Het belang dat het getallencontinuum voor de geheele wiskunde heeft, berust in hoofdzaak op tweeërlei eigenschappen. Eenerzijds bestaan namelijk tusschen de elementen van het getallencontinuum
eenvoudige algebraische (of arithmetische) betrekkingen, d.z. betrekkingen tusschen telkens eindig vele getallen: de reëele resp. complexe getallen vormen een lichaam. ...

Zie: Inleiding

Dantzig, David van,

Het belang dat het getallencontinuum voor de geheele wiskunde heeft, berust in hoofdzaak op tweeërlei eigenschappen. Eenerzijds bestaan namelijk tusschen de elementen van het getallencontinuum eenvoudige algebraische (of arithmetische) betrekkingen, d.z. betrekkingen tusschen telkens eindig vele getallen: de reëele resp. complexe getallen vormen een lichaam. ... Zie: Inleidin

van Dantzig, David

ARTS repository - University of Groningen

   University of GroningenStudien over topologische algebravan Dantzig, DavidIMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite fromit. Please check the document version below.Document VersionPublisher's PDF, also known as Version of recordPublication date:1931Link to publication in University of Groningen/UMCG research databaseCitation for published version (APA):van Dantzig, D. (1931). Studien over topologische algebra. Paris.CopyrightOther than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of theauthor(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons).The publication may also be distributed here under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license.More information can be found on the University of Groningen website: https://www.rug.nl/library/open-access/self-archiving-pure/taverne-amendment.Take-down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons thenumber of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum.Download date: 13-02-2023rst daardoor heb ikfi-rekening eenigszinsímensionale differen-rd enthousiasme enlankbare herinneringHooggeschatte Pro-en en diepgevoeldenmedewerking, die ikl gemeenschappelijkehooge mate tot mijnmis van de abstractescherpe en kritischel inzicht in welhaast:r vele moeilijkhedenGij de bewerking vanle moeite, die Gij Uraadgevingen die hetlijd aan U verplichten.I N L E I D I N G .Het belang dat het getallencontinuum voor de geheele wiskundeheeft, berust in hoofdzaak op tweeërlei eigenschappen. Eenerzijdsbestaan namelijk tusschen de elementen van het getallenconti-nuum eenvoudige algebraische (of arithmetische) betrekkingen, d.z.betrekkingen tusschen telkens eind,ig aele getallen: de reëele resp.complexe getallen vormen een I'ichaam. Anderzijds bestaan er ech-ter eenvoudige topologische (continuïteits-) relaties, d.z. zljn be'trekkingen tusschen telkens oneindig ael'e getallen: de reëele resp.complexe getallen vormen een contínuum- En wel culmineeren dealgebraische betrekkingen in de stelling van d'Alembert (hoofd-stelling der algebra): ,,Iedere algebraische vergelijking met com-plexe coëfficienten bezit in het lichaam der complexe getallenminstens één wortel". en de topologische betrekkingen in de stel-ling van Bolzano-Weierstrass: ,,Iedere begrensde oneindige ge-tallenverzameling bezit minstens één verdichtingspunt". Zuíveralgebraisch zegt de stelling van d'Alembert, dat het lichaam dercomplexe getallen algebraisch afgesl,oten is; zuiver topologisch zegtde stelling van Bolzano-Weierstrass, dat de verzameling derreëele resp. complexe getallen mihrocompacl 1) is.In de oudere wiskunde werden deze beide aspecten van hetgetallencontinuum niet van elkaar onderscheiden, zooals b-v.blijkt uit de zuiver algebraische stelling van d'Alembert, welksbewijs wezenlijk op de zuiver topologische stelling van Bolzano-Weierstrass berust. De oorzaak iigt daarin, dat de reëele resp'complexe getallen zelf niet zuiver algebraisch (uitgaande van del) Mihrocompact (,,kompakt im kleinen") is eene verzameling, als iederpunt in eene omgeving met compacte afsluiting (bij afkorting: eene com-pacte omgeving) bevat is. compact is eene verzameling als iedere oneindigedeelverzameling daarvan minstens één limespunt in de gegeven verzamelingbezit.IÈI[..t :2natuurlijke getallen) gedefinieerd kunnen worden, maar dat daar-toe de conaergentie van bepaalde rijen van rationale getallen, eentof>ologisch.e eigenschap dus, beschouwd moet worden.De scheiding der beide aspecten van het getallencontinuumheeft zich onder invloed van de axiomatiseeringstendentie van devorige eeuw geleidelijk voltrokken; in het bijzonder was het Dede-kind, die in zekeren zin zoowel de topologische als de algebraischeeigenschappen der getallen afzonderlijk onderzocht heeft. Sinds-dien hebben topologie en algebra zich tot afzonderlijke takken derwiskunde ontwikkeldDaarmede ontstaat echter een nieuw probleem. Het getallen-continuum heeft geen eigenschap, die het algebraisch van anderealgebraisch afgesloten lichamen van de karakteristiek nul en on-eindigen transcendentiegraad onderscheidt. Topologisch beschouwdbestaat er een menigte van meetkundige puntverzamelingen, dieniet minder eenvoudige eigenschappen bezitten dan dit een- oftweedimensionale continuum. Waarin is dan echter de eigenlijkeoorzaah gelegen van de fundamenteele rol,, die het geíal,lencontinuumin d,e geheele uiskunde uerault?Klaarblijkelijk moet dit eene combinatie van topologische enalgebraische eigenschappen zijn. Daarmede ontstaat echter eennieuw onderdeel van de wiskunde, de topologische al,gebra: in eenaerzamel,ing mogen zoowel topologische als al,gebraische rel,aties gege-aen zijn, uaartusschen eenaoudige