Este material incluye los siguientes temas: ondas estacionarias, ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos, modos normales de vibracion,This material includes the following subjects: stationary waves, stationary waves on a string, normal modes of vibratio

Jimenez-Carballo, Carlos Adrian

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Repositorio Institucional del Instituto Tecnologico de Costa Rica

ONDAS ESTACIONARIASFís. Carlos Adrián Jiménez CarballoEscuela de FísicaInstituto Tecnológico de Costa Rica1 / 20ObjetivosAl finalizar esta sección el estudiante deberá ser capaz de• Identificar que es una onda viajera.• Identificar que es una onda estacionaria.• Identificar las principales características físicas de las ondas estacionarias.• Interpretar la ecuación de las ondas estacionarias.• Extraer información de gráficos de posición, velocidad transversal yaceleración transversal en función del tiempo de ondas estacionarias.• Construir gráficas de posición, velocidad y aceleración en función deltiempo de ondas estacionarias2 / 20Conocimientos previosPara esta sección los estudiantes deben tener conocimientos previos en• Matemática básica.• Cálculo diferencial, principalmente los conceptos de derivada e integral• Física general, principalmente los conceptos de mecánica clásica, comopor ejemplo las leyes de newton, los conceptos de posición, distancia,velocidad y aceleración, las definiciones de energía cinética, energíapotencial y energía mecánica.3 / 20ContenidoOndas estacionariasOndas estacionarias en una cuerda con sus dos extremos fijosFrecuencias naturales y modos normales4 / 20ContenidoOndas estacionariasOndas estacionarias en una cuerda con sus dos extremos fijosFrecuencias naturales y modos normales5 / 20Ondas EstacionariasLas ondas estacionarias se producen por la interferencia de dosondas de la misma naturaleza con iguales características físicaspero que viajan en direcciones opuestas o dicho de otra formason el resultado de la superposición de una onda incidente y unaonda reflejada. Las ondas estacionarias son aquellas ondas en lascuales, ciertos puntos de la onda llamados nodos, permaneceninmóviles.6 / 20Onda viajera 1Considere una onda viajera que se desplaza en la dirección +x conamplitud A, frecuencia angular ω y número de onda k.y1 (x , t) = A cos (kx − ωt + φ) .Figura: Onda viajera 1.7 / 20Dos ondas viajerasConsidere dos ondas viajeras y1 (x , t) y y1 (x , t) con las mismaspropiedades físicas pero que viajan en direcciones opuestas.y1 (x , t) = A cos (kx − ωt + φ)y2 (x , t)= −A cos (kx + ωt + φ) .Figura: Onda viajera 1 y onda viajera 2.8 / 20Ondas estacionariasLa interferencia y la superposición de las dos ondas viajerasgeneran la onda estacionaria.y (x , t)= y1 (x , t) + y2 (x , t)= 2A sin (kx + φ) sin (ωt) .Figura: Onda estacionaria.9 / 20Nodos y antinodos en una onda estacionariaLos puntos llamados nodos sonaquellos que nunca se mueven ydonde la amplitud de la ondaestacionaria siempre es ceroA la mitad del camino entre los nodoshay puntos llamados antinodos dondela amplitud de movimiento es máximapara ciertos tiempos.antinodosnodosDos nodos adyacentes están separados una distancia λ/2, lo mismo que dosantinodos adyacentes.10 / 20ContenidoOndas estacionariasOndas estacionarias en una cuerda con sus dos extremos fijosFrecuencias naturales y modos normales11 / 20Relación entre la longitud de onday la longitud de la cuerdaConsidere la ecuación de una onda estacionariay (x , t) = 2A sin (kx + φ) sin (ωt) .Si ambos extremos de una cuerda con longitud L están fijos esto significa quex = 0 y x = L se satisfacey (x = 0, t) =0y (x = L, t) =0lo cual nos lleva a que en una cuerda con sus dos extremos fijos sólo puedehaber ondas estacionarias si L es un múltiplo entero de λ/2.L = nλn/2 (n = 1, 2, 3...)12 / 20ContenidoOndas estacionariasOndas estacionarias en una cuerda con sus dos extremos fijosFrecuencias naturales y modos normales13 / 20Modos NormalesA la serie de posibles longitudes de onda estacionaria λn corresponde una seriede posibles frecuencias fn, la cuales se pueden relacionar mediante la definiciónde velocidad de propagación, esto es v = λnfn. Las frecuencias con las que seproducen las ondas estacionarias se denominan frecuencia naturales ofrecuencias resonantes o armónicos.Los patrones resultantes de ondas estacionarias se conocen como modosnormales. El modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el cualtodas las partículas se mueven sinusoidalmente con la misma frecuencia.14 / 20Frecuencias naturales en una cuerdaLa frecuencia más pequeña f1 corresponde a la longitud de onda más grande.Para el caso de una cuerda con sus dos extremos fijos dicha frecuencia serelaciona con la longitud de la cuerda de la siguiente formaf1 =v2L .dicha frecuencia se conoce como frecuencia fundamental.Las otras frecuencias de onda estacionaria son f2 = 2v/2L, f3 = 3v/2L, etc.Todas éstas son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental f1, como 2f1,4f1, 4f1, y así sucesivamente, y podemos expresar todas las frecuenciasnaturales como:fn =nv2L15 / 20Modo fundamental y segundo modo normalλ/2Lλ1 = 2Lλ/2Lλ2 = L16 / 20Tercero y cuarto modo normalλ/2Lλ3 = 2L3λ/2Lλ4 = L217 / 20Fórmulas ondas mecánicas primer examen parcialy (x , t) = A cos (kx ± ωt + φ) ∂2y∂x2 =1v2∂2y∂t2 µ =ml v =√FµPmed = 12√µFω2A2 v = f λ v = ωk k =2piλy (x , t) = ASw sin (kx) sin (ωt) Asw = 2A fn = nf1 λn = 2LnTodas las fórmulas que no aparecen aquí deben serdemostradas en el examen18 / 20Bibliografía• Sears, F.W., Zemansky, M.W., Young, H.D., Freedman, R.A. (2013).Física Universitaria. Volumen I. Décimo tercera edición. México: PearsonEducation.• Resnick, R., Halliday, D., Krane, K. (2013). Física. Volumen I. Quintaedición. México: Grupo Editorial Patria.• Serway, R.A. y Jewett, J.W. (2008). Física Para Ciencias e Ingeniería.Volumen I. Sétima edición. México: Cengage Learning Editores S.A. deC.V.• Wilson, J.D., Buffa, A.J. y Lou, B. (2007). Física. Sexta edición. México:Pearson educación.19 / 20CréditosVicerrectoría de DocenciaCEDA - TEC DigitalProyecto de Virtualización 2016-2017Física General IIIFís. Carlos Adrián Jiménez Carballo (profesor)Ing. Paula Morales Rodríguez (coordinadora de diseño)Andrés Salazar Trejos (Asistente)20 / 20

Ondas estacionarias

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