Shenitzer, Abe

Czech digital mathematics library

Some thoughts on the teaching of mathematics

Institute of Mathematics AS CR, v. v. i.

Pokroky matematiky, fyziky a astronomieAbe ShenitzerNěkolik úvah o vyučování matematicePokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 33 (1988), No. 1, 47--51Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139594Terms of use:© Jednota českých matematiků a fyziků, 1988Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access todigitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document mustcontain these Terms of use.This paper has been digitized, optimized for electronic delivery andstamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech DigitalMathematics Library http://project.dml.czvyučování NĚKOLIK ÚVAH O VYUČOVÁNÍ MATEMATICE Abe Shenitzer Autor působí na katedře matematiky kanadské York University, Downsview, Ontario, M3J 1P3. V kritické úvodní části svého příspěvku reaguje na postoje kanadských studentů a učitelů k ma­tematice a k jejímu vyučování. (Poznámka re­dakce.) Nedávno jsem zhlédl divadelní hru o mladém Welšanovi, který začíná vyučo­vat dějepis v jedné anglické střední škole. Svou první hodinu zahajuje tím, že se jed­noho studenta ptá, která strana — král či parlament — vyhrála v Anglii první občanskou válku. Po několika dotazech na podrobnosti se ptá: „Trevelyan se domnívá, že první občanská válka v Anglii byla nejdůležitější událostí v anglických dějinách. Co si o tom myslíte?" Tento učitel spolu se mnou zastává pedagogickou filozofii, která v kritické a hodnotící funkci vzdělávání spatřuje jeho hlavní přínos k intelektuálnímu a duševnímu vývoji studentů. Nevyložená nebo nedostatečně vyložená látka, která se jako strava serví­ruje ve všech základních a středních Ško­lách celým generacím studentů, rozvrací intelekt i duši studentů a vede je k cynismu a k opovrhování učitelem i vyučovacím předmětem. Žádný předmět není obávanější a opc-vrhovanější než matematika, která je jed-ABE SHENITZER: Some Thoughts on the Teaching of Mathematics. The Mathematical Intelligencer, vol. 8, No 1, pp. 21 — 24. (Přeložila HANA RIPKOVÁ a JAROSLAV ŠEDIVÝ.) © 1986 Springer Verlag, New York nak obtížná, jednak zdánlivě bezvýznam­ná. A přitom právě tento předmět může posloužit k popisu symetrie a spojitosti, může poskytnout nástroje pro nejdůmysl­nější fyzikální teorie, může odhalit bo­hatství a omezenost tvarů a dokonce i hra­nice samotného deduktivního myšlení. Proč existuje tato ohromná trhlina mezi představou a skutečností? Proč se proje­vuje „strach z matematiky"? Vůbec ne­pochybuji, že základní příčina tohoto žalostného a skličujícího stavu spočívá v tom, že z vyučování matematice (a to od mateřské školy až po školu střední) byly vesměs vyřazeny jeho kritické a hodnotící složky a vše se zaměřilo na výuku mate­matických „faktů" a „dovedností". Příliš často se stává, že to, co vyučujeme, je sice lokálně rozumné, ale celkově bez­významné a nesouvislé, je to Golem bez paměti, bez rozhledu i bez duše. A pak tu je způsob, jakým se snažíme splnit své povinnosti. Příliš často je tento způsob projevem dusivého poručníkování, které nás vede k tomu, že neustále předepisuje­me požadavky, a to až do té míry, že se slovo „iniciativa" samo vytrácí ze studen­tova slovníku. Nemám v úmyslu oslavovat studenty a pomlouvat učitele. Nejde mi zde o to, kolik studentů se chce učit, ale kolik učitelů umí učit, nebo přesněji, kolik učitelů má schopnost povzbudit aspoň některé studenty ke spolupráci na jejich vlastním intelektuálním a lidském růstu. A vzhledem k tomu, že se všichni učitelé školí na univerzitách, jsou to nutně uni­verzity, které se musejí stát iniciátory změn. Klíčem k hodnotnému vyučování všech studentů na všech úrovních je odborná a intelektuální zdatnost jejich učitelů. Potřeba odborné zdatnosti učitele je zřej-Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 33 (1988), č. 1 47 má. Potřeba jeho zdatnosti v kritickém a historickém myšlení se naproti tomu po­važuje za méně důležitou. A právě proto se hlouběji zamýšlím nad intelektuálním aspektem matematického vzdělávání. Mnoho