Ce travail a pour cadre la détermination de fonctions de réponse en fréquence (FRF) par synthèse modale. La modélisation probabiliste des paramètres d'entrée du modèle conduit à un problème aux valeurs propres aléatoires. Nous nous intéressons à la représentation de la structure de dépendance entre les valeurs propres et son influence sur la densité de probabilité de la FRF . Cette structure de dépendance est modélisée par une copule identifiée à partir de simulations de Monte-Carlo. En adaptant les travaux de C. Heinkelé au cas de l'amortissement critique, nous obtenons les expressions analytiques des densités de probabilité de la FRF d'un oscillateur harmonique. Nous utilisons ces résultats afin d'exprimer la densité jointe d'un vecteur de N oscillateurs connaissant la loi jointe des N premières valeurs propres du système

Dubreuil, Sylvain

Petitjean, Frank

Salaün, Michel

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 To cite this document: Dubreuil, Sylvain and Petitjean, Frank and Salaün, Michel Etude numérique de l'influence de la structure de dépendance des valeurs propres en synthèse modale probabiliste. (2013) In: CFM 2013 - 21ème Congrès Français de Mécanique, 26-30 Aug 2013, Bordeaux, France. (Unpublished) Open Archive Toulouse Archive Ouverte (OATAO)  OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and makes it freely available over the web where possible.  This is an author-deposited version published in: http://oatao.univ-toulouse.fr/  Eprints ID: 9176 Any correspondence concerning this service should be sent to the repository administrator: staff-oatao@inp-toulouse.fr  Etude nume´rique de l’influence de la structure dede´pendance des valeurs propres en synthe`se modaleprobabiliste.S. Dubreuila,b, F. Petitjeanb, M.Salau¨naa. Institut Catholique d’Arts et Me´tiers (ICAM), F-31055 Toulouseb. ISAE-Institut Cle´ment Ader (ICA), F-31300 ToulouseRe´sume´ :Ce travail a pour cadre la de´termination de fonctions de re´ponse en fre´quence (FRF) par synthe`semodale. La mode´lisation probabiliste des parame`tres d’entre´e du mode`le conduit a` un proble`me auxvaleurs propres ale´atoires. Nous nous inte´ressons a` la repre´sentation de la structure de de´pendanceentre les valeurs propres et son influence sur la densite´ de probabilite´ de la FRF . Cette structurede de´pendance est mode´lise´e par une copule identifie´e a` partir de simulations de Monte-Carlo. Enadaptant les travaux de C. Heinkele´ au cas de l’amortissement critique, nous obtenons les expressionsanalytiques des densite´s de probabilite´ de la FRF d’un oscillateur harmonique. Nous utilisons cesre´sultats afin d’exprimer la densite´ jointe d’un vecteur de N oscillateurs connaissant la loi jointe desN premie`res valeurs propres du syste`me.Abstract :This study takes place in the context of frequency response function (FRF) evaluated by modal syn-thesis. Uncertainties affecting model input parameters lead to a random eigenvalue problem. We areinterested in modeling the dependence structure of eigenvalues and observing its impact on FRF. De-pendence structure is modeled by a copula which identification is perfomed by Monte-Carlo method.Adapting the work of C. Heinkele´ to