En esta comunicación ponemos de manifiesto la importancia del estudio de los poliedros en la Enseñanza Secundaria y su utilidad para el desarrollo y la comunicación de ideas matemáticas. Con esta intención planteamos una serie de tareas que permiten al profesor y al alumno trabajar los poliedros potenciando el lenguaje en el aula de matemáticas y las capacidades espaciales del alumno. Las tareas aquí presentadas fueron realizadas en unas Jornadas de Investigación en el aula de matemáticas organizadas por la Sociedad de Profesores de Matemáticas THALES en Granada con la participación de profesores de distintos niveles educativos

Cañadas, María C.

Durán, Francisco

Gallardo, Silvia

Martínez-Santaolalla, Manuel José

Peñas, María

Villegas, José Luis

Funes

Comunicación 3.02Poliedros: lenguajes y representaciónespacial*María Consuelo Cañadas Santiago, Francisco Durán Ceacero, SandraGallardo Jiménez, Manuel José Martínez-Santaolalla Martínez, MaríaPeñas Troyano y José Luis Villegas Castellanos (Grupo PI de Investigación en Educación Matemática – Universidad deGranada)Nivel educativo: E.S.O.En esta comunicación ponemos de manifiesto la importancia delestudio de los poliedros en la Enseñanza Secundaria y su utilidad para eldesarrollo y la comunicación de ideas matemáticas. Con esta intenciónplanteamos una serie de tareas que permiten al profesor y al alumno tra-bajar los poliedros potenciando el lenguaje en el aula de matemáticas y lascapacidades espaciales del alumno. Las tareas aquí presentadas fueron rea-lizadas en unas Jornadas de Investigación en el aula de matemáticas orga-nizadas por la Sociedad de Profesores de Matemáticas THALES en Granadacon la participación de profesores de distintos niveles educativos.Introducción.Actualmente, la Enseñanza Secundaria Obligatoria hace hincapié en los aspectosnuméricos y algebraicos de las matemáticas, a la vez que pierden fuerza los aspectos geomé-tricos. Aún así, lo cierto es que todo el mundo ha de afrontar con mucha mayor frecuenciaproblemas espaciales que numéricos (Dickson, 1984). En la Enseñanza de las Matemáticasdebemos tener en cuenta que la representación espacial y el lenguaje forman parte del des-arrollo y la comunicación de ideas matemáticas (Dickson, 1984). Lenguaje y representaciónson dos elementos de vital importancia en el desarrollo del individuo.El espacio y el plano.El estudio de los poliedros permite introducir al alumno en el ámbito tridimensio-nal y en el campo de las representaciones del espacio. Una mano experta puede represen-tar sobre el plano (por ejemplo la pizarra) un dibujo que muestre un tetraedro, pero seránecesario que el alumno posea algunas habilidades para poder percibir la adecuación entrela representación y el objeto tridimensional y para poder realizar nuevas representacionesde nuevos objetos tridimensionales. Entre estas habilidades necesarias está la visión espacialque le permitirá reconocer un objeto tridimensional sobre una superficie bidimensional.En el trabajo con poliedros es necesaria la visión espacial y para ello es precisoque el alumno estudie éstos desde diversas perspectivas. Una de ellas es la manipulación623* Comunicación presentada en las XI Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas (JAEM). Canarias, Julio de 2003.ISBN. 84-689-0720-0.de los objetos, paso previo a su representación. Por este motivo, compartimos la idea deGuillén (1991) de que “la mejor manera de aprender sobre poliedros es construirlos ydespués observarlos, compararlos, transformarlos y modificarlos” (p. 11). Para ello eluso de unos materiales adecuados, que nos permitan tanto su construcción como sumanipulación, puede favorecer el acercamiento de los alumnos a los objetos tridimen-sionales y en particular a los poliedros.Estudio de los poliedros en el Currículo.Los poliedros deben formar parte de la enseñanza de las matemáticas y así semanifiesta en el currículo. El estudio inicial de los poliedros se sitúa en segundo de ESO(14-15 años), aunque no se realiza una mayor profundización hasta tercero de ESO (15-16 años), donde se introducirá por primera vez el estudio de los volúmenes (Decreto148/2002 de 14 de mayo por el que se modifica el Decreto 106/1992, de 9 de junio porel que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación SecundariaObligatoria en Andalucía). El estudio de los poliedros comienza con el análisis de laforma de las caras, el número de vértices y aristas, si todas las caras o las aristas son igua-les, qué grado posee cada vértice, etc. Materiales Didácticos.Duval (2001) se preguntaba “¿Es suficiente observar las imágenes y figuras paraver lo que ellas representan?”