This work discusses an iterative procedure of shaping offset dual-reflector antennas based on geometrical optics considering both far-field and near-field measurements of amplitude and phase from the feed horn. The surfaces synthesized will transform a known radiation field of a feed to a desired aperture distribution. This technique is applied for both circular and elliptical apertures and has the advantage to simplify the problem compared with existing techniques based on solving nonlinear differential equations. A MATLAB tool has been developed to implement the shaping algorithms. This procedure is applied for the design of a 1.1 m high-gain antenna for the ESA’s Solar Orbiter spacecraft. This antenna operating at X-band will manage high data rate and high efficiency communications with Earth stations

Fachar, Ahmed

Haro Ariet, Leandro de

Servicio de Coordinación de Bibliotecas de la Universidad Politécnica de Madrid

  
 
Conformación de superficies reflectoras de 
sistemas dobles de tipo offset con 
alimentadores descritos en campo próximo 
Ahmed Fachar(1), Leandro de Haro Ariet(1) 
ahmedfach@gr.ssr.upm.es, leandro@gr.ssr.upm.es 
(1) Grupo de radiación, Departamento de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones, 
Universidad Politécnica de Madrid, Av. Complutense 30,28040 Madrid 
 
 
Abstract- This work discusses an iterative procedure of 
shaping offset dual-reflector antennas based on geometrical 
optics considering both far-field and near-field measurements of 
amplitude and phase from the feed horn. The surfaces 
synthesized will transform a known radiation field of a feed to a 
desired aperture distribution. This technique is applied for both 
circular and elliptical apertures and has the advantage to 
simplify the problem compared with existing techniques based 
on solving nonlinear differential equations. 
A MATLAB tool has been developed to implement the shaping 
algorithms. 
This procedure is applied for the design of a 1.1 m high-gain 
antenna for the ESA’s Solar Orbiter spacecraft. This antenna 
operating at X-band will manage high data rate and high 
efficiency communications with Earth stations.  
I. INTRODUCCIÓN 
Antenas reflectoras dobles de tipo offset son muy 
interesantes para sistemas de comunicaciones por satélite 
porque presentan la gran ventaja de cancelar el efecto de 
bloqueo debido a la presencia del alimentador presente en 
antenas reflectoras dobles centradas.  
Sin embargo, la asimetría de este tipo de estructuras 
introduce radiación contrapolar. En el caso de trabajar en 
polarización circular, se produce un desapuntamiento. 
Para minimizar estos inconvenientes, se emplean las 
condiciones de Mizuguchi [1] y de Rusch [2]. 
Para mejorar la eficiencia de la apertura, las superficies 
reflectoras de la antena deben ser conformadas.  
Las técnicas de conformación están basadas en los 
principios de Óptica Geométrica. Las superficies reflectoras 
que vamos a sintetizar servirán para transformar un diagrama 
de radiación de un alimentador arbitrario en la distribución de 
campo que queremos tener en la apertura: por ejemplo desde 
uniforme hasta del tipo Taylor. 
Varios autores [3-6] han trabajado sobre el tema de 
conformación de superficies de antenas reflectoras. Sin 
embargo, los métodos de resolución propuestos por estos 
autores son bastante complejos y se trata de encontrar 
métodos más sencillos. 
El procedimiento de conformación presentado en este 
articulo se basa en la interpretación realizada de un método 
geométrico de trazado de rayos explicado en [7]. Tiene la 
ventaja de que la síntesis no se realiza anillo por anillo como 
en [6] sino rayo por rayo, lo que reduce el problema a la 
resolución de ecuaciones algebraicas y no de ecuaciones 
diferenciales como en [3-6], por lo tanto con soluciones más 
fáciles de encontrar y de controlar. 
En la sección II se explicará el procedimiento de 
conformación (Geometría del problema, Condiciones a 
cumplir, pasos a seguir, aplicación en campo lejano, 
descripción de alimentadores en campo próximo…). En la 
sección III se describirá la aplicación desarrollada en 
MATLAB para implementar este procedimiento. En la 
sección IV se discutirán los resultados al aplicar esta 
herramienta MATLAB para el diseño de una antena reflectora 
doble con configuración offset de tipo Gregoriano 
conformada con un diámetro de apertura de 1.1 m para 
comunicaciones por satélite en banda X. 
II. DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO 
 
