Beineke

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Kotzig

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Bry, François

Universität München: Elektronischen Publikationen

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Sur les Couplages dans les Graphes localement finis

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annals of discrete mathematics General Editor Peter L. HAMMER, University of Waterloo, Ontario, Canada Advisory Editors C. BERGE, Universite de Paris, France Μ.A. HARRISON, University of California, Berkeley, CA, U.S.A. V. KLEE, University of Washington, Seattle, WA, U.S.A. J.H. V A N LINT, California Institute of Technology, Pasadena, CA, U.S.A. G.-C. ROTA, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA, U.S.A. NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY — AMSTERDAM · NEW YORK · OXFORD NORTH-HOLLAND MATHEMATICS STUDIES 75 A n n a l s of D iscrete Mathemat ics (17) General Editor: Peter L. Hammer Proceedings of the International Colloquium on Graph Theory and Combinatorics Marsei l le-Luminy June 1981 Edited by: C. B E R G E , C.N.R.S., Paris D. B R E S S O N , E.H.E.S.S., Paris P. CAMION, C.N.R.S.-I.N.R.I.A., Paris J . F . MAURRAS, University of Paris XII, Paris F. STERBOUL, University of Lille I, Paris NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY — AMSTERDAM · NEW YORK · O X F O R D University of Waterloo, Ontario, Canada COMBINATORIAL MATHEMATICS 1983 CONTENTS PREFACE J. ABRHAM and A . KOTZIG, Extremal bases of additive permutations 1 D. A M A R , I . FOURNIER and A . GERMA, Ordre minimum d'un graphe simple de diametre, degre minimum et connexite donnes 7 D. A M A R , I . FOURNIER and A . GERMA, Structure des graphes de connexite k ^ 2 et de stabilite a = k + 2 11 L. D. ANDERSEN, A . J. W. HILTON and C. A . RODGER, Small embeddings of incomplete idempotent latin squares 19 J. A Y E L , Degrees and longest paths in bipartite digraphs 33 J. P. BARTHELEMY, Caracterisation mediane des arbres 39 A . BENHOCINE and A . P. WOJDA, On the existence of D ( n , p ) in directed graphs 47 C. BENZAKEN, Hajos theorem for hypergraphs 53 C. BERGE, Path partitions in directed graphs 59 J.-C. BERMOND, C. DELORME and J.-J. QUISQUATER, Grands graphes de degre et diametre fixes 65 C. BERNASCONI, Combinatorics of incidence structures and BIB-designs 75 K . P. BOGART, Ideal and exterior weight enumerators for linear codes: Examples and conjectures 81 B. BOLLOBAS, The evolution of the cube 91 F . BORIES, J . L . JOLIVET and J . L . FOUQUET, Construction of 4-regular graphs 99 A . BOUCHET, A construction of a covering map with faces of even lengths 119 A . BOUCHET and J. L . FOUQUET, Trois types de decompositions d'un graphe en chaines 131 F . BRY, Sur les couplages dans les graphes localement finis 143 P. CAMION, A deterministic algorithm for factorizing polynomials of F J X ] 149 vi Contents vii A. H. C H A N , R. A. GAMES and E. L . K E Y , On the complexities of periodic sequences 159 P. CHARPIN, The extended Reed-Solomon codes considered as ideals of a modular algebra 171 O. CHEVALIER, F . JAEGER, C. PAYAN and Ν . H . XUONG, Odd rooted orientations and upper-embeddable graphs 177 V . CHVÄTAL and E. SZEMEREDL Notes on the Erdös-Stone theorem 183 M . COCHAND and P. DUCHET, Sous les paves... 