continuiteitsrelaties bestaan; menaraagt, d,eze (axiomatisch gedefinieerde) aerzamelingen in het alge-meen te onderzoeken en te classificeeren.Dit onderzoek is nog in een ander opzicht van belang. Naasthet lichaam der reëele en dat der complexe getallen en min of meergelijkwaardig daarmede verschijnen in de moderne getallentheorieeen reeks van andere lichamen: die der p-adische en der p-adischegetallen van Hensel 1), die evenals het lichaam der reëele getallendoor metriseering of ,,Bewertung" en een zekere afsluiting (com-pleteering) uit het lichaam der rationale getallen ontstaan. Voorde beschrijving dezer lichamen als metrische (bewertete) lichamenheeft men het lichaam der reëele getalien als hulpmiddel nocidig.Om nu deze lichamen zonder gebruik te maken van de reëele ge-l) l(JI*tsel, Zahlentheorie, Leipzig, Góschen, l9l3; Theorie der alge-braischen Za}rlen, Teubner, 1908.tallen o'seeren, Isteem v(sche algrIn derverre bede voornalgebra 2kort aanden titelde bewijzde bestaifn Holichaam,gevoerd.o.a. de thren der geomvat. Fin het biwordt heEn wel bpunten vgeen topcgetallend'Alembrl,ichaam aalgeslotmp-adischewezen,Deeigewas de orl) Vgl.Leipzig, V2) Vgl.I I  1931 .3) Mihrin zich zel:len, maar dat daar-:ionale getallen, eenworden.getallencontinuumngstendentie van dernder was het Dede-: als de algebraischerzocht heeft. Sinds-nderlijke takken derI,leem. Het getallen-ebraisch van anderelteristiek nul en on-pologisch beschouwdrtverzamelingen, dieten dan dit een- oft echter de eigenlijkeh et g et al,l en c ontínu wmvan topologische enontstaat echter eenTische algebra: in eenbraische relaties gege-relaties bestaan; mentmelingen in het alge-: van belang. Naastallen en min of meerlerne getallentheorie;che en der P-adischer der reëele getallen<ere afsluiting (com-rllen ontstaan. Voor'bewertete) lichamenhulpmiddel nocidig.en van de reëele ge-1913; Theorie der alge-3tallen op te bouwen en door interne eigenschappen te karakteri-seeren, moet men de metriek door een topologisch omgevingssy-steem vervangen: men komt dus weer op het terrein der topologi-sche algebra.In deze dissertatie zal een beknopt overzicht over de tot dus-verre bereikte resultaten gegeven worden. Ter bekorting wordende voornaamste eigenschappen, zoowel uit de topologie 1) als uit dealgebra 2) bekend ondersteld, en worden de meeste bewijzen slechtskort aangeduid. In eene serie artikelen, die ik binnenkort onderden titel ,,Zur topologischen Algebra" hoop te publiceeren, zullende bewijzen volledig worden weergegeven en zal ook vollediger naarde bestaande litteratuur worden verwezen.In Hoofdstuk I worden de begrippen T-groep, T-ring en T-lichaam, benevens het fundamenteele begrip der completecring in-gevoerd. Hoofdstuk II bevat de theorie der b,-adische ringen, dieo.a. de theorie dergeheele p-adische en p-adische getallen van Henselen der geheele ,,ideale" getallen van Priifer als bijzondere gevallenomvat. Hoofdstuk III bevat enkele stellingen over topologische,in het bijzonder Cantorsche groepen. In Hoofdstuk IV tenslottewordt het in den aanvang gestelde probleem volledig opgelost.En wel blijkt, wanneer men afziet van het triviale geval, dat allepunten van elkaar geïsoleerd zijn (dat dus eigenlijk in het geheelgeen topologische relaties bestaan), dat het lichaam der complexegetallen door de beide bovengenoemde existentiepostulaten vand' Alembert en Bolzano-Weierstrass volledig gekarakteriseerd is: Zellichaarn d,er cornplexe getallen isheteen'igernikroperfectes)algebraischalgesloten lichaarn. Tevens wordt aan de lichamen der p-adische enp-adische getallen hun plaats temidden der T-lichamen aange-wezen.Deeigenlijke aanleiding tot deze studie der topologische algebrawas de ontdekking, dat er, behalve het getallencontinuum en def) Vgl. bv. F. Hausdorf, Grundziige der Mengenlehre, erste Auflage,Leipzig, Veit & Comp., L9I4; Tietze-Vietoris, Enz. der math. Wiss.2) Vgl. B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, Julius Springer, I 1930,I I  1 9 3 1 .3) Mihroperfect wordt hier in de beteekenis van: mikrocompact en dichtin zich zelf gebruikt.4daaruit afgeleide meerdimensionale varieteiten, nog andere veÍza-melingen zijn, met name de Cantorsche verzameling en de daaruitafgeleide ,,solenoiden" en ,,solenoidale varieteiten", 1) die zooweltopologisch als algebraisch hoogst eenvoudige eigenschappen be-zitten. Kort te voren was door O. Schreier 2) de theorie der limes-groepen opgesteld. Met behuip der toen door ons opgestelde com-pleteeringstheorie trachtten B. L. van der Waerden en ik in 1926(destijds zonder succes) de perfectiseerbare lichamen.te classifi-ceeren. Vervolgens ontstond in 1928 de theorie der br-adischeringen, en gelukte in het voorjaar van 1930 de classificatie dermikroperfecte lichamen. De stellingen over T-groepen dateeren inhoofdzaak van Januari 1931. Inmiddels zijn van andere zijde(Krull, Baer e.a.) belangrijke topologisch-algebraische onderzoe-kingen verschenen.1) D. van Dantzig, Ueber topologisch homogene Kontinua, Fundamenta\Íathematicae, f4 (f930) L02-125.2) O. Schreier, Abstrakte kontinuierliche Gruppen, Abh. Math. Sem.Hamburg 4 (1925) 15-32; Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im grossen,idem 5 (1526) 233-244.$ I - TopoítEen topologle een groeprzóó dat eeneraan de bekenrder beide aftebeide volgendTG. l .  HetTG.2 .  HetDan gelden d,TG. 3. EerTG. 4. Is Iafsluitings) $TG. 5. Is ITG. 6. Is {TG.7 .  Tw,een eeneenduibraische) isomding) is.TG. 8. Eenische) automol) B. L. van2) Hausdorf,3) Afsluiting4) Bij Schreimet het gebruilv. d. W. voor d

