En el estudio de la mezcla contra-direccional de dos ondas en medios fotorrefractivos, Pochi Yeh presentó una solución analítica para la aproximación pequeña atenuación del medio; esta restricción hace simple obtener la solución de las ecuaciones no linelaes resultantes. Para esta misma situación de mezcla de dos ondas en régimen contra direccional, obtenemos una solución analítica exacta sin restriccciones de atenuación.In studies on the contra-directional tow-wave mixing in media photorefractive, Pochi Yeh, presented a solution to approximate «small attenuation media»; this restriction is made easier in getting the solution of the resulting non-linear equations. For this same situation of contra-directional two-wave mixing, an exact analytical solution was gotten of unrestricted attenuation

Mendoza Herrera, Luis Joaquín

Rueda Parada, Jorge Enrique

Undetermined

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See	discussions,	stats,	and	author	profiles	for	this	publication	at:	https://www.researchgate.net/publication/26544567Solución	Exacta	de	la	Configuración	MezclaContra-Direccional	de	Dos	Ondas	en	un	MaterialFotorrefractivoArticle	·	January	2007Source:	DOAJCITATIONS0READS212	authors,	including:Jorge	Enrique	RuedaUniversidad	de	Pamplona22	PUBLICATIONS			9	CITATIONS			SEE	PROFILEAll	content	following	this	page	was	uploaded	by	Jorge	Enrique	Rueda	on	01	October	2014.The	user	has	requested	enhancement	of	the	downloaded	file.	All	in-text	references	underlined	in	blueare	linked	to	publications	on	ResearchGate,	letting	you	access	and	read	them	immediately.          Facultad de Ciencias Básicas  Universidad de Pamplona116                                                                      ISSN 0120-4211BISTUA VOL 5 No. 2JULIO-DICIEMBRE 2007Solución Exacta de la Configuración Mezcla Contra-Direccional de Dos Ondas en un MaterialFotorrefractivoRueda P. J. E., Mendoza L. J.Facultad de Ciencias Básicas,Grupo Óptica Moderna, Universidad de Pamplona,jruedap2003@unipamplona.edu.coABSTRACTIn studies on the contra-directional tow-wave mixing in media photorefractive, PochiYeh, presented a solution to approximate «small attenuation media»; this restrictionis made easier in getting the solution of the resulting non-linear equations. For thissame situation of contra-directional two-wave mixing, an exact analytical solutionwas gotten of unrestricted attenuation.KEYWORDSPhotorefractive Effect, Contra-Directional Wave Mixing, Kukhtarev´s Equations.RESUMENEn el estudio de la mezcla contra-direccional de dos ondas en mediosfotorrefractivos, Pochi Yeh presentó una solución analítica para la aproximación“pequeña atenuación del medio”; esta restricción hace “simple” obtener la soluciónde las ecuaciones no lineales resultantes. Para esta misma situación de mezclade dos ondas en régimen contra direccional, obtenemos una solución analítica exactasin restricciones de atenuación.PALABRAS CLAVESEfecto Fotorrefractivo, Mezcla de Ondas, Ecuaciones de KutarevINTRODUCCIÓNEn óptica lineal el índice de refracción dependede la frecuencia de la luz; luego, sólo en estecaso, se considera que la reflexión y refracciónson independientes de la intensidad del hazde luz. La óptica no lineal estudia la interacciónde la luz y la materia, cuando el materialresponde no linealmente a la amplitud delcampo eléctrico de la misma luz; así, el índicede refracción del medio se puede controlar conla iluminación de un haz de luz; en otraspalabras, la propagación de un haz de luz sepuede manipular con luz; ello condujo a BISTUA VOL 5 No. 2     Pag 116 -122ISSN 0120-4211Facultad de Ciencias Básicas  Universidad de Pamplona 117BISTUA VOL 5 No. 2JULIO-DICIEMBRE 2007acopladores, multiplexado de información,modulares óptico-electrónicos, metrologíaóptica de alta resolución y correladoresópticos, entre otras aplicaciones.La técnica holográfica fotorrefractiva considerados posibles configuraciones: geometría detransmisión o