Dividir un todo en partes congruentes y usar las fracciones unitarias como unidades iterativas son clave para comprender la relación parte-todo del concepto de fracción. La coordinación de estas dos ideas constituye el razonamiento down, entendido como una forma de razonar cuando se up and down pide representar una parte fraccionaria cuando el todo está dado de manera implícita.Esta investigación ha recibido el apoyo del Proyecto I+D+i EDU2014-54526-R del MINECO, España, y de la Ayuda para Contratos Predoctorales para la Formación de Doctores BES-2015-074424

Buforn, Àngela

Repositorio Institucional de la Universidad de Alicante

INTERCAMBIOUno Revista de Didáctica de las Matemáticas   •   núm. 80   •   pp. 59-65  •   abril 2018       59 El concepto de fracción  Actividades para desarrollar el signifi cado de la relación parte-todo  Àngela Buforn  Universidad de Alicante  Dividir un todo en partes congruentes y usar las fracciones unitarias como unidades iterativas son clave para comprender la relación parte-todo del concepto de fracción. La coordinación de estas dos ideas constituye el razonamiento up and down, entendido como una forma de razonar cuando se pide representar una parte fraccionaria cuando el todo está dado de manera implícita. PALABRAS CLAVE•  MATEMÁTICAS  • RAZONAMIENTO MATEMÁTICO  • ARITMÉTICA  • FRACCIÓN •  RAZONAMIENTO UP AND DOWN 60     Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas   •   núm. 80   •   abril 2018INTERCAMBIOnitivos (cuadro 1). Un esquema es un constructo que describe las estructuras cognitivas de los estu-diantes.A continuación, mostraremos ejemplos de actividades de aula que pueden ayudar a los estudian-tes a comprender el significado parte-todo de las fracciones.SIMULTANEOUS PARTITIONING SCHEME Las operaciones de unitizar y divi-dir son las operaciones clave de este esquema. El estudiante iden-tifica mentalmente un conjunto de objetos como un todo que se puede dividir de manera equi-tativa. Un ejemplo de actividad en la que se examina tanto la idea de unitizar como la de divi-dir en partes congruentes, en un contexto continuo, sería la que recoge la imagen 1 (modificada de McCloskey y Norton, 2009).En la resolución de esta tarea, un estudiante debe identificar las dos tabletas como el todo (unitizar) y dividirlo en cuatro partes con-gruentes (dividir) (imagen 2).car/separar una fracción del todo, manteniendo el todo intacto y sin alteraciones. Por ejemplo, imaginar lo que podrían ser las tres quintas partes de la tarta.4 Iterating (iterar). Repetir una parte para producir copias idénticas de ella. Por ejem-plo, utilizar un-cuarto (¼) de una barra para identificar tres-cuartos de la barra.5 Splitting (dividir-iterar). Composición simultánea de las operaciones de partitio-ning e iterating. Por ejemplo, si se dice «Esta barra es cua-tro veces más larga que otra. Dibuja la otra barra».Estas operaciones (acciones men-tales) generan siete esquemas cog-La comprensión de las fracciones es un objetivo relevante en la enseñanza de las matemáticas en la educación primaria y secundaria. Uno de los procesos clave en la comprensión de las fracciones es dividir un todo en partes con-gruentes y el uso de las fracciones unitarias (1/n) como unidades ite-rativas para desarrollar la idea de fracción como una unidad múl-tiple (3/4 visto como 3 veces 1/4) (McCloskey y Norton, 2009; Steffe y Olive, 2010). La coordinación de estas ideas se manifiesta en activi-dades cuya resolución implica el razonamiento up and down, que conlleva reconstruir el todo dada una fracción y representar, poste-riormente, otra fracción (propia o impropia) (Lamon, 2007).Para desarrollar esta coordina-ción, McCloskey y Norton (2009) identifican cinco operaciones (acciones mentales) abstraídas desde la experiencia:1 Unitizing (unitizar). Tratar un objeto o colección de objetos como una unidad o todo. Por ejemplo, tratar tres rectángu-los como un todo.2 Partitioning (dividir). Dividir/separar una unidad o todo en partes congruentes. Por ejem-plo, repartir una tarta de mane-ra equitativa entre 5 personas.3 Disembedding (separar). De manera imaginaria, identifi-Uno de los procesos clave en la comprensión de las fracciones es dividir un todo en partes congruentes■Imagen 1. Ejemplo de actividad con simultaneous partitioning schemeComparte de manera equitativa estas tabletas de chocolate entre tú y tus amigos.Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas   •   núm. 80   •   abril 2018       61El concepto de fracción: Actividades para desarrollar el significado de la relación parte-todoEn la resolución de esta activi-dad, el estudiante debe considerar, en primer lugar, que el conjunto de 12 estrellas representa el todo (unitizar); luego, identificar cua-tro grupos con la misma cantidad de estrellas (dividir), y, finalmente, separar dos grupos del todo divi-dido (separar) (imagen 4).■El estudiante identifica un conjunto de objetos como un todo que se puede dividir equitativamente Simultaneous partitioning scheme Part-whole scheme Equi-partitioning schemePartitive unit fractional schemePartitive fractional schemeReversible partitive fractional schemeIterative fractional schemeIdentificar un conjunto de objetos como un todo (unitizar), y usar este todo como un objeto que se puede dividir.Unitizar, dividir el todo en partes congruentes, y separar una parte del todo dividido.Unitizar, dividir, e iterar una parte para determinar su fracción unitaria con respecto a las otras partes.Iterar una fracción unitaria dada para producir un todo y considerar que el número de iteraciones determina la medida de la fracción con relación al todo. Consiste en utilizar las fracciones unitarias como una unidad de medida del todo.Este esquema es una generalización del esquema fraccional unitario partitivo que responde a la instrucción genérica de medir una cantidad tomando como unidad otra cantidad (¿Qué es el rectángulo azul del marrón? o ¿Qué es el rectángulo marrón del azul?). Esto implica la coordinación de unidades en dos niveles.Ante la representación de una fracción propia, dividirla para identificar la fracción unitaria e iterarla para reconstruir el todo (splitting).Ante una representación de una fracción impropia, dividirla para identificar la fracción unitaria e iterarla para reconstruir el todo (splitting).Cuadro 1. Esquemas propuestos por McCloskey y Norton (2009)Esquema OperacionesImagen 3. Ejemplo de actividad con part-whole schemeEl siguiente conjunto de estrellas representa el todo.¿Cuántas estrellas representan 2/4?Imagen 4. Resolución de la actividad con part-whole schemeImagen 2. Resolución de la actividad con simultaneous partitioning schemePART-WHOLE SCHEMEEste esquema se basa en las opera-ciones de unitizar, dividir el todo en partes congruentes, y separar una parte del todo dividido para considerarlo en relación con el todo. Un ejemplo de actividad, en un contexto discreto, correspon-dería a la imagen 3. 62     Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas   •   núm. 80   •   abril 2018INTERCAMBIOactividades como la que recoge la imagen 7 (modificada de Norton y McCloskey, 2008).Para determinar la fracción que representa el cuadrado verde en relación con el rectángulo marrón, iteramos el cuadrado tantas veces hasta completar todo el rectán-gulo (considerado como todo). Como se puede iterar 5 veces, la fracción unitaria que representa el cuadrado verde en relación con el rectángulo marrón es 1/5 (imagen 8), y que el número de iteraciones (5 en este ejemplo) es el tamaño del todo en relación con la fracción unitaria (1/5).PARTITIVE FRACTIONAL SCHEMEEste esquema es una generaliza-ción del esquema fraccional uni-tario partitivo que responde a la instrucción genérica de medir una cantidad tomando como uni-dad otra cantidad. Esto impli-ca la coordinación de unidades en dos niveles. Por una parte, el estudiante debe entender 3/5 como tres iteraciones de la frac-entre cuatro amigos y todos comen lo mismo, habría que divi-dir el todo en 4 partes iguales (dividir). Para mostrar una parte (en este caso la fracción unita-ria: 1/4), se tiene que identificar que cualquier parte es idéntica (congruente) y que podría ser iterada para reconstruir el todo (imagen 6).PARTITIVE UNIT FRACTIONAL SCHEMEEste esquema se basa en conside-rar que la fracción unitaria puede iterarse tantas veces para repro-ducir el todo y que este número de iteraciones determina el tama-ño del todo en relación con la fracción unitaria. Para desarrollar este esquema, se pueden utilizar EQUI-PARTITIONING SCHEMEConsiderando el esquema de iden-tificar el todo y dividir en partes iguales (simultaneous partitioning scheme), si además el estudiante entiende que las partes son idén-ticas (congruentes), de modo que cualquiera de ellas puede ser ite-rada suficientes veces para repro-ducir el todo, entonces se dice que el estudiante tiene el esque-ma de equi-partición (Norton y McCloskey, 2008). Un ejemplo de actividad en un contexto continuo es la que recoge la imagen 5 (modi-ficada de McCloskey y Norton, 2009).Si se tienen que compartir las tabletas (identificación de las dos tabletas como el todo: unitizar) Imagen 5. Ejemplo de actividad con equi-partitioning schemeComparte de manera equitativa esta tableta de chocolate entre tú y tres amigos.Muestra cuál sería tu parte.Imagen 7. Ejemplo de actividad con partitive unit fractional scheme¿Qué parte del rectángulo marrón es el cuadrado verde?Imagen 8. Resolución de la actividad con partitive unit fractional schemeImagen 6. Resolución de la actividad con equi-partitioning schemeUno Revista de Didáctica de las Matemáticas   •   núm. 80   •   abril 2018       63El concepto de fracción: Actividades para desarrollar el significado de la relación parte-todoto, actividades como la que apa-rece en la imagen 11.Si el conjunto representa 2/3 del todo, esto quiere decir que repre-senta 2 veces 1/3. Por lo tanto, debemos considerar el conjun-to formado por dos grupos del mismo tamaño (dividir) (cada uno de los grupos de 4 bolitas serán 1/3), e iterar esta fracción tres veces (1/3+1/3+1/3) para reconstruir el todo (que estaría formado por 12 bolitas, imagen 12) (iterar).ITERATIVE FRACTIONAL SCHEMEEste esquema es como el anterior, pero se manifiesta en las activida-des de reconstruir el todo desde una fracción impropia. Es decir, dicha parte (la fracción unitaria, en este ejemplo 1/4) para recons-truir la fracción propia (3/4) y el todo (4/4) (el rectángulo marrón) (imagen 10). De esta manera, se tienen que coordinar las uni-dades en dos niveles: iteración del 1/4 para construir la fracción propia (3/4, el rectángulo azul) e iteración del 1/4 para construir el todo (4/4, el rectángulo marrón), para poder determinar el tamaño de la fracción propia en relación con el todo (3/4).REVERSIBLE PARTITIVE FRACTIONAL SCHEMEEste esquema permite recons-truir el todo desde una fracción propia mediante la operación splitting (dividir e iterar). Por ejemplo, en un contexto discre-ción unitaria 1/5 (3 veces 1/5 es 3/5); por otra parte, debe enten-der el todo como la unidad for-mada por la iteración de cinco veces la fracción unitaria (1/5). La imagen 9 muestra un ejemplo de actividad para desarrollar este esquema (modificado de Norton y McCloskey, 2008).Para determinar la fracción que representa el rectángulo azul en relación con el rectángulo marrón, hay que dividir el rectán-gulo azul (la parte: fracción pro-pia) en partes congruentes que permitan medir cada uno de los rectángulos iterando un núme-ro entero de veces. Este proceso permite identificar la fracción unitaria (como la parte que per-mite reconstruir los dos rectán-gulos mediante iteración) e iterar Imagen 9. Ejemplo de actividad con partitive fractional scheme¿Qué parte del rectángulo marrón es el rectángulo azul?Imagen 11. Ejemplo de actividad con reversible partitive fractional scheme El siguiente conjunto representa 2/3 del todo, ¿puedes representar el todo?Imagen 10. Resolución de la actividad con partitive fractional schemeImagen 12. Resolución de la actividad con reversible partitive fractional scheme2/3 (2 veces 1/3) 3/3 (todo)64     Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas   •   núm. 80   •   abril 2018INTERCAMBIOma fraccional iterativo (iterative fractional scheme), por un lado, y el esquema parte-todo (part-who-le scheme), por otro lado. Las acti-vidades dirigidas a desarrollar el razonamiento up and down tienen que exigir al alumnado coordinar las acciones de dividir e iterar para la reconstrucción del todo del esquema fraccional iterativo (ite-rative fractional scheme o rever-sible partitive fractional scheme, según utilicemos representaciones de fracciones propias o impropias como datos del problema que pide representar el todo) y las opera-ciones de dividir y unitizar que configuran el esquema parte-todo. A continuación, se muestran dos actividades dirigidas a desarrollar el razonamiento up and down. Para resolver estas actividades, los 3 veces esta fracción unitaria (1/3+1/3+1/3 = 3 veces 1/3) para reconstruir el todo, es decir, 3/3 (iterar) (imagen 14 derecha).EJEMPLOS DE ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR  EL RAZONAMIENTO  UP AND DOWNEl razonamiento up and down requiere la coordinación de dos esquemas: el esquema fraccional partitivo reversible (reversible par-titive fractional scheme) o el esque-ante