva en absoluto.En este contexto es donde aparecen figuras como las de Pareto, Benini, Gini,... que estudian, entre otras cosas, la distribución y concentración de magnitudes relevantes para la macroeconomía (rentas, riqueza de individuos, tamaño de familias, créditos,...). Corrado Gini estudió ampliamente estos puntos y, como algunos otros estadísticos italianos, lo hizo fundamentalmente desde un punto de vista aplicado y, casi podríamos decir empírico. Gini, en el fondo, mantuvo una cierta desconfianza sobre el papel de las Matemáticas en la aplicación de la Estadística. Reproducimos a continuación algunas frases de la edición inglesa The Contributions of Italy to Modem Statistical Methods por Corrado Gini.481H istoria de la P robabilidad y la Estadística (IV)"for Statistics they [Mathematics] are no more than a means"."This does not mean, however, that it is always convenient to use this method [Mathematics] ; the statistical material at our disposal may be too rough to allow o f the application o f exquisite methods, or for the purpose o f the research it may appear useless to seek precision beyond a certain limit""His motto [of a statistician], instead o f being represented by the words "Statistics with Mathematics," should be represented by "Statistics with the least mathematical means possible. ""I mean to say that there are wide fields in which... the statistical analysis does not need any instrutnents o f calculation higher than simple arithmetic, and where it would be not only useless but harmful to have recourse to refined mathematical methods which, while they would not increase appreciably the fruitfulness o f the research, would reduce the number o f readers"."Mathematics [they are not], however, sufficient to ensure success, which above all depends upon a kind o f statistical intuition helped by wide experience".Algunas de estas frases son muy interesantes en más de un sentido, pero no es nuestro propósito aquí el extendemos sobre este asunto, sino sólo dar una muestra de la mentalidad de Gini sobre la investigación analítica en la estadística.El índice S de GiniSiguiendo las ideas de Pareto y considerando las relaciones empíricas que observó con los datos disponibles de reparto de rentas en diferentes territorios y periodos de tiempo, Gini vio que, aproximadamente, se verificaba la siguiente relación:1-P¡ =(1-Q¡)8 (1)En donde, usando la notación más establecida, Pi es la frecuencia relativa acumulada en el individuo i-ésimo y Qi es la cantidad relativa acumulada en ese mismo individuo i-ésimo (supuesto que los individuos están ordenados de menor a mayor renta).Si esta relación se mantuviese cierta para todo “i” con un mismo S , naturalmente este valor podría ser un indicativo de concentración de rentas en individuos. Con esta suposición, Gini calcula su coeficiente de concentración 8  Dcomo un “valor medio” entre todos los “deltas” 8  i que se irán obteniendo para los diferentes individuos o clases “i”. Entendemos que este hallar el "valor medio" es un "ajuste" de la distribución observada al modelo (1)Este enfoque presenta el lógico problema de que no es adecuado cuando la relación (1) no es correcta, en el sentido de que para cada “i” hubiese valores “delta” claramente distintos, y peor aún, cuando los valores delta cambian según un patrón al crecer “i”. En realidad, sólo si la distribución de las rentas es de tipo Pareto, los valores delta serían teóricamente iguales. Con distribuciones tipo LogNormal o Gamma, por ejemplo, los deltas disminuyen sistemáticamente según crece “i”. En otros casos, como el propio Gini observará en la distribución del número de hijos por familia, los deltas crecen sistemáticamente. A continuación incluimos unos gráficos con los valores 8  i para diferentes supuestos distribucionales y ejemplos.482H istoria de la P robabilidad y la Estadística (IV)2S\* \Distribución LN(0'5,1)— Ia!— ts— stî— r?— ïti— ntî— i2^r— r — ifrsEjemplo de Gini pàg.16Toc ïoô  tío 1 its  ‘ î î c jDistribución g(4,1 )i!---- TfT — Tfî----rt---- Itl---- T4!