učitelů základních a středních škol má slabé odborné matematické vzdě­lání a nemá prakticky žádné vzdělání v historii a filozofii matematiky. Sami se považují za dodavatele pestrého sou­boru matematických technik [= postupů, metod], ale rozhodně nevidí část svého úvazku v práci kritiků a intelektuálních historiků. Mnoho univerzitních učitelů považuje produkci nových výsledků za základní věc; ve studentech, kteří nevykazují schop­nosti k výzkumné práci nebo alespoň mimořádnou zdatnost v osvojování tech­nik, vidí druh „vzdělávaného balastu", který je nezbytný jen k tomu, aby si roz­sáhlá vzdělávací instituce zachovala exis­tenci. Jestliže těmto učitelům řekneme, že by neměli působit pouze jako dodava­telé matematických technik, ale občas také jako kritici a intelektuální historici, budou mnozí překvapeni úplně stejně jako jejich kolegové ze základních a středních škol. Jestliže tohle všechno je v zásadě správ­né hodnocení stavu, pak je zřejmé, jak dosáhnout požadované nápravy. Univer­zity musí dbát, aby náhodně sestavená odborná příprava učitelů pro základní i střední školy byla nahrazena jejich pro­myšlenou přípravou, která na nejmenší míru sníží jejich obtíže s osvojováním technik a zdůrazní matematické otázky. Kromě toho by univerzity měly dbát, aby si všechny kategorie učitelů uvědomo­valy historické a kritické dimenze mate­matiky. A vůbec nejdůležitější je, aby univerzity dosáhly toho, že si všechny kategorie učitelů uvědomí, že konečným cílem vzdělávání je vychovat svobodné, tj. samostatné muže a ženy s láskou nebo alespoň s úctou k učení. Tolik k mému náčrtu změn. Není žádným tajemstvím, že nynější vyučování matematice je zřídka pokusem o hodnotnou komunikaci. Mnohem častěji je to proces, ve kterém „nadřízený" po­učuje „podřízeného". Nijak nepřispívá ke studentově samostatnosti, nevede k tomu, že by učitel a studenti společně kriticky posuzovali svou činnost. Studenti pracují podle příkazů, neusilují o hlubší porozu­mění látce. Jedním z nejzávažnějších proje­vů nízké psychologické kvality vyučova­cího procesu, jeho paralyzujícího poruč-nictví a předpisování je to, že jen málo studentů matematiky si v nižších ročnících osvojuje návyk používat z vlastní vůle jinou odbornou knihu než učebnici. Jsem snad tak naivní, abych si myslel, že můj návrh je kouzelným proutkem, který zažene všechno špatné a nastolí Šťastný věk vzdělání? Rozhodně ne. Ale je to dobrý plán; příprava učitelů podle vytyče­ných zásad je základním krokem ve správ­ném směru. Jsem si plně vědom, že i když se nám říká učitelé, jsme postaveni do situace, v níž zaskakujeme v roli regulátorů spole­čenského pohybu, jakýchsi strážců u zá­vor. Tragické na tom je, že mnozí z nás jsou pohlceni uvedeným aspektem své role, že máme sklon zapomínat na roli učitel­skou i na její základní a konečný cíl, o kterém jsme hovořili. Nikdy nesmíme tento prvotní cíl pustit ze zřetele. Prakticky to znamená, že musíme využít každou příležitost, jak rozvíjet chuť studentů učit se a učit je učit se samostatně. Rozhodující návyk, který jim musíme vštípit, je návyk číst kriticky. Závěrečná poznámka. Chtěli bychom, aby naši studenti byli dobří v matematice. 48 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 33 (1988), č. 1 Ale co když nejsou? Musí při naší péči potom skončit spise s pocitem ponížení než povznesení? Myslím si, že ne. Snažím se svým studentům jasně vysvět­lit, že navzdory svému nadšení pro mate­matiku hodnotím matematickou doved­nost právě jen jako dovednost. Říkám jim, že u lidské bytosti kladu na první místo její lidskost. Říkám jim, že když vidím někoho, kdo se potýká s nesnází, zvláště s matematickou nesnází, neobdivuji jeho nadání, ale mnohem více jeho vytrvalost a tvrdošíjnou trpělivost. Tyto kvality má­me, abychom je uplatňovali. Zbývá mi úkol, abych na příkladech ukázal, co rozumím vyučováním mate­matice, která je intelektuálně významná pro průměrně nadané posluchače. Popis svých příkladů chci uvést „programovou" poznámkou. Nutnou (i když rozhodně ne postačující) podmínkou pro to, aby vyučování mělo nějaký význam, je odstupňovat důraz; jest­liže je důležité