co-direccional y geometría dereflexión o contra-direccional. En la primeraambos haces inciden por la misma cara delcristal fotorrefractivo, mientras que en elsegundo caso, cada haz incide por una de lascaras opuestas del cristal.La mayor parte de los estudios de la mezclade dos ondas están encaminados a la mezclaco-direccional;  con respecto a los estudiosde mezcla de dos ondas en el caso contradireccional, Pochi Yeh presenta en su trabajoun resultado de solución analítica, restringidaa la condición de absorción nula, y un resultadonumérico bajo la condición de muy bajaabsorción del medio [3]; bajo esta condicióndel medio, es cómodo resolver analíticamenteel sistema de ecuaciones acopladas.En este trabajo, presentamos una soluciónanalítica exacta de la mezcla de dos ondascontra-direccionales, considerando el casogeneral de cualquier valor de absorción delmaterial; a partir de estas expresionesgenerales encontramos los casos deabsorción baja y  nula resueltos por Pochi Yeh.MODELO DE KUKHTAREV-VINETSKIICuando se produce la transición de electronespor acción de la luz que incide en el mediofotorrefractivo, se desplazan portadoresdonores a la banda de conducción con unaprobabilidad , entonces losdonores ionizados son capturados porportadores con una probabilidad , donde es la sección eficaz de fotoionización,  esla rata de generación térmica,  es laconstante de recombinación,  es laconcentración de portadores y  es laconcentración de donores ionizados.establecer una gran variedad de innovacióntecnológica basada en control de luz con luz.El efecto fotorrefractivo es un fenómeno ópticono lineal [1-8]; sin embargo, los fenómenos nolineales por efecto fotorrefractivo no soncausados directamente por el campo eléctricode la luz que perturba el material, como sisucede en los materiales no lineales puros;esta especial característica de los materialesfotorrefractivos permite generar efectos deorden superior con intensidades de la radiaciónelectromagnética igual o inferior a 1mW/cm2.El efecto fotorrefractivo se define como elcambio local del índice de refracción, que seproduce por la variación espacial de laintensidad de la luz en el interior del material.En términos microscópicos, esta radiaciónelectromagnética espacialmente nohomogénea, provoca transiciones electrónicashacia la banda de conducción. Así, se crea unadistribución de carga espacial y por ende uncampo de carga espacial. Tal campo induceentonces un cambio local de índice derefracción, modulado por efecto Pockels. Deesta forma, es posible utilizar estos materialescomo memorias ópticas, que permitenregistrar-borrar-registrar y/o fijar la información.Los materiales Bi12SiO20 (BSO), Bi12GeO20(BGO) y Bi12TiO20 (BTO) presentanfotorrefractividad y son apropiados paraholografía en tiempo real, entre otrasaplicaciones, usando radiación de intensidadrelativamente baja (1mW/cm2). En el registrode un holograma fotorrefractivo puede ocurriracoplamiento energético entre los haces queinciden al medio y los generados en él; estacondición experimental se conoce comomezcla de ondas.Acoplar haces ópticos ha permitido eldesarrollo de aplicaciones en ópticacomputacional, almacenamiento deinformación, procesado de imágenes, redesneuronales, generación de armónicos, auto-enfoque, amplificación óptica, conjugación defase, síntesis óptica de circuitos lógicos,          Facultad de Ciencias Básicas  Universidad de Pamplona118                                                                      ISSN 0120-4211BISTUA VOL 5 No. 2JULIO-DICIEMBRE 2007El campo de carga espacial  generadocomo consecuencia de la migración deelectrones, se obtiene del siguiente sistemade ecuaciones, denominadas ecuaciones delmaterial:   (1)(2)(3)(4)Donde,  es la concentración de portadores, el índice de refracción,  la carga del electrón, la constante de Boltzmann,  la corrientefotovoltaica,  la constante fotovoltaica,  elcampo de carga espacial,  el campo eléctricode la luz incidente,  la concentración deaceptores y  es un vector unitario en ladirección del eje óptico del cristal. La Ec.