critical damping, we get analytical expressions of probability den-sity function of the random oscillator FRF. We use this results to express the joint density of a Ndimensional random vector.Mots clefs : oscillateur ale´atoire ; synthe`se modale ; copule1 Oscillateur ale´atoireNous rappelons que, dans le cas de´terministe, le point de de´part de la synthe`se modale est l’e´tude del’oscillateur a` un degre´ de liberte´ dont la fonction de transfert s’e´crit :H(ω) =−ω2 + λ(−ω2 + λ)2 + 4ξ2λω2 + j−2ξ√λω(−ω2 + λ)2 + 4ξ2λω2avec j2 = −1, ω la pulsation conside´re´e, λ le carre´ de la pulsation propre et ξ le coefficient d’amor-tissement critique.Les incertitudes sur les proprie´te´s de l’oscillateur (masse et raideur) conduisent a` une pulsation propreale´atoire. Notons λ la variable ale´atoire mode´lisant le carre´ de cette pulsation propre ale´atoire, dedensite´ de probabilite´ pλ et H(ω) la fonction de transfert ale´atoire correspondante. On conside`re lecoefficient d’amortissement ξ comme de´terministe. Nous suivons la de´marche propose´e par [5], enl’adaptant au cas de l’amortissement critique, afin d’obtenir les expressions des densite´s de probabilite´des parties re´elle et imaginaire de H(ω). La me´thodologie e´tant similaire pour les parties re´elle et1imaginaire (ou le module et la phase), nous de´taillons seulement le cas de la partie re´elle de H(ω).Nous obtenons pour densite´ de probabilite´ de la partie re´elle l’expression :pRe(H)(Re(h);ω, ξ) =|1− 4ω2ξ2Re(h)−√u|2Re(h)2√upλ(1 + 2ω2(1− 2ξ2)Re(h)−√u2Re(h))+|1− 4ω2ξ2Re(h) +√u|2Re(h)2√upλ(1 + 2ω2(1− 2ξ2)Re(h) +√u2Re(h))(1)avec u =(16ω4 ξ4 − 16ω4 ξ2) Re (h)2 − 8ω2 ξ2Re (h) + 1 et Re(h) ∈ [ 14ξω2 (ξ−1) ; 14ξω2 (ξ+1)] .Dans [5] des expressions analogues (obtenues pour un mode`le d’amortissement totalement de´termi–niste) sont exploite´es de fac¸on analytique pour pλ suivant une loi uniforme. Nous proposons d’exploiterl’expression (1) par inte´gration nume´rique, celle-ci e´tant inte´grable si λ est une variable ale´atoired’ordre deux. Cette hypothe`se est physiquement re´aliste puisque les variations de la pulsation propresont dues aux variations des parame`tres d’entre´e, borne´es dans notre cas. La figure 1 i) donne l’allurede la densite´ pRe(H)(Re(h);ω, ξ) lorsque pλ est une densite´ normale de moyenne 2202 et de coefficientde variation 10% pour diffe´rentes pulsations ω. Le coefficient d’amortissement critique ξ est e´gal a` 2%.−0.0004 −0.0003 −0.0002 −0.0001 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004Re(h(ω))020000400006000080000100000p Re(H(ω))Allure de pRe(H(ω)), pλ ∼ N(2202; 0, 10× 3302)ω = 100ω = 200ω = 220ω = 240ω = 340100 150 200 250 300 350ω−0.0003−0.0002−0.00010.00000.00010.00020.0003Re(H(ω))Quantiles a` 2, 5%, 50% et 97, 5%Comparaison avec Monte-Carlo, 1000000 tiragesIntegrationMonte-Carloi) ii)Figure 1 – i) Allure de la densite´ de la partie re´elle de la fonction de transfert d’un oscillateur devaleur propre ale´atoire lorsque λ suit une loi normale de moyenne 2202 et de coefficient de variation10% ; ii) Quantiles a` 2, 5%, 50% et 97, 5% - Comparaison entre inte´gration nume´rique et simulationsde Monte-Carlo.L’inte´gration nume´rique de l’expression (1) pre´sente deux