una representación de una fracción impropia, dividirla para identificar la fracción unitaria e iterarla para reconstruir el todo (splitting). Por ejemplo, en un con-texto continuo, actividades como la de la imagen 13.Si la figura representa 5/3 (5 veces 1/3), dividiremos la figura en 5 partes congruentes (imagen 14 izquierda) (dividir), obtenien-do de este modo una represen-tación de la fracción unitaria 1/3. Posteriormente, iteraremos Imagen 13. Ejemplo de actividad con iterative fractional schemeLa siguiente figura representa 5/3. ¿Qué figura representará el todo?Imagen 15. Actividades para desarrollar el razonamiento up and downEl siguiente conjunto representa 5/3 del todo. Representa 8/6:Imagen 14. Resolución de la actividad con iterative fractional schemeEl razonamiento  up and down requiere la coordinación  del esquema fraccional y el esquema  parte-todo■5/3 3/3 (todo)Imagen 16. Razonamiento up and down en un contexto discreto5/3 y 1/3  (fracción unitaria)3/3 (todo) 1/6 (fracción unitaria) y 8/6Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas   •   núm. 80   •   abril 2018       65El concepto de fracción: Actividades para desarrollar el significado de la relación parte-todosoning: Toward a theoretical framework», en LESTER, F.K (ed.): Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Charlotte, NC. NCTM-Information Age Publishing,  pp. 629-668.NORTON, A.; McCLOSKEY, A. (2008): «Modeling Students’ Mathematics Using Steffe’s Fraction Schemes». Teaching Children Mathematics, núm 15, pp. 48-54.McCLOSKEY, A.; NORTON, A. (2009): «Using Steffe’s Fraction advanced schemes». Mathematics Teaching in the Middle School, vol. 15(1),  pp. 44-50.STEFFE, L.; OLIVE, J. (2010): Children’s fractional knowledge. Nueva York. Springer. Dirección de contactoÀngela BufornUniversidad de Alicanteangela.buforn@ua.esEste artículo fue recibido en Uno: Revista de didáctica de las MateMáticas en noviembre de 2017 y aceptado en diciembre de 2017 para su publicación.de fracción. Apoyar el desarro-llo de estas ideas se puede hacer mediante las actividades descritas, que comportan tener presente el esquema parte-todo en un contex-to de medida que implica conside-rar qué mide una cantidad respecto a otra, y la coordinación mediante el razonamiento up and down de la idea de dividir un todo en partes congruentes y usar la fracción uni-taria como unidad iterativa cuando se pide representar una parte frac-cionaria cuando el todo está dado de manera implícita.Además, que los docentes conoz-can el papel que pueden des-empeñar los diferentes modos de representación (contexto discreto y contexto continuo) en la coordinación de diferentes tipos de unidades para repre-sentar fracciones constituye un elemento del conocimiento de las matemáticas que es relevante para la enseñanza. ◀ Nota*  agRadeciMientos: Esta investigación ha recibido el apoyo del Proyecto I+D+i EDU2014-54526-R del MINECO, España, y de la Ayuda para Contratos Predoctorales para la Formación de Doctores BES-2015-074424. Referencias bibliográficasLAMON, S.J. (2007): «Rational numbers and proportional rea-niños y niñas deben identificar las fracciones unitarias a partir de la representación de una fracción propia o impropia (a/b es a veces 1/b), reconstruir el todo (median-te un proceso de iteración), y, posteriormente, representar otra fracción (propia o impropia). En el contexto discreto y con fraccio-nes impropias (imagen 15).Si el conjunto representa 5/3, para reconstruir el todo hay que reagru-par el conjunto en cinco grupos del mismo tamaño (5 veces 1/3, imagen 16 izquierda) (dividir), e iterar esta fracción (1/3, 4 cuadra-dos) tres veces (1/3+1/3+1/3) para reconstruir el todo (que estaría formado por 12 cuadrados, ima-gen 16 centro) (iterar). Una vez reconstruido el todo, para representar la fracción 8/6 hay que reagrupar el todo en 6 grupos del mismo tamaño (dividir) (el todo visto como 6 veces 1/6), e iterar esta fracción (1/6) ocho veces (1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6) para representar la fracción 8/6 (iterar) (imagen 16 derecha).REFLEXIÓN FINALIdentificar un todo formado por varios objetos y dividirlo en partes congruentes, y usar las fracciones unitarias como unidades iterati-vas, son clave para comprender la relación parte-todo del concepto 

El concepto de fracción. Actividades para desarrollar el significado de la relación parte-todo

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