Dutch

Studien over topologische algebra

University of Groningen Research Database

  
 University of Groningen
Studien over topologische algebra
van Dantzig, David
IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from
it. Please check the document version below.
Document Version
Publisher's PDF, also known as Version of record
Publication date:
1931
Link to publication in University of Groningen/UMCG research database
Citation for published version (APA):
van Dantzig, D. (1931). Studien over topologische algebra Groningen: Paris
Copyright
Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the
author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons).
Take-down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately
and investigate your claim.
Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons the
number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum.
Download date: 11-02-2018
rst daardoor heb ik
fi-rekening eenigszins
ímensionale differen-
rd enthousiasme en
lankbare herinnering
Hooggeschatte Pro-
en en diepgevoelden
medewerking, die ik
l gemeenschappelijke
hooge mate tot mijn
mis van de abstracte
scherpe en kritische
l inzicht in welhaast
:r vele moeilijkheden
Gij de bewerking van
le moeite, die Gij U
raadgevingen die het
lijd aan U verplichten.
I N L E I D I N G .
Het belang dat het getallencontinuum voor de geheele wiskunde
heeft, berust in hoofdzaak op tweeërlei eigenschappen. Eenerzijds
bestaan namelijk tusschen de elementen van het getallenconti-
nuum eenvoudige algebraische (of arithmetische) betrekkingen, d.z.
betrekkingen tusschen telkens eind,ig aele getallen: de reëele resp.
complexe getallen vormen een I'ichaam. Anderzijds bestaan er ech-
ter eenvoudige topologische (continuïteits-) relaties, d.z. zljn be'
trekkingen tusschen telkens oneindig ael'e getallen: de reëele resp.
complexe getallen vormen een contínuum- En wel culmineeren de
algebraische betrekkingen in de stelling van d'Alembert (hoofd-
stelling der algebra): ,,Iedere algebraische vergelijking met com-
plexe coëfficienten bezit in het lichaam der complexe getallen
minstens één wortel". en de topologische betrekkingen in de stel-
ling van Bolzano-Weierstrass: ,,Iedere begrensde oneindige ge-
tallenverzameling bezit minstens één verdichtingspunt". Zuíver
algebraisch zegt de stelling van d'Alembert, dat het lichaam der
complexe getallen algebraisch afgesl,oten is; zuiver topologisch zegt
de stelling van Bolzano-Weierstrass, dat de verzameling der
reëele resp. complexe getallen mihrocompacl 1) is.
In de oudere wiskunde werden deze beide aspecten van het
getallencontinuum niet van elkaar onderscheiden, zooals b-v.
blijkt uit de zuiver algebraische stelling van d'Alembert, welks
bewijs wezenlijk op de zuiver topologische stelling van Bolzano-
Weierstrass berust. De oorzaak iigt daarin, dat de reëele resp'
complexe getallen zelf niet zuiver algebraisch (uitgaande van de
l) Mihrocompact (,,kompakt im kleinen") is eene verzameling, als ieder
punt in eene omgeving met compacte afsluiting (bij afkorting: eene com-
pacte omgeving) bevat is. compact is eene verzameling als iedere oneindige
deelverzameling daarvan minstens één limespunt in de gegeven verzameling
bezit.
IÈ
I[..
t :
2natuurlijke getallen) gedefinieerd kunnen worden, maar dat daar-
toe de conaergentie van bepaalde rijen van rationale getallen, een
tof>ologisch.e eigenschap dus, beschouwd moet worden.
De scheiding der beide aspecten van het getallencontinuum
heeft zich onder invloed van de axiomatiseeringstendentie van de
vorige eeuw geleidelijk voltrokken; in het bijzonder was het Dede-
kind, die in zekeren zin zoowel de topologische als de algebraische
eigenschappen der getallen afzonderlijk onderzocht heeft. Sinds-
dien hebben topologie en algebra zich tot afzonderlijke takken der
wiskunde ontwikkeld
Daarmede ontstaat echter een nieuw probleem. Het getallen-
continuum heeft geen eigenschap, die het algebraisch van andere
algebraisch afgesloten lichamen van de karakteristiek nul en on-
eindigen transcendentiegraad onderscheidt. Topologisch beschouwd
bestaat er een menigte van meetkundige puntverzamelingen, die
niet minder eenvoudige eigenschappen bezitten dan dit een- of
tweedimensionale continuum. Waarin is dan echter de eigenlijke
oorzaah gelegen van de fundamenteele rol,, die het geíal,lencontinuum
in d,e geheele uiskunde uerault?
Klaarblijkelijk moet dit eene combinatie van topologische en
algebraische eigenschappen zijn. Daarmede ontstaat echter een
nieuw onderdeel van de wiskunde, de topologische al,gebra: in een
aerzamel,ing mogen zoowel topologische als al,gebraische rel,aties gege-
aen zijn, uaartusschen eenaoudige continuiteitsrelaties bestaan; men
araagt, d,eze (axiomatisch gedefinieerde) aerzamelingen in het alge-
meen te onderzoeken en te classificeeren.
Dit onderzoek is nog in een ander opzicht van belang. Naast
het lichaam der reëele en dat der complexe getallen en min of meer
gelijkwaardig daarmede verschijnen in de moderne getallentheorie
een reeks van andere lichamen: die der p-adische en der p-adische
getallen van Hensel 1), die evenals het lichaam der reëele getallen
door metriseering of ,,Bewertung" en een zekere afsluiting (com-
