H. Molnár, Sándor

EKE Repository of Publications

HÁROMSZÖGEK SZÖGEINEK LINEÁRIS FÜGGETLENSÉGÉRŐL H. MOLNÁR SÁNDOR Ismeretes, hogy ha egy c természetes szám primhatványtényezős felbontá-sában nem szerepel 4k + 3 alakú prímszám páratlan hatványon, akkor c fel-írható két négyzetszám összegeként: c = u2 + v2 (lásd pl [1] 102—105. oldal). Ha uv > 0 akkor a = 2 uv, b = u2— v2 j és c oldalakkal egészoldalú derék-szögű háromszög szerkeszthető. Az ilyen tulajdonságú számhármast a további-akban (aj, bi5 cj-vel jelöljük, az av bb ci egészoldalú derékszögű háromszög egyik hegyesszögét pedig A továbbiakban feltesszük, hogy az aíf bi5 ci egészek relatív primek. Ha c — 4k + 1 alakú prim, akkor pontosan egy (a, b, c) számhármas van fenti tulajdonsággal, mert szempontunkból (a, b, c) és (b, a, c) egyenlőnek te-kinthető. Tekintsük a 4k + 1 alakú primek egy n elemű halmazát és a hozzájuk mint átfogókhoz tartozó egészoldalú derékszögű háromszögek egy-egy &i he-gyesszögét. S. Chovla, P. Hartung és G. Sterling [2]-ben a következő kérdést vetette fel. Teljesül-e racionális r. számokkal a triviális rj = 0 (i = 1, 2, . . ., n) esettől eltekintve? A problémára a választ is megadták. Az n = 2 esetben bizonyítottá151, hogy ha ©i és ©2 egy p, illetve q átfogójú egészoldalú derékszögű háromszög hegyes-szöge, ahol p és q különböző 4k -f- 1 alakú prímszámok, akkor ©i és ©2 lineári-san függetlenek a racionális számok teste fölött, vagyis ri ©1 + r2 ©2 ~ 0 racio-nális r\, r2 esetén akkor és csak akkor teljesül, ha rí — r2 = 0. Utalnak rá, hogy tetszőleges n > 2 esetén analóg módon lehet bizonyítani. A [3]-ban olyan egészoldalú derékszögű háromszögek hegyesszögeivel foglalkoztunk, melyeknek az átfogói nem feltétlenül prímszámok. Megmutat-tuk, hogy a [2]-ben felvetett problémára a válasz nem nyilvánvaló. Bizonyítottuk ugyanis, hogy ha k és m tetszőlegesen adott pozitív egészek, akkor a k ©1 — m ©2 = 0 egyenletnek végtelen sok 0 | , ©2 megoldása van az egész-oldalú derékszögű háromszögek hegyesszögeinek a halmazában. Megmutattuk, n Z r i - G i ~ 0 (1) 567 hogy ha az adott 1*1, r-y, . . r n racionális számok között van pozitív is és regatív is, akkor (1) megoldható az egészoldalú derékszögű háromszögek hegyesszögei-nek a halmazában. Bizonyítottuk azonban azt is, hogy páronként relatív prim átfogók esetén (l)-ből r^  = 0 (i = 1, 2 , . . . , n) következik, ami a [2]-ben megfo-galmazott tétel általánosítása. Az n = 2 esetben megmutatuk, hogy a feltétel egy gyengébbel helyettesíthető, nevezetesen: Legyen 0 i és S2 az (ai, b| , Cj), illetve az (a->, b2, o») egészoldalú derékszögű háromszög egy-egy hegyesszöge. Ha van olyan p prímszám, mely a cy és c2 átfogók közül pontosan az egyiknek osztója, akkor (9i és O2 lineárisan függetlenek a racionális számtest felett. A [3]-ban még nem adtuk meg annak szükséges és elégséges feltételét, hogy két egészoldalú derékszögű háromszög egy-egy hegyesszöge lineárisan függő legyen a racionális számok teste fellett. A kri tériumot jelen dolgozatban közöljük. Általánosítjuk továbbá a [3]-ban elért néhány eredményünket. Elég-séges feltételt adunk arra, hogy két egészbefogójú derékszögű háromszög (me-lyek átfogójának mérőszáma lehet irracionális szám is) egy-egy hegyesszöge lineárisan független legyen a racionális számok teste fölött. Elégséges feltételt adunk továbbá arra, hogy két egészoldalú, nem feltétlen derékszögű háromszög egy-egy 90°-tól különböző szöge lineárisan független legyen a racionális számok teste felett. A továbbiakban (a, b, c)-vel, illetve (aj, bi, c i)-vel jelöljük azt a három-szöget, mely oldalainak mérőszámai a, b, c, illetve a.j, b{, cÍ5 függetlenül attól, hogy a háromszög derékszögű-e vagy sem, illetve attól, hogy az oldalak mérő-száma egész szám-e, vagy sem. Nem megy az általánosság rovására, ha feltesz-szük, hogy az egészoldalú háromszögek oldalainak mérőszámai relatív primek, továbbá, ha (a, b, c) egy derékszögű háromszög, melyben a és b egész, akkor a és b relatív primek. Az alábbi tételeket bizonyít juk: 1. Tétel. Legyen 6>i, illetve 02 az (ai, b|, C|), illetve az (aj, bj, c^Jegészoldalú derékszögű háromszög a\, illetve a> befogóval szemközti szöge. A 0\ és (")•> akkor és csak akkor l ineárisan függő a racionális számok teste felett, ha van-nak olyan k és m pozitív egészek, melyekkel: 1° 3° \kO\ - m<92; < 1 feltételek teljesülnek, ahol az arcsin — -nek a [lg k] + 1-dik tizedes jegyig, 568 míg a ©'„az arcsin—-nek a [lg m] + 1-dik tizedesjegyig kiszámított közelítő C-2 tizedestörtje. 2. Tétel. Legyen f)\, illetve (")•> az (ai, bi, C|), illetve az (a2, b-2, ci) derékszögű háromszög egy-egy hegyesszöge, ahol az a\, b\, a>, b-i befogók egész számok, a C[, C), átfogók pedig valós számok. Ha van olyan p páratlan prímszám, mely a c2{ és c | pozitív egész számok közül pontosan az egyiknek osztója, akkor @i és 02 lineárisan függetlenek a racionális számtest felett. 3. Tétel. Legyen 0\ 4=90° és ©2 4= 90° az (ai, b|, C|), illetve az (a-2, b-2, C2) egész-oldalú, nem feltétlen derékszögű háromszög egy-egy szöge. (Föltehetjük, hogy ©1 az ai-el, Q> pedig az a2-vel szemközti szög.) Legyen bf + cf - af s, 2- b e = t a h o 1 (sí, y = 1, (i = 1,2). Ha van olyan p párat lan prímszám, mely a t\ és U közül pontosan az egyiket osztja, akkor 0y és (")•> lineárisan függetlenek a racionális számtest felett. A tételek bizonyításához két segédtételre van szükségünk. 1. Lemma. Legyenek az (a, b, c) derékszögű háromszög a, b befogói egészek, c átfogója egy valós szám és (a, b) = 1. Jelölje 0 a háromszög egyik hegyes-szögét. Legyen c2 = 2a-cj, q páratlan, a pedig nem negatív egész. Tetsző-leges k =1= 0 egész szám esetén cos- k 0 racionális szám és redukált a lakjának nevezője páratlan c2 esetén c2 lk l , páros c2 esetén pedig • qk alakú, ahol fi valamely | a k | - n é l kisebb nem-negatív egész. 2. Lemma. Legyen az (a, b, c) egészoldalú, nem feltétlen derékszögű háromszög a-val szemközti 0 szöge nem derékszög, és legyen 1 2 „ 2 b + c — a s = (s, t) = 1 . 2 be t Legyen t = 2" • q ahol q páratlan, a pedig nem-negatív egész szám. Tetszőleges k 4= 0 egész szám estén cos k 0 racionális szám és redukált alak-jának nevezője párat lan t esetén t l k l , páros t esetén pedig = 2/^q |kl alakú, ahol /? valamely |k «|-nél kisebb nem-negatív egész. Rátérünk a bizonyításokra. Az 1. Lemma bizonyítása: Feltehetjük, hogy 0 az a oldallal szemközti szöget jelöli, ígv cos 0 — k c Legyen először k > 0. Ismert, hogy (2) eos k 0 = ( ^ ) c o s k 0 - I g ) cos k - 2 0s in?