---- stl----î5^ 3---VtsEjemplo de Gini pág. 18Los dos últimos gráficos corresponden a los ejemplos analizados por Gini en su tratado Indici di concentmzione e di dependenza en las páginas 16 y 18. Puede observarse que en ninguno de los cuatro casos el valor 5  i es estable y por tanto no puede hablarse de un único ô  que represente a la distribución.En el caso de una distribución tipo Pareto el gráfico hubiese sido aproximadamente horizontal (con las posibles fluctuaciones muéstrales, en su caso), por tanto la no horizontalidad viene a reflejar la diferencia de la distribución analizada con la Pareto. Así, veríamos que el segundo ejemplo de Gini es el más próximo a un caso paretiano.Por tanto, en un amplio abanico de posibilidades realistas, no se puede hablar de “un” valor de ô  que ligue Pi y Qi, y por consiguiente el propósito de este índice queda desvirtuado, excepto en distribuciones paretianas.Aunque apoyado en la distribución de Pareto, este índice ô  tiene, sin embargo, a ojos de Gini, varias ventajas sobre el índice ô  de Pareto. En lo que sigue exponemos el texto original de Gini y posteriormente un comentario nuestro encabezado por una “síntesis” entrecomillada.“Ci pare che il nostro indice di concentrazione ó presentí alcuni vantaggi di fronteail 'indice di distribuzione a del Pareto.483H istoria de la P robabilidad y la Estadística (IV)L'indice a è atto a ritrarre la distribuzione dei redditi solo al di sopra di un dato limite. Non si misura, dunque, mediante esso, la disuguagianza di distribuzione di tutta la ricchezza, ma solo di una sua parte.L'indice ô, al contrario, si adatta ugualmente bebe alie seriación di redditi complete (che dànno cioè tutti i redditi da 0 all'insù) che aile incomplete (che dànno solo i redditi al di sopra di un dato limite);“El indice 8  sólo se puede aplicar a rentas por encima de cierto punto (debido a las características de la distribución de Pareto), mientras que 5  puede aplicarse a la distribución completa de la renta”. Este comentario es criticable en el sentido de lo que hemos señalado anteriormente: 8  es plenamente satisfactorio si la distribución es paretiana, pero si lo es, aparece el mismo problema de límite inferior de rentas que caracteriza a esta distribución. Es decir, la justificación plena de 8  reside en la propia distribución de tipo Pareto.(a) L'indice 5 ha un campo di validité più esteso di quello dell'indice a.“El índice a  se aplica en un caso más restringido que el índice 8  ”. En realidad Gini aplica 8  a casos donde no es del todo satisfactorio (cuando los deltas no son constantes para todo i) y eso sería equivalente a aplicar a  a distribuciones que no son exactamente paretianas. Como hemos apuntado anteriormente, en el fondo el procedimiento de cálculo “promedio ” de Gini para 8 es similar a "ajustar" a  a distribuciones que no sean tipo Pareto.(b) L'indice 5 è molto più sensibile sell'indice a alie differenze di distribuzione dei redditi. Notevoli diffrerenze di distribuzione dei redditi rimangono appena avvertite dai valori di a, specialmente se i valori di a sono bassi. Di qui era sorta presso molti l'idea, come vedemmo infondata, che la distribuzione della ricchezza fosse pressochè uguale in tutti i paesi e in tutti i tempi ;“El índice 8  es más sensible que a  en la medición de la concentración”. Es decir, se afirma que ( a ) | > l .  Es interesante observar que 8 y a  son "autoinversos", o sea que 8 (a )  esfuncionalmente igual a a  (8) (o, lo que es lo mismo, que esas funciones son simétricasrespectos a la primera bisectriz). Por tanto, en sí, a  y 8 ,  globalmente, son igualmente sensibles, pero, y en esto Gini está en lo cierto, en el tramo habitualmente observado ( 8  >2), 8  es más “sensible” que a .48 4H istoria de la P robabilidad y la Estadística (IV)Gráfico de d(a) y a(d)Sobre este mismo punto, conviene señalar que Gini encuentra una refutación de la "ley" que Pareto creyó encontrar sobre la distribución de la riqueza. Pareto observó que la distribución de la riqueza en diferentes territorios y épocas tendía a seguir una distribución paretiana con un parámetro a  similar; a ese tal valor a  le quiso dar un significado de "ley" universal.Gini refuta eso señalando que los valores "similares" de a  □  corresponden a valores bastante distintos de a  debido a la relación funcional antes señalada entre ambos parámetros. A su vez, valores algo distintos de 8  implican concentraciones muy distintas. Citamos dos párrafos de estadístico italiano al respecto:"II Pareto, infatti, tratando le sedación dei redditi con método matemático, giunse alia conclusione que la distribuzione dei redditi globali è pressochè idéntica per tutti gli Stati e per tutti i tempi...........