Este documento se usa el constructo teórico Humans-with-Media para analizar una situación construida con el software Geogebra. La situación muestra un posible entendimiento de la función derivada a partir del reconocimiento de la “función tasa de variación”

Borba, Marcelo C.

Villa-Ochoa, Jhony

Funes

            667  Humans-with-Media en la producción  de conocimiento matemático.  El caso de Geogebra   Jhony Alexander Villa-Ochoa javo@une.net.co  Universidad de Medellín Medellín-Colombia  Marcelo C. Borba mborba@rc.unesp.br  Universidade Estadual Paulista “Julio Mesquita Filho” Rio Claro-SP, Brasil  Resumen. Este documento se usa el constructo teórico Humans-with-Media para analizar una situación construida con el software Geogebra. La situación muestra un posible entendimiento de la función derivada a partir del reconocimiento de la “función tasa de variación”  Palabras Clave: Humans-with-Media; Geogebra, tasa de variación, derivada  1. Introducción La incorporación de la tecnología en las matemáticas escolares ha llamado la atención de un amplio número de investigadores en el campo de la Educación Matemática (Borba & Villarreal, 2005; Borba & Godoy, 2010; Cedillo, 2006; Del Castillo & Montiel, 2008; Laborde, 2002; Lagrange & Keith, 2001; Moreno, 2002; Rabardel & Verillon, 1995). De manera particular, en Colombia, la incorporación de las TIC en las aulas escolares ha sido sugerida por el Ministerio de Educación Nacional a través de diversas publicaciones, entre ellas, la serie de documentos enmarcados en el proyecto “Computadores para Educar” (MEN, 2002).  Por su parte, Borba y Villarreal (2005) presentan un constructo teórico denominado Humans–with–Media en el cual se evidencia cómo el conocimiento matemático es producido por un colectivo pensante de seres-humanos-con-medios. Estos autores señalan             668  que los medios empleados para comunicar, representar y para producir ideas matemáticas condicionan el tipo de matemáticas que son construidas y el tipo de pensamiento a ser desarrollado en esos procesos. En el siguiente apartado se describirá algunos de los elementos que hacen parte del constructo teorico Humans-with-Media de Borba y Villarreal.  2. Humans-with-Media en la producción  de conocimiento matemático Borba y Villarreal (2005) usan el término Humans-with-Media para mostrar que los medios están en interrelación con los humanos y no como dos entes separados. De esta manera, los autores se fundamentan epistemológicamente en los  planteamientos  de  Lévy (1993) quien, según Borba y Villarreal  (2005), afirma que la tecnología y los artefactos deben ser vistos en interrelación con los seres humanos, de dicha interrelación  depende la manera en  que producimos conocimiento; según Lévy, las bibliotecas, las ciudades y los artefactos son parte de la manera en que conocemos. El constructo teórico de Seres-humanos-con-medios está soportado en dos pilares, a saber: que la cognición no es un trabajo individual sino más bien de naturaleza colectiva; y que la cognición incluye herramientas, dispositivos, artefactos y medios con los cuales el conocimiento es producido (Villarreal & Borba, 2010). Como se mencionó en Villa-Ochoa y Ruiz (2010), dentro de este constructo teórico, la separación entre seres humanos y medios no tiene sentido, pues los medios son componentes del sujeto epistémico, no son simples auxiliares ni complementos, sino una parte esencial y constitutiva de éste. Para estos investigadores, los medios son  tan relevantes que el uso de  diferentes  tipos de  medios conduce a la producción de diferentes tipos conocimiento. En Humans-with-Media se presta especial atención a cómo a través de la modelación, la visualización, la Educación On-line y la experimentación se construye en conocimiento matemático escolar. Particularmente, en dicho constructo se muestra una perspectiva de la modelación con un enfoque pedagógico que está en sinergia con el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Para Borba y Villarreal (2005) la experimentación-con-tecnología, aunado con la modelación se convierte en un ambiente en el que se promueve la formulación de conjeturas su discusión y prueba. De esa manera, estos investigadores resaltan que en el planteamiento de problemas, en estrecha relación con la modelación, va mucho más allá de la formulación de un problema matemático; ello implica que son los estudiantes quienes deben elegir, en asesoría con sus profesores, el tema o fenómeno de estudio el cual puede estar fuera del ámbito matemático.  Con respecto a la visualización Borba y Villarreal (2005) establecen que desde la literatura, este proceso ha sido considerado como una forma de razonamiento en la investigación en matemáticas y en Educación Matemática. En ese mismo sentido, Villa-Ochoa y Ruiz             669  (2010) estos investigadores presentan dos niveles en los que puede considerarse la visualización: el primero  asociado a su uso en la prueba matemática formal; y otro, relacionado con su uso en otras actividades matemáticas tales como la elaboración de conjeturas, la solución de problemas o los intentos de explicar algunos resultados matemáticos a colegas o estudiantes. Borba y Villarreal, se apoyan en las palabras de Hanna (2000) para afirmar que  en  el primer caso  las representaciones visuales no son aceptadas como parte de una prueba formal sino como un acompañamiento heurístico a la prueba  que inspira a un teorema  o  a su demostración; en la segunda, la visualización no es más que  un recurso periférico o pedagógico.  