191 E. J. COCKAYNE and FANG Z U Yao, Rotation numbers for unions of triangles and circuits 203 G . COHEN and P. FRANKL, On cliques and partitions in Hamming spaces 211 R. CORDOVIL, Oriented matroids of rank three and arrangements of pseudolines 219 B. COURTEAU, G . FOURNIER and R. FOURNIER, Etude de certains parametres associes ä un code lineaire 225 M . CROCHEMORE, Mots et morphismes sans carre 235 L. J. CUMMINGS, Strongly qth power-free strings 247 G . DELCLOS, Cyclic codes over GF(4) and GF(2) 253 J. DENES. Some connections between groups and graphs. A survey 259 PH. DELSARTE and PH. PIRET, Algebraic codes achieving the capacity of the binary symmetric channel 265 W. DEUBER, Partitioning subwords of long words 271 P. ERDÖS and Z. FÜREDI , The greatest angle among η points in the ^-dimensional euclidean space 275 S. FIORINI and J. L A U R I , Edge-reconstruction of graphs with topological properties 285 P. FRANKL, Constructing finite sets with given intersections 289 H. DE FRAYSSEIX and P. ROSENSTIEHL, Systeme de reference de Tremaux d'une representation plane d'un graphe planaire 293 G . GIRAUD, Sur un probleme d 'Erdös et Hajnal 303 Μ. H A B I B and B. PEROCHE, La /c-arboricite lineaire des arbres 307 viii Contents MARSHALL H A L L , JR., Designs and coding theory 319 S. H A R A R I , Le decodage rapide des codes de Reed-Solomon et leur generalisation 327 M . C. HEYDEMANN, Nombre maximum d'arcs d'un graphe antisyme-trique sans chemin de longueur / 337 W. IMRICH and G. SCHWARZ, Trees and length functions on groups 347 B. JACKSON, Maximal cycles in bipartite graphs 361 H . JACOB and H . MEYNIEL, Extension of Turän ' s and Brooks' theorems and new notions of stability and coloring in digraphs 365 F . JAEGER, Symmetric representations of binary matroids 371 G. Ο . H . KATONA, Sums of vectors and Turän ' s graph problem 377 J. M . LABORDE, L'hypercube infini et la connexite dans les graphes infinis 383 J. LACAZE and L . BENETEAU, The automorphism group of the smallest non-affine Hall triple system 387 A . LAHRICHI and J . L . SERET, Un algorithme lineaire pour l'enumeration des creneaux d'une suite 393 M . LAS VERGNAS, Le polynome de Martin d'un graphe eulerien 397 J. LEHEL, τ-critical hypergraphs and the Helly property 413 A . LENTIN, On certain families of disjoint perfect matchings in K2n 419 R. LOPEZ BRACHO, Decompositions en chaines d'un graphe complet d'ordre impair 427 W. M A D E R , On n-edge-connected digraphs 439 A . R. MAHJOUB, Polytope des absorbants dans une classe de graphe ä seuil 443 H . F . MATTSON, JR., A n upper bound on covering radius 453 J. F . MAURRAS, Sur une propriete extreme des plans projectifs finis 459 J. M A Y E R , Note sur le probleme de Heawood 465 Μ. M O L L A R D , Le nombre d'absorption du n-cube 469 Β . MONTARON, Sur une construction de codes spheriques 473 A . F . MOUYART, Symmetric inseparable double squares 483 Contents ix Η. Μ. M U L D E R , The number of edges in a /c-Helly hypergraph 497 U . S. R. M U R T Y , Projective geometries and their truncations 503 M . W . PADBERG and L. A . WOLSEY, Trees and cuts 5 1 1 G. PASQUIER, Binary self dual codes construction from self dual codes over a Galois field F 2m 5 1 9 C. PAYAN and Ν. H . XUONG, Sur un theoreme min-max en theorie des graphes 5 2 7 J . E. PIN, On two combinatorial problems arising from automata theory 535 A . POLI and M . VENTOU, Construction de codes autoduaux de profondeur 1 ou 2 dans A = F 2 [ X , , . . . , Xn]l{X] - 1 , . . . , X2n- 1 ) 549 M . PREISSMANN, C-minimal snarks 559 A . RECSKI, On the generalization of the matroid parity and the matroid partition problems, with applications 567 I . G. ROSENBERG, Cycle structure of affine transformations of vector spaces over GF(p) 575 H . SACHS and M . STIEBITZ, Construction of colour-critical