“Notiamo pero come, a differenze relativamente piccole nel valore dell'indice di concentrazione, corrispondano grande differenze nella distribuzione della ricchezza.Se è 5=2, 1/m del reddito tassato sará posseduto da 1/m2 dei redditeri censito; per esempio 'A dei censito possédera V2 del reddito; 1/9 ne possédera 1/3, 1/16 ne possederà Va.Se è invece 5=3, 1/m del reddito tassato sarà posseduto da 1/m3 dei redditieri censito; e cosí Vi del reddito si troverà in mano non più di Va, ma di 1/8 di censito; 1/3 del reddito in mano non di 1/9, ma di 1/27 dei censito; Va del reddito in mano non di 1/16, ma di 1/64 dei cenciti.”Proseguimos con la exposición del resto de puntos sobre la comparativa de Gini entre su coeficiente y el de Pareto:(c) L'influenza perturbatrice dell'evasione si fa sentiré, come abbiamo mostrato,485H istoria de la P robabilidad y la Estadística (IV)meno sull'indice ô che sull' indice a.(d) L'indice 5 ha un significado preciso. Esso indica 1'exponente al quale bisogna innalzare una frazione dei redditi accertati per ottenere la frazione dei censito che li possiede. Quando 8 crece, aumenta quinde la concentrazione dei redditi; nessun equivoco è possibile.”“El indice 5  tiene una interpretación sencilla e intuitiva”. Pero a , añadimos nosotros, por supuesto también la tiene: nos da precisamente la distribución y los cuantiles de la renta en forma sencilla.A través de estos breves comentarios a las apreciaciones de Gini sobre su propuesta de índice en comparación con la medida de concentración de Pareto, podemos observar que no está fundamentada una significativa ventaja de 5  sobre a  . Aquí conviene traer a colación lo señalado en la sección 1 sobre la relativa desconfianza del estadístico veneciano respecto a la matemática teórica. Posiblemente si Gini hubiese profundizado en el análisis matemático de su coeficiente ô , se hubiese convencido de que no aportaba ventajas significativas y quizás, entrando ahora en lo hipotético, hubiese acelerado su adhesión definitiva al coeficiente que lleva su nombre.Diferencias entre los conceptos y mediciones de la concentración entre Gini y ParetoPareto (1848-1923), aunque nacido en París y de madre francesa, hizo sus estudios y formación en Italia y puede considerarse perteneciente culturalmente a este país. Pareto fue de una generación anterior a Gini (36 años mayor) y es natural que éste tuviese como referencia relativa el trabajo de aquél. En Indici di concentrazione e di dependenza Gini señala la disparidad entre la idea de "concentración" de Pareto y la suya.“Altrettanto non si puô dire dell'indice a, sulla cui interpretazione vi fu  e vi è dissenso fondamentale. Mentre il Pareto infatti ritiene che il crescere di a indichi aumento di disiguaglianza nella distribuzione, il Benini ritiene al contrario che esso indichi diminuzione di disuguaglianza. E da awertire che il dissenso dipende dal diverso signifícalo che i due illustri statistici dànno alie espressioni : maggiore o minore disuguaglianza della distribuzione. Poiché, per il Pareto, la disuguaglianza aumenta quando diminuisce la percentuale dei censiti con reddito superiore ad x, mentre, per il Benini, im tal caso, la disuguaglianza diminuisce.Vi è certamente in tutte le definizioni qualche cosa di arbitrario. Ma dobbiamo guardarci, a scanso di equivoci, dall 'atribuiré ai termini un significado in contrasto con quello che viene loro comunemente attribuito.Prendendo le parole nel loro significado