Poisson-Dirichletova razdioba

Abstract

Ovaj diplomski rad bavi se Poisson - Dirichletovom razdiobom te njenim glavnim teorijskim svojstvima. Pojednostavljeno, možemo reći da se Poisson - Dirichlet razdioba dobije kao granična razdioba Dirichletove razdiobe, odnosno, grubo govoreći, uređajne statistike slučajnih vektora sa Dirichletovom razdiobom $\textit{D}(\alpha_{1}, . . . , \alpha_{n})$ teže prema Poisson - Dirichletovoj razdiobi kada $n \to \infty$ i $\sum_{k=1}^{n} \alpha_{n} \to \lambda$. Nadalje, u radu su prezentirane i formule za granične razdiobe: formule za distribuciju i zajedničku gustoću prvih $r$ komponenti slučajnog vektora ($\xi_{1}, \xi_{2}, . . . ) \sim \textit{P D}(\lambda)$. Rad smo zaključili sa jednim poznatim rezultatom, uključujući i izvod. Riječ je o Ewensovoj formuli uzorkovanja koja se koristi za opis ravnotežne distribucije određenih difuzijskih modela u populacijskoj genetici (Za detalje v. [1]). U radu su također prezentirani osnovni pojmovi potrebni za razumijevanje središnjeg djela rada. Uveli smo definiciju Poissonovog procesa te iskaze i dokaze određenih teorema relevantnih za naša razmatranja. Također smo uveli pojam subordinatora koji je definiran kao monoton slučajni proces sa nezavisnim i stacionarnim prirastima, i naveli smo jedan poseban primjer subordinatora poznatiji pod imenom Moranov subordinator, koji ima važnu ulogu u konstrukciji Poisson - Dirichletovog procesa