všechno, není důležité nic. Někteří učitelé zdůrazňují logickou do­konalost matematiky, jiní její aplikace, další genetické faktory atd. Sám považuji genetický přístup za ústřední při probírání kterékoliv partie matematiky. Je důležité sledovat historický vývoj ideje nebo pojmu a věnovat se tomu, co by se dalo nazvat srovnávací matematikou. Nezáleží na tom, jak skromný je rozsah výkladu, vyučující však musí diskutované otázky umístit do historického a myšlenkového kontextu a zabývat se jejich významem. Přistupme nyní k příkladům. Příklad 1. Námětový kurs matematiky [1] Následuje stručný popis kursu, který jsem zavedl do programu nabídnutého katedrou matematiky na univerzitě v Yor­ku (Downsview, Ontario, Kanada) pře­devším pro doškolování učitelů. Tento kurs zahrnuje několik nezávislých témat, z nichž každé zkoumá významný matematický problém či ideu. Přestože výklad každého tématu zahrnuje popis historického vývoje důležitých idejí, nejde o kurs z historie matematiky. Je to spíše problémový kurs, který má účastníky přesvědčit, že matematika má smysl, že některé její problémy jsou hluboké a že vývoj některých jejích ideji je vzrušující kapitolou intelektuální historie. Kritériem pro výběr témat je jejich matematický a kulturní význam a jejich odborná přístupnost. Ačkoli se snažím dělat obsah přístupný, trvám na minimu odborných detailů, bez nichž by kurs mohl degenerovat na povrchní tlachání. Na druhé straně je v tomto kursu technická stránka pouze prostředkem, výsledkem je ocenění idejí a jejich významu. Ani témata ani jejich výklad nejsou pře­dem pevně stanoveny. Snažíme se studen­tům dodat odvahu, aby témata sami na­vrhovali a přednášeli. Písemné referáty, které studenti předkládají, nesmí být parafrázemi článků z encyklopedie, ale musí se zabývat každým tématem tak jak se probíralo v hodinách. Ve školním roce 1982—83 jsme zvolili tato větší témata: 1. Vývoj číselných oborů. (Diskuse zahr­novala srovnávání Eudoxova a Dede-kindova přínosu a úvahy o hlavních rozdílech v jejich hlediscích.) 2. Archimédova metoda. 3. Některé řecké konstrukční úlohy a je­jich moderní algebraická řešení. 4. Keplerovy zákony a Newtonův gravi­tační zákon. 5. Huyghensovy cykloidální hodiny. (By­la to jednoduchá ukázka síly diferen-Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 33 (1988), č. 1 49 ciálního počtu a významu pojmu křivost.) 6. Minima a maxima. (Od izoperimetrického problému k va­riačnímu počtu.) 7. Objev hyperbolické geometrie a jeho intelektuální důsledky. 8. Geometrie, různé druhy geometrií a Kleinův Erlangenský program. 9. Fourierovy řady — jejich zrod a vliv na matematiku. 10. Hilbertův třetí problém. (Nemožnost elementární teorie objemu.) 11. Neurčitost jako pokrok. (Poznámky inspirované některými Gódelovými pracemi.) Verze kursu pro rok 1984—85 obsahova­la některá z výše uvedených témat a navíc i tato: 1. Fibonacciho posloupnost. (Toío málo slibné téma umožnilo ilustrovat význam představy o vektorovém prostoru a pro­diskutovat vztahy lineární rekurence. Teorie vztahů lineární rekurence byla spojována s teorií lineárních diferen­ciálních rovnic s konstantními koefi­cienty a s teorií soustav lineárních rov­nic.) 2. Komplexní čísla, kvaterniony a oktávy. Algebry s dělením. (Historický a od­borný přehled.) 3. Izoperimetrický problém bez infinitezi­málního počtu a bez existenčních před­pokladů. 4. Diferenciální rovnice jako „přírodní zá­kony". Determinismus. (Zabývali jsme se pouze několika diferenciálními rov­nicemi. Ukázali jsme, že každá rovnice popisuje několik různých fyzikálních jevů.) 5. Diofantovské rovnice (spolu s poznám­kami o Mordellově domněnce a o jejím řešení Gerdem Faltingsem). 6. Metoda postupných aproximací. 7. Nekonečně malé veličiny od Leibnize po Robinsona. 8. Kuželosečky v řecké geometrii, v astro­nomii a v geometrii 19. století. Příklad 2. Ve Školním roce 1983 — 84 jsem před­nášel kurs dějin matematiky, který měl toto ústřední téma: Řecké kořeny infini­tezimálního počtu a geometrie a jejich další vývoj. (Posluchači kursu byli učitelé z praxe. Část kursu zabývající se infini­tezimálním počtem se opírala o knihu C. H. Edwardse Historický vývoj infinite­zimálního počtu.) V kursu se diskutovalo o těchto hlav­ních tématech: 1. Kořeny vyšší matematiky v pracích Archiméda a Eudoxa. 