Aun cuando existe un consenso “teórico” sobre potencialidades pedagógicas de la visualización en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, el trabajo de Borba y Villarreal (2005) notan cierto tono de desconfianza con respecto a la visualización que, para estos investigadores, puede implicarse de la influencia que la práctica científica de las matemáticas tiene sobre las prácticas pedagógicas. En todo caso, estos autores presentan argumentos desde el acceso y comprensión del conocimiento matemático y de las maneras de resolver problemas para justificar la importancia de la visualización en la Educación Matemática. Al interior del constructo teórico presentado en este apartado, la visualización es un proceso que  va  más allá  del simple acto de  mostrar una imagen. Al ser el constructo teórico Seres-humanos-con-medios asumido como una unidad, la separación entre lo interno y externo no tiene sentido, pues dicha dicotomía carece de  valor ya que los límites entre ellos no son claros para el ser cognitivo. Para los autores, esta visión es compatible con los planteamientos de Nemirosky y Noble (1997) cuando sugieren que nuestras experiencias, memorias e intenciones se llevan con nosotros. La experiencia que estamos teniendo, o tuvimos con cualquier tipo de medio dado, es parte de esa unidad Seres-humanos-con-medios así no esté disponible en ese mismo momento (Borba y Villarreal, 2005). Basado en los planteamientos teóricos de Borba y Villarreal en este documento se presentan algunas situaciones con las cuales se puede producir conocimiento matemático en el aula de clase usando software como el GeoGebra. Para ver de manera mas amplia algunas situaciones el lector puede remitirse a Villa-Ochoa y Ruiz (2010) en donde se muestran algunas actividades que pueden orientarse en el desarrollo del pensamiento variacional. Asimismo, en Villa-Ochoa (2011b) se diseñaron algunas actividades para promover la comprensión de la tasa de variación como una aproximación al concepto de derivada. En el siguiente apartado se analiza una de dichas actividades.  3. La función tasa de variación Investigadores como Tall (2009) han recomendado la importancia de aproximarse a los conceptos del cálculo a través del establecimiento de relaciones dinámicas entre las nocionde la del soft“triángOchoasus resde varCon ladefinidobservvariacimágemuestres asociadaerivada comware GeoGulo” para a (2011a). 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Consideraciones finales Tal y como en Villa-Ochoa (2011a) se señala, existe evidencia para sustentar más la idea que aun cuando los estudiantes no hayan desarrollado una comprensión de la noción de límite, ni de la tasa de variación instantánea, se pueden ofrecer interpretaciones de las concavidades de una función; ello conlleva a ciertas implicaciones para el aula de clase la cual tiene que ver con el estudio de las concavidades de las funciones en los cursos previos al cálculo donde, generalmente, prima una secuencia didáctica que se inicia en la definición y termina en las aplicaciones, pero que exiguamente hace alguna referencia a las concavidades (Villa-Ochoa, 2011). En este sentido, más allá del estudio de las propiedades de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de una función no lineal, puede realizarse una interpretación de sus concavidades a través del estudio del cambio de la tasa de la variación media. Tal y como lo señalaron Villa-Ochoa y Ruiz (2011), el uso de medios tecnológicos no pretende posicionarse como una manera de enseñar más fácil, sino que por el contrario, se reconoce la complejidad de los procesos de enseñanza y aprendizaje, pero sobre todo, se reconoce que los medios son una manera de redimensionar la manera de producir conocimiento matemática en las aulas de clase.  Estos elementos ponen de manifiesto que la visualización es un proceso que va más allá del simple acto de mostrar una imagen, ni mucho menos una herramienta adicional u opcional en el proceso de comprensión, pues como afirman Borba y Villarreal (2005), los medios hacen parte de nuestra naturaleza y de esa manera el proceso de aprendizaje se observa como una unidad donde la separación entre lo interno y externo no tiene sentido, ya que dicha dicotomía carece de valor puesto que los límites entre ellos no son claros para el ser cognitivo. Referencias bibliográficas • Borba, M., & Godoy, M. (2010). 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Humans-with-Media en la producción de conocimiento matemático. El caso de Geogebra

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Humans-with-Media en la producción de conocimiento matemático. El caso de Geogebra

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