graphs with given major-vertex subgraph 5 8 1 S. C. SHEE and Η. H . T E H , Graphs and inverse semigroups 599 F. STERBOUL and D . WERTHEIMER, Colorations extremes dans les hypergraphes 605 W . T. TROTTER, JR. and J. A . Ross, Every ί-irreducible partial order is a suborder of a t+ 1-irreducible partial order 6 1 3 P. VADERLIND, Between clutters and matroids 623 S. A . VANSTONE, A note on the existence of strong Kirkman cubes 629 W . F. DE LA V E G A , On the bandwidth of random graphs 633 D . DE WERRA, On the use of bichromatic interchanges 6 3 9 D . WERTHEIMER, Extreme coloring of the edges of a graph 647 J . WOLFMANN, New decoding methods of the Golay code ( 2 4 , 1 2 , 8 ) 6 5 1 T. ZASLAVSKY, Uniform distribution of a subgraph in a graph 657 List of problems submitted during the conferences 665 Annals of Discrete Mathematics 17 (1983) 143-147 © North-Holland Publishing Company SUR L E S COUPLAGES DANS L E S GRAPHES L O C A L E M E N T FINIS* Frangois BRY Universite Pierre et Marie Curie, U.E.R. 48, Equipe de Recherche Combinatoire 4, place Jussieu, 75005 Paris, France We present some results on matchings in locally finite graphs. First, we give an extension to locally finite graphs of a theorem of Edmonds and Gallai giving a decomposition of graphs according to matchings. Then we estimate the number of perfect matchings (1-factors) in locally finite graphs, depending on connexity. These results generalize some theorems of Kotzig, Loväsz and Zaks. 1. Introduction Edmonds et Gallai ont donne dans [ 4 ] , [ 5 ] une decomposition des graphes finis relative aux couplages maximums. En collaboration avec Las Vergnas, nous avons etendu cette decomposition aux graphes localement finis. Ce theoreme est enonce au Section 3. Kotzig a prouve dans [7] que tout graphe fini contenant un et un seul couplage parfait a un isthme appartenant ä ce couplage. Un graphe fini 2-arete-connexe contenant un couplage parfait en a done au moins deux. II existe par contre des graphes localement finis (infinis) 2-arete-connexes ne contenant qu'un seul couplage parfait. A u paragraphe 4 nous en donnons un exemple et nous montrons que tout graphe localement fini contenant un et un seul couplage parfait est au plus 2-connexe. Le theoreme de Kotzig est le premier resultat sur le nombre / ( G ) de couplages parfaits d'un graphe fini G. Auparavent, dans le cas particulier des graphes bipartis finis, Hall [ 6 ] avait estime ce nombre (f(G)^n\, si G = (X, Y\V) est un graphe biparti fini tel que | X | = | Y | et tel que tout sommet de X soit de degre superieur ou egal a n ) . Beineke et Plummer ont ensuite prouve que f(G)^n si G est un graphe fini n-connexe contenant un couplage parfait [1]. Zaks a ameliore ce resultat en montrant dans [ 1 0 ] que / ( G ) ^ η!! sous les memes hypotheses. (Si η est impair, cette borne est exacte en * L'auteur beneficie d'une allocation de recherche de la D . G . R . S . T . (Contrat n° 79317). 143 144 F. Bry ce sens que le graphe complet Knn contient exactement η !! couplages parfaits.) Dans le cas particulier des graphes finis non bicritiques (un graphe est bicritique s'il contient un couplage parfait et si le sous-graphe obtenu en supprimant deux sommets quelconques contient encore un couplage parfait) Loväsz [8] a precise cette borne inferieure: f(G)^n\ si G est un graphe fini non bicritique n-connexe. Finalement, Mader a donne dans [9] la borne inferieure exacte du nombre de couplages parfaits d'un graphe fini ne dependant pas de la connexite mais du degre minimum du graphe: si G est un graphe fini 2-connexe de degre minimum η et si G contient au moins un couplage parfait, alors f(G) ^ η!! si η est impair, et f{G) ^ f(Sn) si η est pair, ou Sn est Kn+2 moins un couplage parfait. Nous donnons au paragraphe 5 des exemples de graphes localement finis (infinis) η-connexes avec un nombre fini (non nul) de couplages parfaits, pour tout entier n. Des resultats analogues ä ceux de Zaks et Loväsz sont ensuites enonces pour les graphes localement finis. Les preuves seront publiees ulterieurement. 