pleteering) uit het lichaam der rationale getallen ontstaan. Voor
de beschrijving dezer lichamen als metrische (bewertete) lichamen
heeft men het lichaam der reëele getalien als hulpmiddel nocidig.
Om nu deze lichamen zonder gebruik te maken van de reëele ge-
l) l(JI*tsel, Zahlentheorie, Leipzig, Góschen, l9l3; Theorie der alge-
braischen Za}rlen, Teubner, 1908.
tallen o'
seeren, I
steem v(
sche algr
In der
verre be
de voorn
algebra 2
kort aan
den titel
de bewijz
de bestai
fn Ho
lichaam,
gevoerd.
o.a. de thr
en der ge
omvat. F
in het bi
wordt he
En wel b
punten v
geen topc
getallen
d'Alembr
l,ichaam a
algeslotm
p-adische
wezen,
Deeige
was de or
l) Vgl.
Leipzig, V
2) Vgl.
I I  1931 .
3) Mihr
in zich zel:
len, maar dat daar-
:ionale getallen, een
worden.
getallencontinuum
ngstendentie van de
rnder was het Dede-
: als de algebraische
rzocht heeft. Sinds-
nderlijke takken der
I
,leem. Het getallen-
ebraisch van andere
lteristiek nul en on-
pologisch beschouwd
rtverzamelingen, die
ten dan dit een- of
t echter de eigenlijke
h et g et al,l en c ontínu wm
van topologische en
ontstaat echter een
Tische algebra: in een
braische relaties gege-
relaties bestaan; men
tmelingen in het alge-
: van belang. Naast
allen en min of meer
lerne getallentheorie
;che en der P-adische
r der reëele getallen
<ere afsluiting (com-
rllen ontstaan. Voor
'bewertete) lichamen
hulpmiddel nocidig.
en van de reëele ge-
1913; Theorie der alge-
3
tallen op te bouwen en door interne eigenschappen te karakteri-
seeren, moet men de metriek door een topologisch omgevingssy-
steem vervangen: men komt dus weer op het terrein der topologi-
sche algebra.
In deze dissertatie zal een beknopt overzicht over de tot dus-
verre bereikte resultaten gegeven worden. Ter bekorting worden
de voornaamste eigenschappen, zoowel uit de topologie 1) als uit de
algebra 2) bekend ondersteld, en worden de meeste bewijzen slechts
kort aangeduid. In eene serie artikelen, die ik binnenkort onder
den titel ,,Zur topologischen Algebra" hoop te publiceeren, zullen
de bewijzen volledig worden weergegeven en zal ook vollediger naar
de bestaande litteratuur worden verwezen.
In Hoofdstuk I worden de begrippen T-groep, T-ring en T-
lichaam, benevens het fundamenteele begrip der completecring in-
gevoerd. Hoofdstuk II bevat de theorie der b,-adische ringen, die
o.a. de theorie dergeheele p-adische en p-adische getallen van Hensel
en der geheele ,,ideale" getallen van Priifer als bijzondere gevallen
omvat. Hoofdstuk III bevat enkele stellingen over topologische,
in het bijzonder Cantorsche groepen. In Hoofdstuk IV tenslotte
wordt het in den aanvang gestelde probleem volledig opgelost.
En wel blijkt, wanneer men afziet van het triviale geval, dat alle
punten van elkaar geïsoleerd zijn (dat dus eigenlijk in het geheel
geen topologische relaties bestaan), dat het lichaam der complexe
getallen door de beide bovengenoemde existentiepostulaten van
d' Alembert en Bolzano-Weierstrass volledig gekarakteriseerd is: Zel
lichaarn d,er cornplexe getallen isheteen'igernikroperfectes)algebraisch
algesloten lichaarn. Tevens wordt aan de lichamen der p-adische en
p-adische getallen hun plaats temidden der T-lichamen aange-
wezen.
Deeigenlijke aanleiding tot deze studie der topologische algebra
was de ontdekking, dat er, behalve het getallencontinuum en de
f) Vgl. bv. F. Hausdorf, Grundziige der Mengenlehre, erste Auflage,
Leipzig, Veit & Comp., L9I4; Tietze-Vietoris, Enz. der math. Wiss.
2) Vgl. B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, Julius Springer, I 1930,
I I  1 9 3 1 .
3) Mihroperfect wordt hier in de beteekenis van: mikrocompact en dicht
in zich zelf gebruikt.
4daaruit afgeleide meerdimensionale varieteiten, nog andere veÍza-
melingen zijn, met name de Cantorsche verzameling en de daaruit
afgeleide ,,solenoiden" en ,,solenoidale varieteiten", 1) die zoowel
topologisch als algebraisch hoogst eenvoudige eigenschappen be-
zitten. Kort te voren was door O. Schreier 2) de theorie der limes-
groepen opgesteld. Met behuip der toen door ons opgestelde com-
pleteeringstheorie trachtten B. L. van der Waerden en ik in 1926
(destijds zonder succes) de perfectiseerbare lichamen.te classifi-
ceeren. Vervolgens ontstond in 1928 de theorie der br-adische
ringen, en gelukte in het voorjaar van 1930 de classificatie der
mikroperfecte lichamen. De stellingen over T-groepen dateeren in
hoofdzaak van Januari 1931. Inmiddels zijn van andere zijde
(Krull, Baer e.a.) belangrijke topologisch-algebraische onderzoe-
kingen verschenen.
1) D. van Dantzig, Ueber topologisch homogene Kontinua, Fundamenta
\Íathematicae, f4 (f930) L02-125.
2) O. Schreier, Abstrakte kontinuierliche Gruppen, Abh. Math. Sem.
Hamburg 4 (1925) 15-32; Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im grossen,
idem 5 (1526) 233-244.
$ I - Topoít
Een topolog
le een groepr
zóó dat eener
aan de bekenr
der beide afte
beide volgend
TG. l .  Het
TG.2 .  Het
Dan gelden d,
TG. 3. Eer
TG. 4. Is I
afsluitings) $
TG. 5. Is I
TG. 6. Is {
TG.7 .  Tw,
een eeneendui
braische) isom
ding) is.
TG. 8. Een
ische) automo
l) B. L. van
2) Hausdorf,
3) Afsluiting
4) Bij Schrei
met het gebruil
v. d. W. voor d