difficulte´s. Tout d’abord, concernant leslimites infinies aux bords du domaines, le proble`me est re´solu en inte´grant nume´riquement sur ledomaine ou` la fonction est re´gulie`re [ 1−4ξω2 (ξ−1) ,1−4ξω2 (ξ+1) ] et en inte´grant analytiquement un e´quivalentde la fonction sur [ 14ξω2 (ξ−1) ,1−4ω2 (ξ−1) ] et [1−4ξω2 (ξ+1) ,14ξω2 (ξ+1) ]. La seconde difficulte´ concerne la formede la fonction lorsque ω s’eloigne de√λ (visible sur la figure 1 i) pour les pulsations ω = 100 rad.s−1 etω = 340 rad.s−1). La densite´ tend vers une densite´ de Dirac en ze´ro. Il est donc ne´cessaire d’adapterle sche´ma d’inte´gration au gradient de la fonction. Une fois ces pre´cautions prises, nous utilisonsl’inte´gration de la densite´ de probabilite´ pour obtenir les grandeurs caracte´risant la dispersion de lapartie re´elle de la FRF de l’oscillateur (moyenne, e´cart type, quantiles). A titre d’exemple, la figure 1ii) pre´sente les quantiles a` 2, 5%, 50% et 97, 5% obtenus par inte´gration compare´s a` une simulation deMonte-Carlo d’un million de tirages. Les parame`tres de l’exemple sont les meˆmes que pre´ce´demment.Les re´sultats pre´sente´s par la figure 1 ii) permettent d’eˆtre confiant quant a` la me´thode d’inte´grationnume´rique de´veloppe´e.Afin d’adapter la me´thode de synthe`se modale au cadre probabiliste, nous pre´sentons maintenant unege´ne´ralisation de ces re´sultats a` un syste`me a` plusieurs degre´s de liberte´ (ddl).22 Syste`me a` plusieurs ddl.2.1 Synthe`se modaleOn conside`re le mode`le me´canique d’une structure obtenu par discre´tisation e´le´ments finis. On note[M], [K] et [D] les matrices de masse, de rigidite´ et d’amortissement du mode`le moyen. Ce mode`le moyenest le mode`le me´canique pour lequel les variables ale´atoires mode´lisant les parame`tres d’entre´e, sontremplace´es par leurs valeurs moyennes. L’e´quation du mouvement dans le domaine fre´quentiel s’e´critalors :(−ω2 [M] +jω [D] + [K]) y(ω) = f(ω) , (2)ou` y(ω) est le vecteur des ddl moyens et f(ω) le vecteur des efforts exte´rieurs moyens applique´s auxddl de la structure. La synthe`se modale s’appuie sur la re´solution du proble`me aux valeurs propressuivant :(−ω2 [M] + [K]) y = 0 . (3)L’inte´reˆt de la synthe`se modale est de se´lectionner une base de vecteurs propres [ϕ] de dimension Nfaible devant le nombre total de ddl de la structure. On notera λk , k = 1, · · · , N , les valeurs proprescorrespondantes. En effet, les premiers modes suffisent a` de´crire le comportement basse fre´quence dela structure. La projection de l’e´quation (2) dans cette base conduit a` une re´duction du proble`mee´tudie´. En faisant l’hypothe`se que la matrice d’amortissement se diagonalise e´galement dans la base[ϕ] (hypothe`se de Basile commune´ment admise), la matrice des fonctions de transfert du syste`mere´duit est diagonale. Son terme diagonal s’e´crit :Hkk(ω) =−ω2 + λk(−ω2 + λk)2 + 4ξ2kλkω2+ j−2ξk√λkω(−ω2 + λk)2 + 4ξ2kλkω2, (4)ou` l’on reconnaˆıt l’e´quation de l’oscillateur de´crit dans la premie`re partie. Ainsi, la fonction de transfertentre deux ddl a et b de la structure s’e´crit : [F ]ab =∑Ni=1[H]ii[ϕ]bi[ϕ]ai .Les incertitudes sur les parame`tres d’entre´e de la structure vont conduire a` un