2. Terminologie et notations Les graphes consideres sont des graphes simples [2]. Un couplage d'un graphe G = (X, U) est un couplage parfait si tout sommet de G appartient ä une arete du couplage. Un couplage F d'un graphe G est un couplage maximum si pour tout couplage Η de G tel que U H D UF, on a UH = L)F. D'apres un theoreme de Brualdi ([3] Theoreme 4), tout graphe localement fini ä au moins un couplage maximum. Si F est un couplage maximum d'un graphe G, le defaut de F, note 5 ( F ) , est le cardinal de l'ensemble des sommets de G insatures par F. Deux couplages maximums d'un meme graphe ont meme defaut. On appelle defaut d'un graphe G le defaut d'un couplage maximum de G, on le note 8(G). Un graphe est couplage-critique s'il ne contient pas de couplage parfait et si le sous-graphe forme en enlevant un sommet quelconque a au moins un couplage parfait. On verifie qu'un graphe couplage-critique est fini et d'ordre impair. Si G = (X, U) est un graphe et si S est une partie de X , on designe par C ( 5 ) le cardinal de l'ensemble des composantes connexes d'ordre pair du sous-graphe Gs induit par S. De meme, C c r (5) designe le cardinal de l'ensemble des composantes connexes couplage-critiques du sous-graphe Gs-3. Decomposition relative aux couplages maximums d'un graphe localement fini En collaboration avec Las Vergnas, nous avons etabli le theoreme suivant: Les couplages dans les graphes localement finis 145 Theoreme 3.1. Soit G = (X, U) un graphe localement fini. Soient Ρ Γ ensemble des sommets de G insatures par au moins un couplage maximum de G, Ο Vensemble des sommets voisins de Ρ (Ο = Γ 0 ( Ρ ) \ Ρ ) et R = X\(PUQ). Ahrs: (1) Les composantes connexes du sous-graphe GP induit par Ρ sont couplage-critiques. (2) Soient Vo(P) Γ ensemble des composantes connexes de GP et Η = (Ο, ^ ( P ) ; Ε) le graphe biparti defini par (q, C ) G £ si et seulement si il existe c Ε C tel que (q, c) Ε £Λ Ha un couplage qui sature Ο et laisse insaturee une partie de ^(P) de cardinal 8(G). Tout couplage de Η saturant Q laisse insaturee une partie de ^(P) de cardinal superieur ou egal ä 8(G). Enparticulier si 8(G) est fini, Q et Ρ sont finis et \Q \ = C c r ( P ) + 8(G). ( 3 ) Le sous-graphe GR induit par R α un couplage parfait. ( 4 ) Tout couplage maximum de G se decompose en un couplage parfait de G R , en un couplage de defaut 1 de chaque composante de GP et en un couplage maximum de H. 4. Graphes localement finis avec un et un seul couplage parfait Kotzig a prouve dans [7] que tout graphe fini contenant un et un seul couplage parfait a un isthme appartenant ä ce couplage. Cela n'est plus vrai pour les graphes localement finis infinis, comme le montre l'exemple suivant. Exemple 4.1. Fig. 1. Le graphe de la Fig. 1 est 2-arete-connexe et n'a qu'un seul couplage parfait (represente par les aretes epaisses). U n resultat semblable au theoreme de Kotzig est le suivant. Theoreme 4.2. Tout graphe localement fini contenant un et un seul couplage parfait est au plus 2-connexe. Nous ne sommes pas arrives ä caracteriser les graphes localement finis (infinis) ne contenant qu'un seul couplage parfait, bien que nous ayons pu etablir quelques unes de leurs proprietes. Nous faisons la conjecture suivante. 