(1)es la ecuación de continuidad, la Ec.(2) laecuación de generación y recombinación decarga, la Ec.(3) la densidad de corriente y laEc.(4) la generación de la densidad de carga.MODELACION ANALITICA DE LAMEZCLA CONTRA-DIRECCIONAL DEDOS ONDASFigura 1. Esquema de mezcla contra-direccionalde dos ondasEn el esquema de la Fig.1,  y  representanlas amplitudes de las dos ondas ópticas queinteractúan en interior del cristal;  es el vectorde la red de volumen generada. Si  es lafrecuencia de las dos ondas incidentes en elmedio fotorrefractivo, entonces el campoeléctrico resultante se puede escribir como: ,    (5)donde  y  , son los vectores de onda y  y ,son las amplitudes de las dos ondas,respectivamente; el caso de considerarmezcla de ondas de igual frecuencia, seconoce como régimen degenerado.La distribución de intensidad para el campodado por la Ec.(5) tiene la siguiente forma:    (6)donde   es el vector de onda del patrón dadopor la Ec.(6). Introduciendo está intensidad enlas ecuaciones de Kukhtarev-Vinetskii, seobtiene el campo de carga espacial,    (7)Donde , con , c.c es el término complejoconjugado.Como consecuencia de la presencia delcampo de carga espacial, se produce unavariación en el índice de refracción de la forma ; donde  es el coeficienteelectroóptico del cristal y   es el valor delíndice de refracción en zonas del cristal noiluminadas.Debido a que el índice de refracción estádefinido como el índice de refracción enausencia de luz, más la variación causada porISSN 0120-4211Facultad de Ciencias Básicas  Universidad de Pamplona 119BISTUA VOL 5 No. 2JULIO-DICIEMBRE 2007el campo de carga espacial, este se puedeescribir como:  (8)Donde  , y donde la fase  indicael desfase entre la red de índices respecto alpatrón de interferencia de la luz generado porla superposición entre los dos hacesincidentes, patrón dado por la Ec.(6)Para estudiar el acoplamiento entre los haces,se introduce el índice de refracción, y el campoeléctrico de la radiación incidente enlaecuación de onda:  (9)Después de realizar los procedimientosnecesarios se llega al conjunto de ecuacionessimplificadas:(10)(11)donde se ha tomado.El conjunto de Ecs.(10)-(11) se puedesimplificar con el cambio de variables y , donde  y son las fases de las amplitudes complejas y . Así, las ecuaciones acopladas se puedenescribir de la forma:(12) (13)y(14), 15)Donde    y .RESULTADOS: SOLUCIONANALITICA DE LAS ECUACIONESACOPLADAS Y CASOSPARTICULARESSolucionando este sistema de ecuaciones nolineales acopladas, que podemos hacerlo deforma numérica o analítica, se obtiene ladefinición sobre el comportamiento de lasintensidades de cada uno de las ondasincidentes, en función del espesor del materialatravesado por las ondas que interactúan enél.  La solución analítica que proponemos seobtiene mediante varias consideracionesalgebraicos, que inicia con la aplicación delmétodo de reducción a las Ecs.(12)-(13), y queconduce al siguiente resultado:(16)(17)Donde las constantes  y  se obtienenaplicando las condiciones iníciales  e, así, se obtiene:(18)(19)Si aplicamos la operación diferencia entre laEc.(18) y la Ec.(19), y al resultado el operadorintegral, podemos obtener la fase relativa entrelos dos haces, esto es:.          Facultad de Ciencias Básicas  Universidad de Pamplona120                                                                      ISSN 0120-4211BISTUA VOL 5 No. 2JULIO-DICIEMBRE 2007Es también importante definir expresionespara establecer la ganancia energética de cadahaz a la salida del cristal, factor que sedenomina transmitancia óptica, y , así,podemos llevar las Ecs.(18)-(19) a la forma: (20)     (21)donde  es la relación entre lasintensidades de las ondas incidentes. Deestas expresiones generales Ecs.