A. Geometría del problema: 
La geometría de la antena reflectora doble offset de tipo 
Gregoriano que vamos a considerar para la síntesis de las 
superficies conformadas es la que se muestra en Fig.1. 
Definimos como plano de simetría de la antena el plano XZ. 
Desde el alimentador parten rayos definidos por sus 
coordenadas esféricas (θm,ϕn) en el sistema de coordenadas 
del alimentador (fa,  , , ). 
Estos rayos forman M anillos. Cada anillo se define por 
un valor entero de m=1..M, siendo M el anillo que 
corresponde al borde del subreflector. Cada anillo  
corresponde a un valor de θ=0..θE, siendo θE ángulo 
subtendido por el borde del subreflector. Cada anillo está 
formado por N rayos. Cada rayo se define por un valor entero 
de n=1..N, siendo N un numero par. Cada rayo corresponde a 
un valor de fase ϕ distinto. 
Estos rayos se reflejan una primera vez en el punto Sm,n 
de la superficie del subreflector y por segunda vez en el 
punto Mm,n de la superficie del reflector principal antes de 
intersecar el plano de apertura en el punto Am,n definido por 
sus coordenadas (ρm,n,φm,n).  
 
B. Parámetros iniciales: 
Alimentador: Diagrama de radiación empleado G, el 
ángulo subtendido por el borde del subreflector θE y los 
puntos centrales del alimentador fa  y del subreflector So. 
 
Apertura: Distribución de campo deseada en la apertura E, 
el diámetro de la apertura Dx=2.ρm y Dy=2.a.ρm (a=1 para 
apertura circular y a≠1 para apertura elíptica) y el punto 
central del reflector principal Mo. 
  
 
Fig. 1 Geometría de una antena reflectora doble offset de tipo Gregoriano 
usada para el procedimiento de conformación  
 
C. Condiciones: 
El algoritmo impone cuatro condiciones a cumplir para 
realizar la sintesis de las superficies reflectoras: La ley de 
conservación de la potencia, la condición de longitud del 
camino óptico recorrido por cada rayo, la condición de 
derivabilidad total y  la ley de Snell. 
 
Ley de conservación de la potencia: 
La potencia total dentro de un elemento infinitesimal de la 
esfera unitaria sinθ.dθ.dϕ tiene que ser igual a la potencia que 
se propaga a traves de un elemento infinitesimal  de la 
apertura ρ.dρ.dφ 
( ) (
( ) )
E M
p A
p A
θ ρ
θ ρ
)
=
(
→
2
2
0 0
2
2
0 0
 ( ) ( ', ). sin( '). ' .
 ( ) ( ', ). ' . ' .
p G d d
A E d d
pi θ
ρpi
θ θ φ θ θ φ
ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ
=
=


 
 
 
  
∫ ∫
∫ ∫
 (1) 
Resolviendo esta ecuación, se consigue relacionar la 
variable ρ de la apertura con la variable θ  del alimentador 
ρm,n=ρ(θm). Se define la función de mapping f como aquella 
que relaciona la variable del alimentador ϕ y la variable φ de 
la apertura. En el caso de emplear un mapping 
rotacionalmente simétrico, la función de mapping es nula. 
En realidad el mapping rotacionalmente simétrico, aun 
siendo el mapping óptimo, no es posible ya que no es 
realizable para sistemas offset. Por lo tanto se va a elegir 
funciones de mapping f no nulas ligeramente desviadas con 
respecto a la función de mapping rotacionalmente simétrica.  
 