   University of GroningenStudien over topologische algebravan Dantzig, DavidIMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite fromit. Please check the document version below.Document VersionPublisher's PDF, also known as Version of recordPublication date:1931Link to publication in University of Groningen/UMCG research databaseCitation for published version (APA):van Dantzig, D. (1931). Studien over topologische algebra. Paris.CopyrightOther than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of theauthor(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons).The publication may also be distributed here under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license.More information can be found on the University of Groningen website: https://www.rug.nl/library/open-access/self-archiving-pure/taverne-amendment.Take-down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons thenumber of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum.Download date: 09-09-2023rst daardoor heb ikfi-rekening eenigszinsímensionale differen-rd enthousiasme enlankbare herinneringHooggeschatte Pro-en en diepgevoeldenmedewerking, die ikl gemeenschappelijkehooge mate tot mijnmis van de abstractescherpe en kritischel inzicht in welhaast:r vele moeilijkhedenGij de bewerking vanle moeite, die Gij Uraadgevingen die hetlijd aan U verplichten.I N L E I D I N G .Het belang dat het getallencontinuum voor de geheele wiskundeheeft, berust in hoofdzaak op tweeërlei eigenschappen. Eenerzijdsbestaan namelijk tusschen de elementen van het getallenconti-nuum eenvoudige algebraische (of arithmetische) betrekkingen, d.z.betrekkingen tusschen telkens eind,ig aele getallen: de reëele resp.complexe getallen vormen een I'ichaam. Anderzijds bestaan er ech-ter eenvoudige topologische (continuïteits-) relaties, d.z. zljn be'trekkingen tusschen telkens oneindig ael'e getallen: de reëele resp.complexe getallen vormen een contínuum- En wel culmineeren dealgebraische betrekkingen in de stelling van d'Alembert (hoofd-stelling der algebra): ,,Iedere algebraische vergelijking met com-plexe coëfficienten bezit in het lichaam der complexe getallenminstens één wortel". en de topologische betrekkingen in de stel-ling van Bolzano-Weierstrass: ,,Iedere begrensde oneindige ge-tallenverzameling bezit minstens één verdichtingspunt". Zuíveralgebraisch zegt de stelling van d'Alembert, dat het lichaam dercomplexe getallen algebraisch afgesl,oten is; zuiver topologisch zegtde stelling van Bolzano-Weierstrass, dat de verzameling derreëele resp. complexe getallen mihrocompacl 1) is.In de oudere wiskunde werden deze beide aspecten van hetgetallencontinuum niet van elkaar onderscheiden, zooals b-v.blijkt uit de zuiver algebraische stelling van d'Alembert, welksbewijs wezenlijk op de zuiver topologische stelling van Bolzano-Weierstrass berust. De oorzaak iigt daarin, dat de reëele resp'complexe getallen zelf niet zuiver algebraisch (uitgaande van del) Mihrocompact (,,kompakt im kleinen") is eene verzameling, als iederpunt in eene omgeving met compacte afsluiting (bij afkorting: eene com-pacte omgeving) bevat is. compact is eene verzameling als iedere oneindigedeelverzameling daarvan minstens één limespunt in de gegeven verzamelingbezit.IÈI[..t :2natuurlijke getallen) gedefinieerd kunnen worden, maar dat daar-toe de conaergentie van bepaalde rijen van rationale getallen, eentof>ologisch.e eigenschap dus, beschouwd moet worden.De scheiding der beide aspecten van het getallencontinuumheeft zich onder invloed van de axiomatiseeringstendentie van devorige eeuw geleidelijk voltrokken; in het bijzonder was het Dede-kind, die in zekeren zin zoowel de topologische als de algebraischeeigenschappen der getallen afzonderlijk onderzocht heeft. Sinds-dien hebben topologie en algebra zich tot afzonderlijke takken derwiskunde ontwikkeldDaarmede ontstaat echter een nieuw probleem. Het getallen-continuum heeft geen eigenschap, die het algebraisch van anderealgebraisch afgesloten lichamen van de karakteristiek nul en on-eindigen transcendentiegraad onderscheidt. Topologisch beschouwdbestaat er een menigte van meetkundige puntverzamelingen, dieniet minder eenvoudige eigenschappen bezitten dan dit een- oftweedimensionale continuum. Waarin is dan echter de eigenlijkeoorzaah gelegen van de fundamenteele rol,, die het geíal,lencontinuumin d,e geheele uiskunde uerault?Klaarblijkelijk moet dit eene combinatie van topologische enalgebraische eigenschappen zijn. Daarmede ontstaat echter eennieuw onderdeel van de wiskunde, de topologische al,gebra: in eenaerzamel,ing mogen zoowel topologische als al,gebraische rel,aties gege-aen zijn, uaartusschen eenaoudige continuiteitsrelaties bestaan; menaraagt, d,eze (axiomatisch gedefinieerde) aerzamelingen in het alge-meen te onderzoeken en te classificeeren.Dit onderzoek is nog in een ander opzicht van belang. Naasthet lichaam der reëele en dat der complexe getallen en min of meergelijkwaardig daarmede verschijnen in de moderne getallentheorieeen reeks van andere lichamen: die der p-adische en der p-adischegetallen van Hensel 1), die