(20)-(21),podemos modelar cualquier caso real deacoplamiento contra-direccional de haces enun medio fotorrefractivo.En la Fig.2 presentamos el resultado delcomportamiento energético entre las dosondas contra-direccionales, determinado porlas Ecs.(16)-(17), y para las condiciones.  Seobserva que el haz 1, curva azul a trazos, seamplifica hasta alcanzar una intensidad finalde 1.3, mientras que, el haz 2, curva negracontinua con círculos, pierde energía a medidaque se propaga en el espesor del cristalfotorrefractivo, hasta reducir su energía al 10%en la salida del cristal.VALIDACIÓN DEL RESULTADOEXPRESIONES ECS.(20)-(21)A continuación presentamos los dos casosresueltos por Pochi Yeh, a partir de  lasEcs.(16)-(17):1. Caso atenuación baja,  ,entonces se obtiene:(22)(23)Entonces las transmitancias  y , paravalores de  pequeños es:Figura 2. Representación de las intensidades de las dos ondas en el caso de , utilizando las expresiones Ecs.(16)-(17); la curva en trazoscorresponde a la intensidad de la onda 1 y la curva continua con círculos es la intensidad de la onda 2.ISSN 0120-4211Facultad de Ciencias Básicas  Universidad de Pamplona 121BISTUA VOL 5 No. 2JULIO-DICIEMBRE 2007(24)(25)En la Fig.3 se muestra la comparación entrelas aproximaciones de Pochi Yeh versus elresultado utilizando nuestra solución analíticaexacta Ecs.(16)-(17), y aproximada Ecs.(22)-(23).1. Caso atenuación nula,   , entoncesse obtiene:(26)(27)Las expresiones para las transmitancias son:(28)(29)Figura 3. Comparación entre las aproximaciones de Pochi Yeh versus el resultado utilizando nuestra soluciónanalítica exacta; con  .  Líneas azules: solución exacta;Líneas rojas: solución aproximación Ecs.(22)-(23); Líneas  negras: aproximación de Pochi Yeh.DISCUSION Y CONCLUSIONESPresentamos los resultados de solucióngeneral analítica exacta, de un sistema demezcla de dos ondas en régimen degeneradoy contra-direccional. Utilizamos los resultadospresentados por Pochi Yeh, para validar lasolución analítica exacta obtenida.Determinamos que, aun para pequeñasatenuaciones, las aproximaciones aplicadaspara la solución de las ecuaciones acopladas,generan errores cercanos al 15% en el cálculode la intensidad del haz que se amplifica,hecho que se puede inferir de los resultadosmostrados en la Fig.3. Sin embargo, el errores menor para el caso del haz que pierdeenergía.  Demostramos también, que utilizandoalgunas consideraciones algebraicas“sencillas”, se puede obtener la soluciónanalítica exacta del problema de mezclacontra-direccional de dos ondas. Lasexpresiones obtenidas permiten la modelaciónexacta de arreglos experimentales de mezclacontra-direccional de dos ondas.          Facultad de Ciencias Básicas  Universidad de Pamplona122                                                                      ISSN 0120-4211BISTUA VOL 5 No. 2JULIO-DICIEMBRE 2007LITERATURA CITADAGlass,  M.  The photorefractive effect. Opt.Eng., Vol. 17, (1978),  p. 470.Mills, L. Nonlinear optics. New York: Springer-Verlag,  1998Salazar A., Rueda J., Y Lasprilla M., “La físicade los órdenes de difracción en cristalesfotorrefractivos”. Rev. Col. Fís., Vol. 33,  No.2,(2001), p.p 337-341.Salazar A., Rueda J., Y Lasprilla M., “Efectodel campo externo en la energía de losarmónicos espaciales en materialesfotorrefractivos”. Rev. Col. Fís., Vol. 34,  No.1,(2002), p.p 183-186.Salazar A., Rueda J., “Modification of theexchange of energy in BSO at equal optimizedcoupling constant”. Opt. Comm., Vol.212,(2002), pp.191-198Solymar, L.; Webb, D. And Grunnet-Jepsen,A. The physics and applications ofphotorefractive materials. New York : OxfordUniversity Press Inc.,  1996.Yeh, P.,Introduction to photorefractive nonlinearoptics. New York: John Wiley & Sons, Inc.,1993.Yeh P., And Gu C. Landmark papers onphotorefractive nonlinear optics. New Jersey:World Scientific,  1995.Recibido 11 Julio 2007Aceptado 10 Noviembre 2007

Solución exacta de la configuración mezcla contra-direccional de dos ondas en un material fotorrefractivo

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