Condición de la longitud del camino óptico recorrido: 
En campo lejano, se exige que todos los rayos desde que 
parten del alimentador hasta que llegan al plano de apertura 
tras reflejarse en el subreflector y en el reflector principal 
deben reccorrer la misma distancia.  
Esta distancia constante sería igual a la longitud del camino 
que recorre el primer rayo  Lo. 
 
, , , , , ,
,
m n a m n m n m n m n m n
m n o a o o o o o
L f S S M M A
L L f S S M M A
= + +
= = + +
. (2) 
Esta condición nos asegura que la fase del campo en la 
apertura sea constante en campo lejano y asi compensar los 
errores de fase del alimentador. 
 
Condicion de derivabilidad total y ley de Snell: 
Cualquier punto r(θ+dθ,ϕ+dϕ) se debe determinar a partir 
del punto r(θ,ϕ) independientemente del camino recorrido 
entre estos 2 puntos. En la práctica las superficies reflectoras 
deben satisfacer  = . Asi cualquier punto Sm,n del 
subreflector  puede ser alcanzado desde Sm-1,n-1 a través de  
Sm-1,n o Sm,n-1 y cualquier punto Mm,n del reflector principal 
puede ser alcanzado desde Mm-1,n-1 a través de Mm-1,n  o Mm,n-1. 
Así para cada superficie reflectora se puede establecer dos 
ecuaciones usando las notaciones adoptadas en [7] 
 
, 1, , 1,( ).( ) 0S Sm n m n m n m nn n S S− −+ − =   (3) 
 
, , 1 , , 1( ).( ) 0S Sm n m n m n m nn n S S− −+ − =   (4) 
 
, 1, , 1,( ).( ) 0M Mm n m n m n m nn n M M− −+ − =
  
(5) 
 
, , 1 , , 1( ).( ) 0M Mm n m n m n m nn n M M− −+ − =   (6) 
Donde según la ley de reflexión de Snell: 
, , , ,
, ,
, , , ,
ˆ
ˆ ˆˆ
ˆ ˆ
 ; 
ˆ
ˆ ˆˆ
S Mm n m n m n m n
m n m n
m n m n m n m n
a i z a
n n
a i z a
− −
= =
− −
  (7) 
Con 
,
ˆ
m ni , ,ˆm nz y ,ˆm na  los vectores definidos en Fig.1. 
 
D. Descripción del algoritmo de síntesis:
 
Paso1:  
A partir de los parámetros iniciales  especificados en la 
sección (II.B), se caracteriza primero el rayo inicial m=0 
(coordenadas del centro del alimentador fa, de los puntos 
centrales del subreflector So y del reflector principal Mo, 
normales a las superficies Sn0

y Mon

con la ley de reflexión 
de Snell.). 
Paso2:  
Definir el sistema de coordenadas del alimentador descrito en 
la sección (II.A) 
 
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
 ;  ; o af f f f f
o a
S f
z y y x y z
S f
−
= = ± = ×
−
  (8) 
El signo + para los reflectores Cassegrain y el signo – para los 
reflectores Gregoriano  
Paso3:  
Elegir el mallado que define las direcciones de todos los 
rayos que parten del alimentador 
.
( )  con , 1..
( 1).2
0..,
M
m m m
n
m
m M
M
n
N
n N
ρ
θ θ ρ ρ
pi
φ
= = =
−
= =
  (9) 
La relación ( )θ ρ se obtiene aplicando la ley de conservación 
de la potencia mediante la resolución numérica de la ecuación 
(1)  
Paso4:  
Se aplica un proceso iterativo que se encuentra bien explicado 
en Fig. 2 empleando las siguientes ecuaciones: 
, ,
ˆ ˆ ˆ.(sin .cos . sin .sin . cos . )
m n a m n m n f m n f m ff r x y zS θ φ θ φ θ= + + +
  (10) 
  
 
 
, , , , ,
ˆ ˆ.cos .sin
m n o m n m n m n m n
A A x yρ ψ ρ ψ= + +   (11) 
22
, , , , , ,
,
, , , ,
2. . 2.( ).( )1
.
ˆ ˆ2 ( ). ( ).
m n m n m n m n a m n a m n a
m n
m n m n m n a m n a
L L r A f A f S f
z
L r A f z S f z
− − − + − −
=
− − − + −
  