146 F. Bry Conjecture 4.3. Tout graphe G = (X, U) localement fini (infini) 2-connexe con-tenant un et un seul couplage parfait a un ensemble de separation S de cardinal 2 tel que C 0 ( X \ 5 ) ^ 1 . 5. Nombre de couplages parfaits d'un graphe localement fini Si G est un graphe localement fini, F(G) designera le nombre de couplages parfaits de G. Si η est un entier F(n) designera la plus petite valeur de F(G) lorsque G parcourt la classe des graphes localement finis n-connexes et contenant au moins un couplage parfait. En ces termes, le Theoreme 4.2 se traduit par F(3)5=2. Let exemples qui suivent montrent que F(n) est fini pour tout entier n. Exemples 5.1. Soit n ^ 3 u n entier. Definissons un graphe localement fini infini Tn. Soit ( X m | m £ J V ) une suite d'ensembles deux ä deux disjoints, chacun d'entre eux de cardinal n. Posons Xm = {x7,..., x"1}. L'ensemble des sommets de Tn sera U { X W |ra GiV}. L'ensemble U des aretes de Tn est defini par: si m est impair ou si m = 0, {x7\ Χ Γ 1 } Ε (7, / i ^ η, 1 ^ ; ^ η ; si m est pair et si m ^ O , {jcr\*r'}e U, l ^ i ^ n . Fig. 2. Le graphe T,. On verifie aisement que, pour tout n, le graphe Tn est n-connexe et contient exactement n \ couplages parfaits. Si G = (X, U) est un graphe localement fini n-connexe, posons a(G) = M a x { f c G N | V 5 C X , fe + l ^ | S | < ^ , C c r ( X \ S ) ^ \ S |- k}. Si G n'est pas bi-critique, on a a(G) = 0 ou a(G) = l (dans le cas des graphes finis, on a necessairement a ( G ) = 0). Les couplages dans les graphes localement finis 147 Theoreme 5.2. Soit G un graphe localement fini n-connexe non bicritique et contenant au moins un couplage parfait. Si a ( G ) = 0 , alors F(G)^n\; si a(G)= 1 , alors F(G)^(n - 1 ) ! . Theoreme 5.3. Soit G un graphe localement fini η -connexe (η ^ 4) et bicritique. Si η est pair, alors F ( G ) 2 ? n!!/2; si η est impair, alors F(G)^ln\\ 6. Problemes ouverts ( 1 ) Quelle est la borne inferieure exacte F ( n ) du nombre de couplages parfaits des graphes localement finis infinis η-connexes contenant au moins un couplage parfait? (2) Quelle est la borne inferieure exacte FB(n) du nombre de couplages parfaits des graphes localement finis infinis η-connexes et bicritiques? ( 3 ) Peut-on donner un resultat semblable ä celui de Mader [ 9 ] pour les graphes localement finis infinis? Bibliographie [1] L .W. Beineke and M.D. Plummer, On the 1-factors of a non separable graph, J . Comb. Theory 2 (1967) 285-289. [2] C . Berge, Graphes et Hypergraphes (Dunod, Paris, 2nde ed., 1973). [3] R . A . Brualdi, Matchings in arbitrary graphs, Proc. Camb. Phil. Soc. 69 (1971) 401-407. [4] J. Edmonds, Paths, trees and flowers, Canad. J. Math. 17 (1965) 449-467. [5] T. Gallai, Maximale Systeme unbhängiger Kanten, Math. Kut. Int. Közl. 9 (1964) 373-395. [6] M. Hall, Distinct representatives of subsets, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948) 922-926. [7] A. Kotzig, Ζ teorie konecnych grafov s lynearnym factorom II , Mat. Fyz. Casopis 9 (1959) 136-159. [8] L . Loväsz, On the structure of factorizable graphs, Acta Math. Acad. Scient. Hung. 23 (1972) 179-185. [9] W. Mader, Über die Anzahl der 1-Faktoren in 2-fach zusammen hängenden Graphen, Math. Nachr. 74 (1976) 217-232. [10] J . Zaks, On the 1-factors of η-connected graphs, J . Comb. Theory 11 (1971) 169-180. 

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