proble`me aux valeurspropres ale´atoires. Afin de simplifier ce proble`me, nous faisons l’hypothe`se que la base des vecteurspropres ale´atoires reste proche de la base moyenne [ϕ]. Ainsi l’ale´a est uniquement porte´ par lamatrice des fonctions de transfert ale´atoires [H] dont chaque terme diagonal est un oscillateur ale´atoiree´tudie´ dans la premie`re partie. Nous conside´rons donc le vecteur ale´atoire Re({H}) de densite´ jointepRe({H})(Re({h})). La transformation permettant de calculer la fonction de transfert entre deux ddla et b e´tant une combinaison line´aire des variables ale´atoires de ce vecteur, la fonction caracte´ristiquede Re(Fab) s’e´crit :ΦRe(Fab)(v) =∫RNexp(j < v,N∑i=1Re(hi)[ϕ]bi[ϕ]ai) >)pRe({H})(Re({h}))dRe({h}) . (5)Une fois la fonction caracte´ristique calcule´e, plusieurs me´thodes sont disponibles afin d’acce´der auxgrandeurs caracte´risant la dispersion de Re(Fab) (densite´ de probabilite´, fonction de re´partition).L’e´quation (5) est une inte´grale de dimension N relativement a` la densite´ jointe du vecteur Re({H}).Il est donc important de connaˆıtre la structure de de´pendance de ce vecteur.2.2 Mode´lisation de la structure de de´pendance de Re({H})Afin d’illustrer et de justifier le besoin de mode´lisation de la structure de de´pendance de Re({H}), nousintroduisons l’exemple du satellite Taranis. Nous conside´rons le mode`le e´le´ments finis pre´sente´ par lafigure 2 i). Certains parame`tres d’entre´e de ce mode`le sont ale´atoires, de lois connues, et inde´pendants(il s’agit de parame`tres mate´riaux et de parame`tres ge´ome´triques). La figure 2 ii), obtenue par untirage de Monte-Carlo de 100 re´alisations, illustre la de´pendance des deux premie`res valeurs propresde ce syste`me. Il apparaˆıt clairement que celles-ci sont corre´le´es (meˆme si les parame`tres d’entre´e dumode`le sont inde´pendants). Ainsi, les termes du vecteur Re({H}) vont eˆtre corre´le´s. Nous proposons360000 62000 64000 66000 68000 70000λ1700007200074000760007800080000λ2De´pendance des deux premie`res valeurs propres du mode`le TARANIS100 tiragesi) ii)Figure 2 – i) Mode`le e´le´ments finis du satellite TARANIS. ii) Allure de la de´pendance des deuxpremie`res valeurs propres du mode`le.donc d’identifier la structure de de´pendance des valeurs propres par une copule puis d’expliciter ladensite´ pRe({H})(Re({h})) en fonction de cette copule et des densite´s marginales pλi .Dans la suite, nous explicitons le cas N = 2 afin de simplifier les e´critures, la ge´ne´ralisation e´tantimme´diate. De plus, en pratique, le cas N = 2 risque d’eˆtre le plus fre´quemment rencontre´ car lade´pendance des valeurs propres ne doit eˆtre mode´lise´e que si les modes concerne´s interviennent sur lameˆme bande de fre´quences. On suppose donc que l’on peut identifier la copule de densite´ c permettantd’expliciter la densite´ jointe des valeurs propres de la fac¸on suivante :pλ1,λ2(λ1, λ2) = pλ1(λ1)× pλ2(λ2)× c(Fλ1(λ1), Fλ2(λ2))ou` Fλi est la fonction caracte´ristique de λi. L’existence de cette copule est assure´e par la the´ore`me deSklar [6]. La the´orie des copules est pre´sente´e dans [6] et on trouvera une description tre`s accessibledans [2]. Avec ce mode`le de loi jointe