Contribution à la topologie III

Inagaki, Takeshi

research

Contribution à la topologie III

Authors: Takeshi Inagaki
Publication date: 1 March 1952
Publisher: Department of Mathematics, Faculty of Science, Okayama University
Doi

Abstract

On croit en général que la théorie topologique dans un espace se développe en relation avec la propriété topologique de l'espace considéré. Cependant, si l'on envisage les notions utilisées pour établir la théorie, on voit sans peine qu'il y a deux espéces de notions, c.-á-d. que les unes sont en relations intimes avec la topologie de l'espace et les autres, presque indépendantes de la topologie de l'espace. Par exemple, la notion d'un ensemble fermé est bien définie en relation intime avec la topologie de l'espace considéré et la notion de l'ensemble mesurable ß se rapporte certainement á la puissance ℵ0 , mais il sera plus naturel de dire qu'elle est presque indépendante de la topologie de l'espace. Pour mettre en lumière ce que nous avons rapporté plus haut, nous montrons un exemple. Si l'on regard l'ensemble dit homogenen Normaltypus ηξ comme un espace dans lequel, comme toujours, les voisinages d'un point x sont d'intervalles ouverts contenant le point x, alors, comme on le voit sans peine, la SQ1nme de nombre dénombrable d'ensembles fermés l'est également; par conséquent, dans cet espace la notion de l'ensemble Fσ au sens usuel n'a aucun sens essentiel, et on voit que dans cet espace l'ensemble correspondant à l'ensemble Fσ doit être défini comme une somme de la puissance ℵξ d'ensembles fermés. Originellement, la topologie prend sa source à la notion de la. limite et il me semble donc qu'il est naturel de développer sa théorie en relation avec la structure de la limite dans l'espace que nous avons en question. Soient R un espace υ introduit par M. Fréchet et χ un point de· R. Alors, il y a plusieurs familles de voisinages du point χ telles qu'elles sont équivalentes deux à deux, et de plus il y a une famille telle que sa puissance est la plus petite parmi celles de toutes les familles. Désignons respectivement par {V(χ)} et ℵ(χ), la famille et sa puissance. Cela posé, si un système ordonné de points {χχ} converge vers le point χ, alors, comme on le sait, on peut convenablement extraire un système {χv(χ)}, se composant de points de {χχ} et ordonné suivant l'ordre de l'ensemble {V(χ)} de leurs suffixes, tel qu'il converge vers le point χ; ce qui Inontre que la convergence vers le point x peut être écrite par le mot de la convergence d'un système ordonné de la puissance ℵξ(χ). Par conséquent, si la puissance ℵξ(χ) est indépendante du point x de l'espace considéré, nous pouvons écrire la topologie dans l'espace par le mot de la conver, gence d'un système ordonné de la puissance ℵξ. Ainsi, on peut dire que l'espace jouit en un sens de la structure uniforme par rapport à la limite. De plus, quoiqu'un espace considéré R ne soit pas à structure uniforlne en ce sens enoncé plus haut, s'il est quantitatif, la puissance d'ensemble de suffixes de voisinages est indépendante de points de l'espace et, par suite, on peut considérer que l'espace est à structure unifonne par rapport à la lilnite. Ainsi, il sera naturel que, dans l'espace quantitatif, la notion ayant des relations avec une puissance doit être définie en relation avec la puissance de 1'ensemble des suffixes, et, en effet, on pourra voir dans § 5 que la puissance joura un rôle important dans tel espace. Dans ce travail, nous traitons principalement pour abréger les espaces quantitatifs dans lesquels chaque voisinage est ouvert. Le premier objet de cet article est d'excepter des notions ayant des relations avec la puissance ℵ0 dans le sens conventionnel, et le deuxième, de démontrer un traitement naturel sur quelques affaires fondaInentales dans la topologie. Nous traiterons les espaces quantitatifs dans § 5 et les espaces à structure uniforme dans § 6.</p