Izračunljivost na skupovima Z, Q, R i C

Abstract

Rad je logički podijeljen u dva poglavlja. Prvo poglavlje "Prebrojiva izračunljivost" počinje osnovnim konceptima i pojmovima vezanima uz izračunljivost na $\mathbb{N}$. Koristeći te pojmove i koncepte, uvode se analogni pojmovi za prebrojive nadskupove od $\mathbb{N}$ i detaljno dokazuje izračunljivost određenih funkcija. Govori se o pojmu dimenzije skupa i prikazu nadskupova od $\mathbb{N}$ pomoću prirodnih brojeva. Glavni rezultat poglavlja predstavlja dokaz izračunljivoga analogona teorema o dijeljenju s ostatkom. Drugo poglavlje "Neprebrojiva izračunljivost" detaljno pokriva temelje izračunljivosti na $\mathbb{R}$ i jedan primjer izračunljivosti na $\mathbb{C}$. Značajna razlika u odnosu na prethodno poglavlje leži u prikazu realnoga broja, što donosi velik zaokret u pristupu problemu izračunljivosti. Međutim, obilato se koriste pojmovi iz prethodnoga poglavlja i time se ova dva različito motivirana pristupa stapaju u koherentnu cjelinu. Glavni rezultat cijeloga rada dokaz je izračunljivosti rješenja kvadratne jednadžbe. Budući da je rad napisan u formi skripte, mogao bi poslužiti u slučaju pojave (izbornih) kolegija vezanih uz ovu temu.This thesis is logically divided into two chapters. The first chapter ”Countable computability” starts with basic concepts and terms associated with computability on $\mathbb{N}$. Using these concepts and terms, there are introduced analogous terms for countable supersets of $\mathbb{N}$ and detail proven the computability of certain functions. It is spoken about the term of set dimension and the representation of supersets of $\mathbb{N}$ using the natural numbers. The main result of the chapter is the proof of computable analogue of the reminder theorem. The second chapter ”Uncountable computability” covers the foundations of computability on $\mathbb{R}$ and one example of computability on $\mathbb{C}$ in detail. The significant difference in comparison to the previous chapter lies in representation of the real number, which brings a big turnaround in the approach to the problem of computability. However, terms from discrete case are used profusely and in that way these two differently motivated approaches are merged into a coherent unit. The main result of the whole thesis is the proof of computability of quadratic equation’s solutions. Since the thesis is written in the form of scripts, it could be used in the case of appearance of (elective) courses associated with this topic