des valeurs propres, nous pouvons utiliser les re´sultats classiquesde transformation de variables ale´atoires en dimension 2 (de´marche analogue a` celle de la partie 1 maisen dimension deux) et les re´sultats sur les transformations de copule (pre´sente´s dans [6] et adapte´sa` notre cas), ce qui nous permet au final d’obtenir l’expression analytique de la densite´ jointe deRe({H}). En appelant Fi la fonction, Fi : R→[14ξiω2 (ξi−1) ;14ξiω2 (ξi+1)], telle que :Fi(λi ; ξi, ω) = Re(H) = −ω2 + λi(−ω2 + λi)2 + 4ξ2i λiω2(6)nous obtenons :pRe({H})(Re({h})) = (7)2∑i,j=1[pλ1(F−1i (Re(H1)))|J(F−1i (Re(H1)))|× pλ2(F−1j (Re(H2)))|J(F−1j (Re(H2)))|× c(Fλ1(F−1i (Re(H1))), Fλ2(F−1j (Re(H2))))].3 Illustrations nume´riquesNous conside´rons l’exemple suivant :- pλ1 est une densite´ normale de moyenne 2202 et de coefficient de variation 0, 10 et ξ1 = 0.02 ;- pλ2 est une densite´ uniforme sur [2202; 2702] et ξ2 = 0.01 ;- c est la densite´ d’une copule normale, de parame`tre τ = 0, 95, appele´ coefficient de corre´lationde Kendall. Nous ne de´taillerons pas ici les parame`tres des copules, ceux-ci pouvant eˆtre trouve´spar exemple dans [6] ou dans [7]. La figure 3 i) pre´sente les densite´s marginales pλ1 et pλ2 et 3 ii)illustre la corre´lation de ces deux valeurs propres. En appliquant la formule (7), a` ω = 235 rad.s−1,nous obtenons la loi jointe du vecteur Re({H}), celle-ci est illustre´e par la figure 4 ii). La figure 4 i)repre´sente la densite´ jointe obtenue par tirage de Monte-Carlo. Enfin, la figure 4 iii) donne la densite´420000 30000 40000 50000 60000 70000 80000λ0.000000.000010.000020.000030.000040.000050.000060.000070.00008Densite´s marginales de λ1 and λ2pλ1pλ230000 35000 40000 45000 50000 55000 60000 65000 70000λ145000500005500060000650007000075000λ2Random simulations of λ1, λ2.i) ii)Figure 3 – i) Marginales pλ1 et pλ2 . ii) Allure de la de´pendance des deux premie`res valeurs propres.−0.0002 −0.0001 0.0000 0.0001 0.0002Re(H1)−0.0004−0.00020.00000.00020.0004Re(H2)Densite´ jointe empirique de Re({H}),5000 simulations.−0.0002 −0.0001 0.0000 0.0001 0.0002Re(H1)−0.0004−0.0003−0.0002−0.00010.00000.00010.00020.00030.0004Re(H2)Simulation de la densite´ jointe de Re({H}).−0.0002 −0.0001 0.0000 0.0001 0.0002Re(H1)−0.0004−0.0003−0.0002−0.00010.00000.00010.00020.00030.0004Re(H2)Simulation de la densite´ jointe de Re({H}).i) ii) iii)Figure 4 – i) Densite´ jointe empirique obtenue par 5000 tirages de Monte-Carlo. ii) Simulation de ladensite´ jointe par la formule (7). iii) Simulation de la densite´ jointe par la formule (7), sans prendreen compte la corre´lation des valeurs propres.jointe obtenue en conside´rant les deux valeurs propres comme inde´pendantes. Nous voyons donc quel’expression analytique (7) est correcte et que la densite´ jointe de Re({H}) est fortement influence´epar la corre´lation des valeurs propres.Nous restons dans les conditions de l’exemple pre´ce´dent (ω = 235 rad.s−1) et l’on conside`re [ϕ]bi =[ϕ]ai = 1. La fonction caracte´ristique d’une FRF entre deux ddl a et b du mode`le est obtenue encalculant nume´riquement l’inte´grale double (5). Cette inte´gration nume´rique demande de nombreusespre´cautions puisque les meˆmes proble`mes que pour la