@ + ^ j c o s "-<6>sin46>—+-ahonnan a sin2 <9 = 1-— cos2 0 összefüggés felhasználása után cos k 0 = + 2 k - ] co* k 0 + P k - 2 ( c o * 0 y = ± 2 j ( 3 ) c adódik, hogy Pk_2 (cos 6>) a cos 6>-nak, míg P' k—2 (b) a b változónak k—2-ed fokú egész együtthatós polinomja. (3)-ból 2 * " V k ± 2 k b V P \ - , ( b ) + c 4 FÍ-2<b) c o s " k © = ít (4) adódik. Mivel (a, b) = 1 miat t (b2, c2) = 1 , így legfeljebb 2«k-vel, vagy 2-nek a k-nál kisebb kitevős hatványával lehet egyszerűsíteni a (4) jobb oldalát. Tehát páratlan c2 esetén (4) redukált alakjának nevezője c2k, páros e2 esetén a számláló minden tagja osztható 2-nek valamely pozitív egész kitevős hatvá-nyával. A tört egyszerűsítése után tehát a nevező 2/* q k alakú lesz, ahol 0 ^ /5 < a k, ami. az 1. Lemmát igazolja k > 0 esetben. A k < 0 esetben cos (x) = cos (—x) miat t igaz az állítás. A 2. Lemma bizonyítása: Legyen először k > 0. Az 1, Lemma bizonyításánál kapott (3) egyenlőség megfelelője most „ s cos H = — miatt t (5) t k alakú, ahol P'k_2(s) az s változónak k—2-ed fokú egész együtthatós polinomja. Ha t páros az (s, t) = l miatt, csak 2-nek a k-nál nem nagyobb pozitív egész kitevős hatványával lehet egyszerűsíteni. Páratlan t esetén (5) jobb oldalán cos k <9 redukált alakja áll. Ebből hasonlóan, mint az 1. Lemma bizonyításánál, már következik az állítás. Az 1. Tétel bizonyítása: Tegyük fel, hogy rí 0 i + r2 02 = 0 ahol r\, r-2 zérustól különböző racionális számok, továbbá cos b2 cos 0o = — , Ekkor vannak olyan k és m pozitív egészek, melyekkel c2 (6) bi Cl 570 k @i = m 02, (7) azaz cos k 0 i = cos m 02 (8) Felhasználva, hogy a háromszög oldalai relatív primek — s ilyenkor Ci és c2 páratlan — a 2. Lemma alapján cos k 0 i redukált alakja valamely di egésszel , s~\ dl cos k 05 — —j- (9) c i a cos m 0 2 redukált alakja pedig valamely d j egésszel d2 cos m 0 2 — (10) c 2 A (8)-ból di d2 k Cl 2 d l ) adódik. (11) mindkét oldalán redukált törtek állnak, ezért csak akkor állhat fenn egyenlőség, ha c í = c ™ (12) s így 1° szükségességét igazoltuk. A k 0 i = m 02 esetén természetesen sin k 0 i = sin m 02 és cos k 0 i = cos m02, ami ismert összefüggés szerint ekvivalens a 2°-ban szereplő két egyenlettel. így 2° szükségességét beláttuk. Vezessük be a következő jelöléseket: Mivel es es 0 ^ = 0 , - 0 » , és 0 ' W 0 2 - 0 % 0 < k 0 " i < 1 mert 0 < S'\ < 10 - ' sM- i 0 < m0"> < 1 mert 0 < 0 " 2 < 10~f l ml "1 k0 i—m02 = 0, ezért | k0 ' i—m0' 2 | = k(0i—0"i)— m (02—0"2) | = (12) = |m@"2—k0"i| < 1 ami 3° szükségességét igazolja. Tehát a feltételek valóban szükségesek. Bizonyítjuk, hogy elégségesek is. Tegyük fel, hogy 1°, 2° és 3° feltételek teljesülnek. A 2° feltétel ekvivalens a sin k 0 i = sin m 0 2 571 és cos k 0 i = cos m Sí feltételekkel, melyekből k ©1 = m 0 2 (moc 2JI) következik. Másrészt 3°-ból |k@i—m0 2 | = | k ( 9 ' i + k @ " i — m e ' 2 — m © " 2 | ^ ^ | k 0 ' , — m 0 ' 2 | + |k@"i—m0" 2 | < 1 + 1 = 2 adódik. De k 0 , = m 0 2 (mod In) és | k 0 i — m @ 2 | < 2 viszont csak úgy