. Para nosotros está claro que no, las imágenes y figurasdeben representarse, manipularse..., y es por ello que en las tareas que planteamos lamanipulación es imprescindible. Pero para manipular en el aula de matemáticas sonnecesarios unos materiales adecuados. Entenderemos por materiales didácticos todos los objetos usados por el profe-sor o el alumno en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas con el finde lograr unos objetivos didácticos programados. Es decir, aquellos objetos que puedanayudar a construir, entender o consolidar conceptos, ejercitar y reforzar procedimientose incidir en las actitudes de los alumnos en las diversas fases del aprendizaje. Un aspecto que debemos tener en cuenta es que no existe correspondencia biuní-voca entre un material y un concepto, procedimiento o actitud. “Un mismo concepto hade trabajarse, en lo posible, con diversidad de materiales y, recíprocamente, la mayoría delos materiales son utilizables para hacer ejercicios diversos.” (Alsina y cols., 1988, p. 13).Tenemos así que son numerosos los materiales que podemos utilizar para cons-truir poliedros. Martínez y cols. (1989) proponen la siguiente clasificación: en primerlugar los materiales de uso corriente (no necesariamente matemáticos); en segundolugar los materiales diseñados específicamente para la enseñanza de la geometría. Entrelos primeros encontramos palillos, varillas de madera, cuerdas, alambres, pajitas derefrescos, plastilina, etc. Los poliedros troquelados estarían incluidos en el segundo tipo.En este trabajo nos interesaremos en la construcción y análisis de la estructurade los poliedros. Por este motivo nos centraremos en el uso de dos materiales concre-624Comunicación – Poliedros: lenguajes y representación espacialtos: los palillos, que nos servirán de aristas; y la plastilina, manipulada para ser utilizadacomo vértices en los poliedros.Este tipo de material permite la construcción del esqueleto del poliedro utilizan-do como aristas los palillos. Estas construcciones dejan hueco todo el interior del polie-dro y las caras del mismo, permitiendo observar, además del esqueleto, otras represen-taciones como el diagrama de Schlegel. TareasPrimera FaseEn una primera fase proponemos que los estudiantes se familiaricen con el mate-rial construyendo diversos polígonos, para a continuación comenzar con la construcción depoliedros con un solo tipo de polígonos (regulares). Consideraremos como poliedro regu-lar aquel cuyas caras son todos polígonos regulares iguales, y todos sus diedros y ángulospoliedros también son iguales. Para que estas condiciones se cumplan, el poliedro tiene queser convexo, puesto que en los cóncavos los ángulos diedros no son todos iguales.Dos propuestas que se pueden plantear al alumno en este momento son lassiguientes:1) ¿Es posible construir poliedros cuyas caras sean hexágonos? Aquí el alumnopercibirá la imposibilidad de “levantar” una figura con hexágonos.2) “Platón afirmaba que sólo existen cinco poliedros regulares, esto es, lospoliedros formados por polígonos regulares del mismo tipo y concurriendoel mismo número de ellos en cada vértice.” ¿Es cierta esta afirmación? Estacuestión les permitirá discutir sobre la validez de los poliedros regulares cons-truidos para así conseguir tener solo cinco. Una vez que se han construido los cinco poliedros regulares será el turno de suanálisis y descripción. ¿Cuántas caras tiene cada uno?, ¿y aristas y vértices? ¿Qué polígo-nos forman sus caras? Estas serán algunas de las preguntas a realizar a los estudiantes.Toda esta información podría ser recogida por los alumnos en una tabla que ellos mis-mos deberán rellenar (Tabla 1).A continuación se les sugerirá la búsqueda de una relación numérica entre caras,vértices y aristas con la intención de que conozcan el Teorema de Euler.Otros de los elementos que pueden estudiarse son: ¿Qué ángulos se forman enel poliedro? ¿Qué podemos decir acerca de la rigidez de la figura?Segunda Fase:En una segunda fase incidiremos en el desarrollo del lenguaje. Para ello plante-amos la tarea de “El teléfono”, que proporcionará una actividad que permite un desarro-llo del lenguaje y la capacidad espacial.625XI Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Canarias 2003Tabla 1. Características de los poliedros regulares“Imagina que tienes que describir la figura de la fotografía telefónicamente aun amigo. Esta imagen es la de un “columpio” del Parque García Lorca en Granada(Figura 1). Describe la figura verbalmente, sin gestos, para que tu compañero puedaconstruirla con los palillos y la plastilina.”En esta tarea los alumnos pueden caracterizar la figura mediante sus distintaspropiedades y utilizando el lenguaje matemático que han usado en la primera tarea. Losalumnos pueden caracterizar el poliedro rellenando una tabla como en el ejercicio ante-rior (vértices, caras, aristas,...). Pero además pueden profundizar en las distintas repre-sentaciones posibles de la figura construida como por ejemplo la representación de dife-rentes vistas (planta y perfil), desarrollo plano (es decir, una representación plana delmismo que lo caracteriza, lo representa y permite construir el modelo) y diagrama deSchelegel (representación plana de carácter topológico y que permite ver a la vez todaslas caras, vértices y aristas del sólido, así como el número de caras que concurren encada). Los alumnos también pueden investigar sobre cómo puede obtenerse este polie-dro a través de otros poliedros. Otro aspecto a tener en cuenta es que la figura que planteamos para describir esun poliedro Arquimediano, llamado así en honor a Arquímedes (el primero que los des-cribió) o también semirregulares, ya que están formados por polígonos regulares pero626Comunicación – Poliedros: lenguajes y representación espacialde distintos tipos, cumpliendo que en cada vértice se juntan el mismo número de carasy de la misma forma. La definición de este tipo de poliedro nos permite incidir sobre unade las formas de describir verbalmente la figura, ya que una manera de obtenerlos estruncando los poliedros regulares con distintos planos. La figura de la fotografía es uncubo al que le han cortado los vértices (Figura 1).                                          Y a partir de ahí podríamos plantear nuevas preguntas sobre los poliedros arqui-medianos: ¿Qué figura se obtendría si cortásemos el tetraedro por la mitad de la arista?¿Y si cortamos el tetraedro a un tercio del vértice? ¿Y si el poliedro a cortar fuera el cubo?Y además les podríamos pedir a nuestros alumnos la realización de las distintas repre-sentaciones de los mismos, desarrollando así destrezas de percepción del espacio.Conclusiones.La capacidad espacial ha tenido un déficit de tratamiento en la Escuela si lo compara-mos con el tratamiento dado a la capacidad numérica o a la de razonamiento (Arrieta, 2001).Teniendo en cuenta la necesidad que tiene la enseñanza de la geometría de dicha capacidad,este déficit nos lleva a que el alumno tenga grandes dificultades para abstraer formas geomé-tricas y para ser capaz de percibir el medio en el que vive, que inevitablemente es geométrico.Con las propuestas hemos querido potenciar la importancia del lenguaje en la com-prensión de las formas matemáticas, así como la necesidad de la manipulación y construc-ción de figuras y cuerpos geométricos para una mejor percepción de las propiedades y rela-ciones implicadas.La enseñanza de la geometría requiere de distintas estrategias para su aprendizaje asícomo la posibilidad de trabajar con diversas representaciones. Éstas tienen su justificación en627XI Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Canarias 2003Figura 1. Representaciones de un cubooctaedro.la necesidad de comunicación de las formas geométricas que percibimos con nuestros senti-dos cuando éstas no están presentes para alguno de los individuos que forman parte del pro-ceso de comunicación. Esta necesidad se manifiesta en el entorno cotidiano del alumno y enlas muchas situaciones en que tiene que describirlo. El profesor de matemáticas debe ser cons-ciente de esto y potenciar tareas de lenguaje y representación del entorno en el aula. Bibliografía• ALSINA, C.; BURGUÉS, C. y FORTUNY, J. (1987): Invitación a la Didáctica de laGeometría, Madrid, Síntesis. • ARRIETA, M. (2001): Programa de doctorado: Psicodidáctica, Bilbao, Universidad delPaís Vasco.• CLEMENS, S.; O’DAFFER, P. y COONEY, T. (1989): Geometría con aplicaciones ysolución de problemas, Méjico, Addison Weasley Iberoamericana.• DICKSON, L.; BROWN, M. y GIBSON, O. (1991): El aprendizaje de las matemáti-cas. Barcelona, Ed. Labor.• JUNTA DE ANDALUCÍA (2002) Decreto 148/2002 de 14 de mayo por el que se modi-fica el Decreto 106/1992, de 9 de junio por el que se establecen las enseñanzas corres-pondientes a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía. • DUVAL, R. (2001): La geometría desde un punto de vista cognitivo. PMME-UNISON• GUILLÉN, G. (1991): Poliedros, Madrid, Ed. Sintesis• GRUPO PI (2002): Materiales didácticos en la resolución de problemas. En J.M.CARDEÑOSO y otros (Ed.): Investigación en el aula de matemáticas. Resolución deproblema, Granada, Universidad de Granada – SAEM Thales• MARTÍNEZ, A. y RIVAYA, F. (1989): Una metodología activa y lúdica para la ense-ñanza de la Geometría, Madrid, Ed. Síntesis.• http://ddm.ugr.es/grupo_pi• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/gespac/poliedro/poliedro.html• www.georgehart.com• www.iesarroyo.com/matematicas/taller/juegos/poliedros• www.perso.wanadoo.es/jpm/poliedros%20regulares• www.unirioja.es/dptos/dmc/luherman/Divul/POLIEDROS628Comunicación – Poliedros: lenguajes y representación espacial

Poliedros: lenguaje y representación espacial

http://funes.uniandes.edu.co/271/1/CannadasM03-2778.PDF

Poliedros: lenguaje y representación espacial

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