dimension un se posent. Une fois la fonctioncaracte´ristique calcule´e, nous obtenons la fonction de re´partition par la formule de Gil-Pelaez [4], etplus pre´cise´ment la me´thode de´crite dans [3]. Nous calculons e´galement la densite´ de probabilite´ deRe(Fab) par la formule sommatoire de Poisson comme de´crit dans [1]. Les figures 5 i) et ii) illustrentles fonctions de re´partition et les densite´s obtenues en prenant en compte ou non la corre´lation desvaleurs propres, et en comparant a` chaque fois avec une me´thode de Monte-Carlo d’un million detirages.Enfin, nous utilisons cette me´thode afin de de´terminer les quantiles a` 2, 5%, 50% et 97, 5% de Re(Fab)sur une bande de pulsation ω ∈ [170; 290]. La performance de la me´thode d’inte´gration et l’inte´reˆt deprendre en compte la corre´lation apparaissent une nouvelle fois sur la figure 6.4 ConclusionsLe but de cet article e´tait, d’une part, de montrer que la the´orie des copules pouvait servir a` mode´liserla corre´lation des valeurs propres et, d’autre part, d’e´valuer l’influence de cette corre´lation sur unefonction de re´ponse en fre´quence. Il apparaˆıt clairement sur les diffe´rents exemples traite´s que l’influ-ence de la corre´lation n’est pas ne´gligeable. Il reste cependant a` quantifier cette influence en fonctiondu type de de´pendance et de son importance (parame`tre de la copule).5−0.0008 −0.0006 −0.0004 −0.0002 0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008Re(fab)−0.20.00.20.40.60.81.01.2P(Re(Fab)<Re(f ab))Fonction de repartition de Re(Fab), ω = 325rad.s−1.Monte-CarloCas corre´le´Cas inde´pendant−0.0008 −0.0006 −0.0004 −0.0002 0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008Re(fab)−50005001000150020002500300035004000p Re(Fab)(Re(f ab))Densite´ de Re(Fab), ω = 325rad.s−1.Cas corre´le´Cas inde´pendantMonte-Carloi) ii)Figure 5 – i) Fonctions de re´partition ii) Densite´ de probabilite´, obtenues en prenant en compte, ounon, la corre´lation des valeurs propres, comparaison avec la me´thode de Monte-Carlo160 180 200 220 240 260 280 300ω−0.0008−0.0006−0.0004−0.00020.00000.00020.00040.00060.0008Re(f ab)Quantiles de Re(Fab), 2, 5%, 50% et 97, 5%Monte-CarloCas corre´le´Cas inde´pendantDe´terministeFigure 6 – Quantiles a` 2, 5%, 50% et 97, 5%.Remerciements : Ce travail a e´te´ finance´ par le Centre National d’E´tudes Spatiales (CNES) etThales Alenia Space (TAS). Les auteurs remercient Fabrice Buffe (CNES), Je´roˆme Buffe et AnneGiovannini (TAS) pour leur soutien.Re´fe´rences[1] J. Abate and W. Whitt. The Fourier-series method for inverting transforms of probability distri-butions. Queueing Systems, 10 :5–88, 1992.[2] P. Clauss. The´orie des copules. Notes de cours, ENSAI.[3] R. B. Davies. Numerical inversion of a characteristic function. Biometrika, 60 :415–417, 1973.[4] J. Gil-Pelaez. Note on the inversion theorem. Biometrika, 38 :481–483, 1951.[5] C. Heinkele´. Synthe`se modale probabiliste. The´orie et applications. PhD thesis, Universite´ ClaudeBernard-Lyon I, Lyon, 2008.[6] R. Nelsen. An introduction to copulas. Springer, 2006.[7] OpenTURNS. OpenTURNS : Reference Guide, V.0.15, 2011. http://trac.openturns.org.6

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