teljesülhet egyidejűleg, ha k 0,. = m 02 vagyis &i és 02 valóban lineárisan függőek a racionális számtest felett. A 2. Tétel bizonyítása: P r Tegyük fel, hogy vannak olyan — és zérustól különböző racionális számok, hogy — + — 02 = 0. (13) q s Akkor vannak olyan k és ra pozitív egész számok is (k, m) = 1 feltétellel úgy, hogy k 0L = m 0 2 és így cos2 k 01 = cos2 m 02. (14) Az 1. Lemma alapján cos2 k 0 i redukált a lak jának nevezője cf összes párat lan prímtényezőjével, a cos2 m 0 2 redukált a lak jának nevezője pedig c | összes páratlan prímtényezőjével osztható. Ekkor viszont nem állhat fenn a cos2 k 0 i = = cos2 m 02 egyenlőség, mer t redukált a lakja ik nevezői a tételben szereplő p tényezőben különböznek. A 3. Tétel bizonyítása: V-) s Tegyük fel, hogy a zérustól különböző — és racionális számokkal fennáll a q r q s egyenlőség. Ekkor találhatunk olyan k és m pozitív egész számokat, melyek relatív primek és melyekkel k 0 i = m 02, 572 és így cos k — cos m f)i teljesü1., A 2. Lemma alapján cos k S\ redukált alakjának nevezőjét a t\ minden páratlan prímtényezője, a cos m (92 redukált alakjának nevezőjét pedig U minden párat-lan prímtényezője osztja. De akkor a cos k Q\ — cos m egyenlőség nem állhat fenn, mert redukált alakjaik nevezői a tételben szereplő p tényezőben különböznek. IRODALOM 1. Niven—Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe, Műszaki Könyvkiadó Bp. 1978. 2. S. Chowla, P. Hartung, G. Ster l ing: On The Linear independence of cer ta in numbers over the field of rat ionals Theori, and computing Boca Raton 1979, vol. I. Congr. Numera t ium 23, pp. 261—262. (1979). 3. H. Molnár Sándor : Egészoldalú derékszögű háromszögek szögeiről, Matemat ikai Lapok (megjelenés alatt). 573 ON THE LINEAR INDEPENDENCE OF ANGLES OF TRIANGLES by Sándor Molnár (Summary) Let ai5 bi, ci (i = 1, 2, . . n) be sides of rectangular triangles so that — al9 bi, ci are integers and Cj, ai? bj are coprime — c'j s are distinct prime integers — 0 i is one of the acute angles of a triangle with sides a i ; bi, q. It is shown in [2] that 0 i (i = 1, 2,. . ., n) are linearly independent over the rational field. We studied this problem in [3] when Ci' s are not necessarily prime integers. In this paper — in case n = 2 — we give a necessary and sufficient condition for the sides so that Q\ s are linearly dependent over the rationals. If the q ' s are not necessarily integers then we prove a sufficient condition for the sides so that @i (i = 1, 2) are linearly independent over the rationals. Among others we prove the following result. Let ai, bi, ci and a2, bo, c? be sides of two arbitrary distinct triangles, let ai, bh q (i = 1,2) be integers and where (si, ti) = 1 (i = 1, 2). If there is an odd prime integer p, which divides exactly one of t; and to, then Si and (9o are linearly independent over the rationals. 0\ = arc cos > 2 . 2 2 bi +Cj — a j 2bi Ci U 574 

Háromszögek szögeinek lineáris függetlenségéről

http://publikacio.uni-eszterhazy.hu/1610/1/567-574_H_Molnar.pdf

Háromszögek szögeinek lineáris függetlenségéről

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

EKE Repository of Publications