evenals het lichaam der reëele getallendoor metriseering of ,,Bewertung" en een zekere afsluiting (com-pleteering) uit het lichaam der rationale getallen ontstaan. Voorde beschrijving dezer lichamen als metrische (bewertete) lichamenheeft men het lichaam der reëele getalien als hulpmiddel nocidig.Om nu deze lichamen zonder gebruik te maken van de reëele ge-l) l(JI*tsel, Zahlentheorie, Leipzig, Góschen, l9l3; Theorie der alge-braischen Za}rlen, Teubner, 1908.tallen o'seeren, Isteem v(sche algrIn derverre bede voornalgebra 2kort aanden titelde bewijzde bestaifn Holichaam,gevoerd.o.a. de thren der geomvat. Fin het biwordt heEn wel bpunten vgeen topcgetallend'Alembrl,ichaam aalgeslotmp-adischewezen,Deeigewas de orl) Vgl.Leipzig, V2) Vgl.I I  1931 .3) Mihrin zich zel:len, maar dat daar-:ionale getallen, eenworden.getallencontinuumngstendentie van dernder was het Dede-: als de algebraischerzocht heeft. Sinds-nderlijke takken derI,leem. Het getallen-ebraisch van anderelteristiek nul en on-pologisch beschouwdrtverzamelingen, dieten dan dit een- oft echter de eigenlijkeh et g et al,l en c ontínu wmvan topologische enontstaat echter eenTische algebra: in eenbraische relaties gege-relaties bestaan; mentmelingen in het alge-: van belang. Naastallen en min of meerlerne getallentheorie;che en der P-adischer der reëele getallen<ere afsluiting (com-rllen ontstaan. Voor'bewertete) lichamenhulpmiddel nocidig.en van de reëele ge-1913; Theorie der alge-3tallen op te bouwen en door interne eigenschappen te karakteri-seeren, moet men de metriek door een topologisch omgevingssy-steem vervangen: men komt dus weer op het terrein der topologi-sche algebra.In deze dissertatie zal een beknopt overzicht over de tot dus-verre bereikte resultaten gegeven worden. Ter bekorting wordende voornaamste eigenschappen, zoowel uit de topologie 1) als uit dealgebra 2) bekend ondersteld, en worden de meeste bewijzen slechtskort aangeduid. In eene serie artikelen, die ik binnenkort onderden titel ,,Zur topologischen Algebra" hoop te publiceeren, zullende bewijzen volledig worden weergegeven en zal ook vollediger naarde bestaande litteratuur worden verwezen.In Hoofdstuk I worden de begrippen T-groep, T-ring en T-lichaam, benevens het fundamenteele begrip der completecring in-gevoerd. Hoofdstuk II bevat de theorie der b,-adische ringen, dieo.a. de theorie dergeheele p-adische en p-adische getallen van Henselen der geheele ,,ideale" getallen van Priifer als bijzondere gevallenomvat. Hoofdstuk III bevat enkele stellingen over topologische,in het bijzonder Cantorsche groepen. In Hoofdstuk IV tenslottewordt het in den aanvang gestelde probleem volledig opgelost.En wel blijkt, wanneer men afziet van het triviale geval, dat allepunten van elkaar geïsoleerd zijn (dat dus eigenlijk in het geheelgeen topologische relaties bestaan), dat het lichaam der complexegetallen door de beide bovengenoemde existentiepostulaten vand' Alembert en Bolzano-Weierstrass volledig gekarakteriseerd is: Zellichaarn d,er cornplexe getallen isheteen'igernikroperfectes)algebraischalgesloten lichaarn. Tevens wordt aan de lichamen der p-adische enp-adische getallen hun plaats temidden der T-lichamen aange-wezen.Deeigenlijke aanleiding tot deze studie der topologische algebrawas de ontdekking, dat er, behalve het getallencontinuum en def) Vgl. bv. F. Hausdorf, Grundziige der Mengenlehre, erste Auflage,Leipzig, Veit & Comp., L9I4; Tietze-Vietoris, Enz. der math. Wiss.2) Vgl. B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, Julius Springer, I 1930,I I  1 9 3 1 .3) Mihroperfect wordt hier in de beteekenis van: mikrocompact en dichtin zich zelf gebruikt.4daaruit afgeleide meerdimensionale varieteiten, nog andere veÍza-melingen zijn, met name de Cantorsche verzameling en de daaruitafgeleide ,,solenoiden" en ,,solenoidale varieteiten", 1) die zooweltopologisch als algebraisch hoogst eenvoudige eigenschappen be-zitten. Kort te voren was door O. Schreier 2) de theorie der limes-groepen opgesteld. Met behuip der toen door ons opgestelde com-pleteeringstheorie trachtten B. L. van der Waerden en ik in 1926(destijds zonder succes) de perfectiseerbare lichamen.te classifi-ceeren. Vervolgens ontstond in 1928 de theorie der br-adischeringen, en gelukte in het voorjaar van 1930 de classificatie dermikroperfecte lichamen. De stellingen over T-groepen dateeren inhoofdzaak van Januari 1931. Inmiddels zijn van andere zijde(Krull, Baer e.a.) belangrijke topologisch-algebraische onderzoe-kingen verschenen.1) D. van Dantzig, Ueber topologisch homogene Kontinua, Fundamenta\Íathematicae, f4 (f930) L02-125.2) O. Schreier, Abstrakte kontinuierliche Gruppen, Abh. Math. Sem.Hamburg 4 (1925) 15-32; Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im grossen,idem 5 (1526) 233-244.$ I - TopoítEen topologle een groeprzóó dat eeneraan de bekenrder beide aftebeide volgendTG. l .  HetTG.2 .  HetDan gelden d,TG. 3. EerTG. 4. Is Iafsluitings) $TG. 5. Is ITG. 6. Is {TG.7 .  Tw,een eeneenduibraische) isomding) is.TG. 8. Eenische) automol) B. L. van2) Hausdorf,3) Afsluiting4) Bij Schreimet het gebruilv. d. W. voor d