  (12) 
 
, , ,
ˆ
m n m n m n
M A z z= −
  
(13) 
 
 Parámetros iniciales  
Pasos 1,2 y 3 
4 incógnitas 
,|,|,|, 
 
   
 Ley de conservación 
de potencia 
, = () 
3 incógnitas 
,|,|, 
 
  m=1 , n=1 
 
                  Si 
¿El rayo se encuentra o 
no en el plano de 
simetría? 
¿n=1 o n=N/2+1? 
 
 No 
, = 0 
, = ϕ 
 , ≠ 0 
,
= ϕ + , 
   
, = 0 y 
¿ ,? 
1 incógnita 
 ¿ ,, ,? 
2 incógnitas 
   
Resolución de 
Ec. 3 
 Resolución de 
Ec. 3 y 4 
   
 0 incógnitas 
Sm,n (Ec. 10) 
Am,n (Ec. 11) 
zm,n (Ec. 12) 
Mm,n (Ec. 13) 
 
   
If n<N do n=n+1 and if n=N do m=m+1 
 
Fig. 2. Esquema  descriptivo del algoritmo iterativo de síntesis de 
superficies reflectoras conformadas 
E. Descripción de alimentadores en campo próximo: 
Hemos caracterizado el  alimentador en campo proximo, 
por su expansión en modos esféricos.Hemos usado la 
notación Q de los modos esféricos. 
Con el programa SWEP de TICRA, generamos los 
coeficientes Q de onda esférica, y mediante una aplicación 
que implementamos en Matlab determinamos los campos E y 
H a partir de las siguientes expresiones: 
2 max
1 1
( , , ) ( , , )
M N
smn smn
s m M n
E r k Q F rθ φ η θ φ
= =− =
= ∑ ∑ ∑      (14) 
2 max
3
1 1
( , , ) ( , , )
M N
smn smn
s m M n
jk
H r Q F rθ φ θ φ
η −= =− =
= ∑ ∑ ∑     (15) 
Donde k es el numero de onda  = 

 y η la impedancia 
en el vacio  ≅ 120. #. 
 Las expresiones de $%,,(, , &) y $'(%,,(, , &) que hemos 
usado son las que da [8]. Éstas concuerdan con las 
expresiones de Hansen [9], excepto unas pequeñas diferencias 
de unidades. 
 
III. DESCRIPCIÓN DE LA APLICACIÓN 
Parámetros de entrada: 
Tipo de reflector: Gregoriano o Cassegrain, Tipo de 
apertura: Circular o Elíptica, Parámetros de diseño básico, 
Frecuencia, Alimentador: modelo en campo lejano o campo 
cercano, Tipo de distribución de campo en la apertura 
 
Parámetros de salida: 
Geometría, Superficies conformadas, mapping, mallado 
del subreflector y de la apertura aplicando el procedimiento 
explicado en las secciones anteriores 
 
 
Fig. 3 Pantalla principal de la aplicación 
IV. RESULTADOS 
Esta aplicación ha sido usada para el diseño de una antena 
reflectora doble offset de tipo Gregoriano conformada con 
diámetro de apertura de 1.1 m para comunicaciones por 
satélite en banda X. Los parámetros de entrada usados son: 
 
Parámetro Valor 
Distribución en la apertura Apertura parabólica sobre pedestal 
Aperture taper = -6 dB 
Alimentador )() = *+,-() 
Feed Taper = - 20 dB 
Polarización RHCP 
Apertura Circular 
Frecuencia 7.167 GHz lo que da λ = 41.859 mm 
Diámetro apertura D=1100 mm  = 26.279λ 
Diámetro subreflector Vs  =   418.585 mm  = 10λ 
Angulo subtendido  θe   =    18  º 
Longitud total del sistema L    = 1046.463 mm  = 25λ 
Distancia de clearance dc  =   418.585 mm  = 10λ 
Tabla. 1 Parámetros de entrada 
  