2. Filozofické pokračování ve 14. století. (Oresne aj.) 3. Technické pokračování [ve smyslu metod výpočtů] v 17. století (Cavalieri, Descartes, Fermat aj.) 4. Vytvoření aparátu infinitezimálního počtu Newtonem a Leibnizem; kri­tické srovnání přístupů Newtona a Leibnize k infinitezimálnímu počtu. 5. Newtonova role v objevení diferen­ciálních rovnic jako jádra infinitezi­málního počtu a v růstu matematické fyziky. Determinismus. 6. Nekonečně malé veličiny od Leibnize k Robinsonovi. 7. Fourierovy řady a jejich vliv na mate­matiku: a) vliv na pojem funkce, b) vliv na pojem integrálu, c) vliv na matematickou fyziku a na další obory. 8. Přínosy Cauchyho, Riemanna, Weier-strasse a Lebesguea k vývoji ústředních pojmů infinitezimálního počtu. 50 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 33 (1988), č. 1 9. Eudoxos a Dedekind. Aritmetizace analýzy. 10. Axiomatická metoda. Eukleidovská geometrie a geometrie v 19. století. Příklad 3. Kurs geometrie Ve školním roce 1983 — 84 jsem vedl kurs geometrie, který lze popsat jako úvod do Kleinových geometrických idejí a jako diskusi o objevu hyperbolické geometrie a o jeho revolučním vlivu na matematické myšlení. Tento materiál považuji za velice vhodný k dosažení onoho tajemného ved­lejšího účinku, který je znám jako „mate­matická zralost". (Grupy se rodí spolu s invarianty. Dějiny se stávají spíše dějina­mi idejí než kronikou [= časovým sledem] stejně bezvýznamných událostí.) Materiá­ly, které jsem používal, zahrnovaly Švý­carský středoškolský text [2] o geometrii transformací (úplně rozebraný), nástin dějin axiómu rovnoběžnosti a objevu hyperbolické geometrie [3], úvahu o vý­znamu objevu hyperbolické geometrie [4] a důkaz bezespornosti axiómů rovinné hyperbolické geoemtrie (Poincarého mo­del) podaný v [5]. Doufám, že mé příklady ilustrují, co rozumím vyučováním intelektuálně zá­važné matematiky. Nyní vyslovím závěrečnou obžalobu a výzvu. Rozčiluje mne, že snaha učit takovouto matematiku je dosud okrajová a jakoby podezřelá činnost, kterou vykonávají izo­lovaní jedinci, velice omezovaní nedostat­kem podpory a malým množstvím ma­teriálů, jež by byly odborně přístupné a intelektuálně ne zcela triviální. V tuto chvíli se zdá být až na hranici dosažitel­nosti i samotný záměr vytvořit osnovy integrované a intelektuálně ne zcela tri­viální matematiky na univerzitní úrovni. Zatímco dlouhodobým cílem zůstává to, co můžeme nazvat intelektualizace uči­telské přípravy jako klíč k matematicky významnému vzdělávání všech studentů; bezprostředním cílem by mělo být získat podporu univerzit pro rozsáhlé experi­menty, které by zahrnovaly kursy a osnovy s významnou kritickou a historickou složkou. To znamená, že ti, kdo učí mate­matiku, se nesmějí sami považovat buď výhradně za matematiky ovládající mate­matickou techniku nebo výhradně za historiky a filozofy matematiky, ale raději za matematiky s historickými a filozofic­kými zájmy, kteří by rádi viděli, aby vyučování matematice bylo na všech úrovních prostoupené těmito zájmy. Literatura a poznámky [1] Podrobnější popis kursu a výčtu témat byl otištěn v německém časopise Der Mathe-matikunterricht, vol. 30, sešit 2/1984, vydá­vaném nakladatelstvím Verlag Friedrich Velber, 30016 Seelze 6, NSR. O anglickou verzi si napište autorovi. [2] JEGER, M.: Transformation geometry. Allen & Unwin Ltd., 1966. [3] KELLEY & MATTHEWS: The non-Euclidean hyperbolic plane. Springer Verlag. Jde o úvod ke knize. [4] GUILLEN: Bridges to infinity. J. P.Tarcher, Inc., pp. 105-115. [5] MOISE: Elementary geometry from an ad-vanced viewpoint. Addison Wesley, 1963, ch. 25. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 33 (1988), č. 1 51 

http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/139594/PokrokyMFA_33-1988-1_7.pdf

Some thoughts on the teaching of mathematics

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Czech digital mathematics library

Institute of Mathematics AS CR, v. v. i.