University of Groningen Digital Archive

NARCIS 

University of Groningen

   University of GroningenStudien over topologische algebravan Dantzig, DavidIMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite fromit. Please check the document version below.Document VersionPublisher's PDF, also known as Version of recordPublication date:1931Link to publication in University of Groningen/UMCG research databaseCitation for published version (APA):van Dantzig, D. (1931). Studien over topologische algebra. Groningen: Paris.CopyrightOther than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of theauthor(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons).Take-down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons thenumber of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum.Download date: 12-11-2019rst daardoor heb ikfi-rekening eenigszinsímensionale differen-rd enthousiasme enlankbare herinneringHooggeschatte Pro-en en diepgevoeldenmedewerking, die ikl gemeenschappelijkehooge mate tot mijnmis van de abstractescherpe en kritischel inzicht in welhaast:r vele moeilijkhedenGij de bewerking vanle moeite, die Gij Uraadgevingen die hetlijd aan U verplichten.I N L E I D I N G .Het belang dat het getallencontinuum voor de geheele wiskundeheeft, berust in hoofdzaak op tweeërlei eigenschappen. Eenerzijdsbestaan namelijk tusschen de elementen van het getallenconti-nuum eenvoudige algebraische (of arithmetische) betrekkingen, d.z.betrekkingen tusschen telkens eind,ig aele getallen: de reëele resp.complexe getallen vormen een I'ichaam. Anderzijds bestaan er ech-ter eenvoudige topologische (continuïteits-) relaties, d.z. zljn be'trekkingen tusschen telkens oneindig ael'e getallen: de reëele resp.complexe getallen vormen een contínuum- En wel culmineeren dealgebraische betrekkingen in de stelling van d'Alembert (hoofd-stelling der algebra): ,,Iedere algebraische vergelijking met com-plexe coëfficienten bezit in het lichaam der complexe getallenminstens één wortel". en de topologische betrekkingen in de stel-ling van Bolzano-Weierstrass: ,,Iedere begrensde oneindige ge-tallenverzameling bezit minstens één verdichtingspunt". Zuíveralgebraisch zegt de stelling van d'Alembert, dat het lichaam dercomplexe getallen algebraisch afgesl,oten is; zuiver topologisch zegtde stelling van Bolzano-Weierstrass, dat de verzameling derreëele resp. complexe getallen mihrocompacl 1) is.In de oudere wiskunde werden deze beide aspecten van hetgetallencontinuum niet van elkaar onderscheiden, zooals b-v.blijkt uit de zuiver algebraische stelling van d'Alembert, welksbewijs wezenlijk op de zuiver topologische stelling van Bolzano-Weierstrass berust. De oorzaak iigt daarin, dat de reëele resp'complexe getallen zelf niet zuiver algebraisch (uitgaande van del) Mihrocompact (,,kompakt im kleinen") is eene verzameling, als iederpunt in eene omgeving met compacte afsluiting (bij afkorting: eene com-pacte omgeving) bevat is. compact is eene verzameling als iedere oneindigedeelverzameling daarvan minstens één limespunt in de gegeven verzamelingbezit.IÈI[..t :2natuurlijke getallen) gedefinieerd kunnen worden, maar dat daar-toe de conaergentie van bepaalde rijen van rationale getallen, eentof>ologisch.e eigenschap dus, beschouwd moet worden.De scheiding der beide aspecten van het getallencontinuumheeft zich onder invloed van de axiomatiseeringstendentie van devorige eeuw geleidelijk voltrokken; in het bijzonder was het Dede-kind, die in zekeren zin zoowel de topologische als de algebraischeeigenschappen der getallen afzonderlijk onderzocht heeft. Sinds-dien hebben topologie en algebra zich tot afzonderlijke takken derwiskunde ontwikkeldDaarmede ontstaat echter een nieuw probleem. Het getallen-continuum heeft geen eigenschap, die het algebraisch van anderealgebraisch afgesloten lichamen van de karakteristiek nul en on-eindigen transcendentiegraad onderscheidt. Topologisch beschouwdbestaat er een menigte van meetkundige puntverzamelingen, dieniet minder eenvoudige eigenschappen bezitten dan dit een- oftweedimensionale continuum. Waarin is dan echter de eigenlijkeoorzaah gelegen van de fundamenteele rol,, die het geíal,lencontinuumin d,e geheele uiskunde uerault?Klaarblijkelijk moet dit eene combinatie van topologische enalgebraische eigenschappen zijn. Daarmede ontstaat echter eennieuw onderdeel van de wiskunde, de topologische al,gebra: in eenaerzamel,ing mogen zoowel topologische als al,gebraische rel,aties gege-aen zijn, uaartusschen eenaoudige continuiteitsrelaties bestaan; menaraagt, d,eze (axiomatisch gedefinieerde) aerzamelingen in het alge-meen te onderzoeken en te classificeeren.Dit onderzoek is nog in een ander opzicht van belang. Naasthet lichaam der reëele en dat der complexe getallen en min of meergelijkwaardig daarmede verschijnen in de moderne getallentheorieeen reeks van andere lichamen: die der p-adische en der p-adischegetallen van Hensel 1), die evenals het lichaam der reëele getallendoor metriseering of ,,Bewertung" en een zekere afsluiting (com-pleteering) uit het lichaam der rationale getallen ontstaan. Voorde beschrijving dezer lichamen als metrische (bewertete) lichamenheeft