 
 
Trazado de rayos y Superficies conformadas: 
Fig. 4 Trazado de los rayos  
 
Fig. 5 Superficies conformadas 
Diagramas de radiación: 
 
Fig. 6. Diagrama de radiación copolar y contrapolar de la 
antena reflectora doble offset de tipo Gregoriano para  
phi=0º, 45º y 90º  a 7.167 GHz 
 Simulación GRASP  Teoría 
Ganancia 37.039 dBi 38.335 dBi 
Ancho de haz a-3 dB  2.571º 2.664º 
Pérdidas totales 1.301 dB 
Eficiencia total  (%) 74.1 % 
El pico de radiación contrapolar está  50 dB por debajo del pico 
de radiación copolar 
El diagrama de radiación cumple los gálibos de la ITU-R580 
Tabla. 2. Resultados conseguidos 
V. CONCLUSIONES 
     En este artículo se ha presentado un procedimiento 
iterativo de síntesis de superficies reflectoras conformadas 
para sistemas reflectores dobles de tipo Offset. Esta 
técnica es válida para todos los modelos de alimentadores 
en campo lejano y campo próximo, para aperturas 
circulares y elípticas y para todas las distribuciones de 
campo en la apertura que queremos. 
La aplicación basada en este  procedimiento da resultados 
correctos (Ganancia, Nivel de lóbulos segundarios, Nivel 
de radiación contrapolar). 
      Sin embargo, algunas mejoras quedan por implementar 
sobre todo para aperturas “súper elípticas” ya que el 
algoritmo presentado da resultados mejorables para 
superficies de gran curvatura. 
AGRADECIMIENTOS 
Los autores quieren agradecer a la Comisión 
Interministerial de Ciencia y Tecnología (CICYT) por la 
financiación del proyecto CROCANTE con referencia 
TEC2008-06736-C03-01/TEC, y a la Universidad 
Politécnica de Madrid por la beca de personal de 
investigación en formación. 
REFERENCIAS 
[1] Y. Mizuguchi, M. Akagawa, and H. Yokoi, “Offset dual reflector 
antennas” in IEEE Antennas Propagat. Soc. Symp. Dig., Amherst, 
MA,pp.2-5,Oct.1976. 
[2] W. V. T. Rusch, Analysis of Rejector Antennas. New York 
Academic,1970. 
[3]. B. Y. Kinber, ‘‘On Two Reflector Antennas’’, Radio Eng. Electron. 
Phys., Vol. 6, June 1962. 
[4]. V. Galindo, ‘‘Design of Dual Reflector Antennas with Arbitrary 
Phase and Amplitude Distribution’’, IEEE Trans. Antennas Propagat., 
Vol. AP-12,July1964,pp.403-408. 
[5]. B. S. Wescott, F. Brickwell, and I. C. Wolton, ‘‘GO Synthesis of 
Offset Dual Reflectors’’, IEEE Proc. Pt. H, Vol. 128, No. 1, 1981, pp. 
11-18. 
[6]. P.-S. Kildal, ‘‘Synthesis of Multi-Reflector Antennas by Kinematic 
and Dynamic Ray Tracing’’, IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol. AP-
38, Oct. 1990, pp. 1587-1599. 
[7]. J.O. Rubiños-Lopez, A. García-Pino,”A ray-by-ray algorithm for 
shaping dual-offset reflector antennas”, Microwave and Optical 
Technology Letters, Vol 15, No. 1,pp. 20-26, May 1997. 
[8]. K. Pontoppidan, GRASP9, Technical Description, TICRA, 
Copenhagen. Denmark, 2005. 
[9]. J.E.Hansen, “Spherical Near-Field Antenna Measurements”, Peter 
Peregrinus Ltd., 1988. 
 
 
 


Conformación de Superficies Reflectoras de Sistemas Dobles de Tipo Offset con Alimentadores descritos en Campo Próximo

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