Takehana, Yasuhiko

Japanese

Okayama University Scientific Achievement Repository

氏 名授 与 した 学 位専攻分野の名称学 位 授 与 番 号学位授与の 日付学位授与の要件学位論文の題 目論 文 審 査 委 員竹花 靖彦博 士理 学博乙第4346号平成 22年 9月30日博士の学位論文提出者(学位規則第5条第2項該当)Torsion也eoriesand血eirapplications(振れ理論とその応用)教授 池畑 秀一 教授 吉野 雄二 教授 山田 裕史学位論文内容の要旨序 1966年にデイクソンがア-ベル圏における振れ理論を発表して以来振れ理論は様々な分野で活用されている0本論文は4章に分かれて振れ理論を考察し､さらにその効果的応用を述べる｡第 1章では Weaklydivsible加群が divsibleとなる寡等 preradicaltを調べ次の同値条件(1)(2)を得たo(1)任意の加群 M 対しM/(Mnt(E(M))はt-torsionのfactor加群を持たない｡(2) tは短完全列の中央の項が入射加群のときに右完全性を保存するO第 2章では遺伝的振れ加群でJacobson根基が零になる環をV(J )-ringと呼び次の特徴づけ(1)(2)を得た｡(1)任意の振れ単純左加群は涙れ入射的である｡(2)桐密な左イデアルは極大左イデアルの共通部分である.GoldieとLambekの振れ理論を用いてそれぞれV(L)-RingとV(G)-Ringと名付けると次の(3)(4)(5)を得た｡(3)Rは左V-Ring⇔ Rは左V(G)-Ringかつ左極小イデアルは入射的であるo(4)Rは右左V-Ring◇ Rは右左V(L)-RingかつZ(R R)-Z(RR)-0かつ右左極小イデアルは入射的であるO(5)可換V(G)-RingはVIRing即ちフォンノイマン正則環である｡第 3章ではO-QF-3-加群 M(即ち振れ左入射包絡Eq(M)⊂IM である)の性質を調べるO加群 N,M に対してkN(M)をnker(f)(f∈HomR(M,N))とする｡短完全列の最後の項がO-torsionのとき左完全性を保存すればpreradicaltはO-Le氏exactであると言う｡定理 幕等根基Oに関して(1)から(4)まではは同値であり(1)ならば(5)から(8)までが成り立つ｡0が1eRexactでAがO-torsionならば全ては同値 になるo(1)Eq(A)⊂ rL4 (2)kA(E.(A))=0(3)kA(-)=kEq,A,(- ) (4)kA(-)は O -Le氏 exactである(5)0ぅNうMぅLう0でLがO-torsionでHomR(f,A)=0ならばHomR(N,A)=0が成り立っO(6)加群M とその部分/加群 Nに対し(i)HomR(M,A)=0でMルー がO-torsionのときHomR(N,A)=0となるo(i)N⊂ Iu ,M爪⊂ Iu でM爪 がo･torsionのときM⊂ Iu となる.(7)M⊂ rL4ならEd(M)⊂rL4となる｡(8)N⊂ Iu ,NはMの本質的部分加群でM伽 がo_torsionならばM⊂ Iu である｡第4章では完全環を仮定Loが幕等根基のときCQF-31加群M(即ちo射影被葎Pq(M)がMで生成される)の性質を調べるO加群Mに対しEA(M)=∑Imf(f∈HomR(A,M))で定義するo短完全列の最初の項がO-torsioinaeeのときにtが右完全性を保存すればtがOやpipreservingと言うC定理 Oは全射保存幕等根基でCT(A)=0のとき次の条件は同値であるO(1)AはO-CQF-3･加群であるO(2)tA(Pd(A))=Pq(A)(3)tA仁)=tR,(A)(-) (4)tA(-)はO-epipreservingであるO(5)(a)NがAで生成され､MJNもAで生成されC'(N)=0であるならM もAで生成されるO(b)HomR(A,M)-0でJ(N)=0であるならHomR(A,M伽)-0となるO(6)MがAで生成されるならPq(M )も A で生成されるo(7)CT(N)-0で N は M の smalな部分加群で M伽 が A で生成されるなら M も A で生成されるo(8)MぅM/Nぅ0でCT(N)=0とする｡HomR(A,り-0ならばHomR(A,M/N)-0となる｡′論文審査結果の要旨本論文は四つの章にわたって,振れ理論とその応用について述べている｡最初の章では弱可除加群が可除加群になる条件を求め,振れ理論に付随する幕等根基が,中央項が入射的である短完全列の全射を保持するものであることを示した｡そしてこの性質を持つ非常に簡単な前根基を見出した｡環の移入包絡の振れ部分が環自身を含む場合である｡この場合入射加群が全て振れ元になる特徴を持つ｡その双対として中央項が射影的である短完全列の左完全性を保つ前根基について調べ左完全関手の拡張について考察した｡2章ではV-ringとネ一夕-V-ringの振れ理論的拡張について考察したoGoldieとLambekの振れ理論を用いてV-ringの拡張であるV(G)-ring,V(L)-ringを構成して,興味深い同値条件を得た｡また可換V(G)-ringはV-ringになるという結果も得た｡3章ではQF137加群の拡張を試みその性質を詳しく調べ,倉田･片山の定理の拡張を得たO応用として極大商環がtorsionlessである環の特徴付けと性質を見出した.政池の極大商環の有限生成部分加群がtorsionlessな環との関連性もあり興味深い｡またQF-3171]群の性質を調べることによりo入射的な加群に付随する性質を新たに二つ発見したO-一つは最終項が O -torsionである短完全列の左完全性を保持するo左完全前根基である｡二つ目はtが前根基のときT(t):-iM:t(M)-M)がO-denseな部分加群で閉じているという性質である｡Oが左完全根基でtが幕等根基のとき良く知られた定理の拡張が得られ上の三つの性質が結びつく事実,すなわちF(t)-iM:t(M)-0)がo移入包給で閉じているという性質が得られるoQF-31加群は森田双対の拡張に重要な役割を果たしているので更なる発展が期待される04章ではMbuntumとVaradarajanのCQF-3-加群の拡張を試みその性質を完全環において考察した｡CqF-3'加群は森田同値の拡張に重要な役割を果たしており,その関連での発展が期待されるOまた3章で得られた事柄の双対としてtが幕等根基でOが全射保持関手のときtがo全射保持幕等根基なる概念が得られ,F(t)がO-factorで閉じていることと,T(t)がo射影被覆で閉じていることが同値な条件であることを示した｡本論文内容について審査した結果,この研究は学術上寄与するところが少なくない｡よって本論文は,博士の学位論文に値するものと認める｡

捩れ理論とその応用

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