men het lichaam der reëele getalien als hulpmiddel nocidig.Om nu deze lichamen zonder gebruik te maken van de reëele ge-l) l(JI*tsel, Zahlentheorie, Leipzig, Góschen, l9l3; Theorie der alge-braischen Za}rlen, Teubner, 1908.tallen o'seeren, Isteem v(sche algrIn derverre bede voornalgebra 2kort aanden titelde bewijzde bestaifn Holichaam,gevoerd.o.a. de thren der geomvat. Fin het biwordt heEn wel bpunten vgeen topcgetallend'Alembrl,ichaam aalgeslotmp-adischewezen,Deeigewas de orl) Vgl.Leipzig, V2) Vgl.I I  1931 .3) Mihrin zich zel:len, maar dat daar-:ionale getallen, eenworden.getallencontinuumngstendentie van dernder was het Dede-: als de algebraischerzocht heeft. Sinds-nderlijke takken derI,leem. Het getallen-ebraisch van anderelteristiek nul en on-pologisch beschouwdrtverzamelingen, dieten dan dit een- oft echter de eigenlijkeh et g et al,l en c ontínu wmvan topologische enontstaat echter eenTische algebra: in eenbraische relaties gege-relaties bestaan; mentmelingen in het alge-: van belang. Naastallen en min of meerlerne getallentheorie;che en der P-adischer der reëele getallen<ere afsluiting (com-rllen ontstaan. Voor'bewertete) lichamenhulpmiddel nocidig.en van de reëele ge-1913; Theorie der alge-3tallen op te bouwen en door interne eigenschappen te karakteri-seeren, moet men de metriek door een topologisch omgevingssy-steem vervangen: men komt dus weer op het terrein der topologi-sche algebra.In deze dissertatie zal een beknopt overzicht over de tot dus-verre bereikte resultaten gegeven worden. Ter bekorting wordende voornaamste eigenschappen, zoowel uit de topologie 1) als uit dealgebra 2) bekend ondersteld, en worden de meeste bewijzen slechtskort aangeduid. In eene serie artikelen, die ik binnenkort onderden titel ,,Zur topologischen Algebra" hoop te publiceeren, zullende bewijzen volledig worden weergegeven en zal ook vollediger naarde bestaande litteratuur worden verwezen.In Hoofdstuk I worden de begrippen T-groep, T-ring en T-lichaam, benevens het fundamenteele begrip der completecring in-gevoerd. Hoofdstuk II bevat de theorie der b,-adische ringen, dieo.a. de theorie dergeheele p-adische en p-adische getallen van Henselen der geheele ,,ideale" getallen van Priifer als bijzondere gevallenomvat. Hoofdstuk III bevat enkele stellingen over topologische,in het bijzonder Cantorsche groepen. In Hoofdstuk IV tenslottewordt het in den aanvang gestelde probleem volledig opgelost.En wel blijkt, wanneer men afziet van het triviale geval, dat allepunten van elkaar geïsoleerd zijn (dat dus eigenlijk in het geheelgeen topologische relaties bestaan), dat het lichaam der complexegetallen door de beide bovengenoemde existentiepostulaten vand' Alembert en Bolzano-Weierstrass volledig gekarakteriseerd is: Zellichaarn d,er cornplexe getallen isheteen'igernikroperfectes)algebraischalgesloten lichaarn. Tevens wordt aan de lichamen der p-adische enp-adische getallen hun plaats temidden der T-lichamen aange-wezen.Deeigenlijke aanleiding tot deze studie der topologische algebrawas de ontdekking, dat er, behalve het getallencontinuum en def) Vgl. bv. F. Hausdorf, Grundziige der Mengenlehre, erste Auflage,Leipzig, Veit & Comp., L9I4; Tietze-Vietoris, Enz. der math. Wiss.2) Vgl. B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, Julius Springer, I 1930,I I  1 9 3 1 .3) Mihroperfect wordt hier in de beteekenis van: mikrocompact en dichtin zich zelf gebruikt.4daaruit afgeleide meerdimensionale varieteiten, nog andere veÍza-melingen zijn, met name de Cantorsche verzameling en de daaruitafgeleide ,,solenoiden" en ,,solenoidale varieteiten", 1) die zooweltopologisch als algebraisch hoogst eenvoudige eigenschappen be-zitten. Kort te voren was door O. Schreier 2) de theorie der limes-groepen opgesteld. Met behuip der toen door ons opgestelde com-pleteeringstheorie trachtten B. L. van der Waerden en ik in 1926(destijds zonder succes) de perfectiseerbare lichamen.te classifi-ceeren. Vervolgens ontstond in 1928 de theorie der br-adischeringen, en gelukte in het voorjaar van 1930 de classificatie dermikroperfecte lichamen. De stellingen over T-groepen dateeren inhoofdzaak van Januari 1931. Inmiddels zijn van andere zijde(Krull, Baer e.a.) belangrijke topologisch-algebraische onderzoe-kingen verschenen.1) D. van Dantzig, Ueber topologisch homogene Kontinua, Fundamenta\Íathematicae, f4 (f930) L02-125.2) O. Schreier, Abstrakte kontinuierliche Gruppen, Abh. Math. Sem.Hamburg 4 (1925) 15-32; Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im grossen,idem 5 (1526) 233-244.$ I - TopoítEen topologle een groeprzóó dat eeneraan de bekenrder beide aftebeide volgendTG. l .  HetTG.2 .  HetDan gelden d,TG. 3. EerTG. 4. Is Iafsluitings) $TG. 5. Is ITG. 6. Is {TG.7 .  Tw,een eeneenduibraische) isomding) is.TG. 8. Eenische) automol) B. L. van2) Hausdorf,3) Afsluiting4) Bij Schreimet het gebruilv. d. W. voor d

Studien over topologische algebra

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

ARTS repository - University of Groningen

University of Groningen Research Database

ARTS repository - University of Groningen

University of Groningen Digital Archive

NARCIS

University of Groningen