etimológico e corrente, dobbiamo dire che la concentrazione della riccheza aumenta e la sua disuguaglianza si fa  più forte quando diminuisce la frazione dei censito al di sopra di un dato reddito che possiedono una data parte dei redditi accertati, o viceversa quando aumenta la parte dei redditi accertati posseduta da una data frazione di censito al di sopra di un dato reddito. Ora, in tal caso,£aumenta il valore di ô e diminuisce corrispondentemente, in teoría, il valore di a  = ---- -.E necesario dunque concluyere che l'interpretazione del Benini, secondo il quale il diminuiré di a indica un aumento di disuguaglianza nella distribuzione, ricorsponde486H istoria de la P robabilidad y la Estadística (IV)meglio che quella del Pareto al sgnificato che comunemente si attribuisce alla espressione <disuguaglianza nella distribuzione>.Nei fatto perô non awiene che ad un aumneto di S corresponda una diminuzione di a. Perccla mancorna di coincidenza fra Ô e ------, puo darsi cge al creceré di ôcorrisponda una - 1aumneto di a. In Hamburgo, per essempio, il valore di ô è aumentato dal 1883 al 1895, mentre è aumentato pure il valore di a. ”Es interesante señalar que en la vision de Pareto hay mucha concentración (en rentas) cuando una gran cantidad de personas tienen rentas pequeñas y un reducido número de personas tienen rentas mucho más mayores. Aquí, el economista italiano interpreta la concentración como "concentración de rentas parecidas" (dispersión relativa pequeña). En términos "modernos", siguiendo a Gini, esa situación se consideraría como "concentración pequeña" (dispersión relativa pequeña). Es decir, en términos de Gini "concentración" y dispersión (relativa) son conceptos paralelos, no opuestos,ConclusionesEn sus trabajos sobre medición de la concentración distribucional de diversas magnitudes (rentas, riqueza, número de hijos,...) Gini fue elaborando a lo largo de los años una serie de coeficientes para determinar numéricamente tal cantidad. En estos sucesivos coeficientes podemos ver antecesores y "parientes" de los índices hoy corrientemente usados. Nos hemos centrado en este trabajo en el índice 5 , que está especialmente relacionado con los trabajos de su antecesor Pareto e indirectamente relacionado con lo que conocemos como Curva de Lorenz. Gini se refiere al economista y matemático Ítalo-francés en varias ocasiones para comparar sus descubrimientos y progresos en el campo. Así asevera, en su momento, que su coeficiente ô  es superior al coeficiente a  de Pareto y lo utiliza para refutar la "ley de Pareto" de igualdad de concentración entre los Estados. De alguna forma, también polemiza con las ideas de su antecesor en lo referente a la idea misma de "concentración" razonando sobre el significado de a  y ô , como hemos observado.Sin embargo, hemos podido señalar que el coeficiente S  no poseía todas las virtudes que Corrado Gini creía ver en él y, sólo hipotéticamente, hemos puesto en relación este exceso de confianza en la relativa displicencia del italiano hacia el método matemático.Aunque su estudio se sale de los límites impuestos a este pequeño trabajo, cabe señalar que Gini, consciente de algunas limitaciones de su coeficiente ô , propuso simultáneamente otras variantes para diferentes aplicaciones. De esta manera nació el coeficiente r , o el "coeficiente complejo" (x,s). Todo ello formó parte del proceso que llevó a Gini y a otros a construir las medidas de concentración actualmente en uso (y que siguen en proceso de evolución).487H istoria de la Probabilidad y la Estadística (IV)BibliografíaGini, C. (1913), "Sulla misura della concentrazione e della variabilita dei caratteri", Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti.Gini, C. (1922), "Indici di concentrazione e di dipendenza", Biblioteca deU'Economista.Gini, C. (1926) "The Contributions of Italy to Modem Statistical Methods". Journal of the Royal Statistical Society, Vol. 89, No. 4. (Jul., 1926), pp. 703-724.488

Consideraciones sobre la medida de la concentración por Gini

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