Cuando se pretende analizar o controlar un sistema cuyo modelo se ha obtenido ´únicamente en base a datos de entrada/salida, es fundamental la precisión en el modelo. Por otro lado, para que el procedimiento sea practico, la etapa de modelado ha de ser eﬁciente computacionalmente hablando. En este sentido, se presenta en este trabajo la aplicación del ﬁltro de Kalman extendido para la adaptación paramétrica de un modelo borros

Andujar Marquez, Jose Manuel

Barragán Piña, Antonio Javier

Jiménez Avello, Agustín

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Adaptación paramétrica de un sistema borroso mediante el filtro de Kalman extendido

Servicio de Coordinación de Bibliotecas de la Universidad Politécnica de Madrid

Adaptacio´n parame´trica de un sistema borroso mediante el
filtro de Kalman extendido
Antonio Javier Barraga´n Pin˜a
Jose´ Manuel Andu´jar Ma´rquez
E.P.S. La Ra´bida, Ctra. Huelva-La Ra´bida s/n, 21071 Palos de la Ftra. (Huelva),
{antonio.barragan, andujar}@diesia.uhu.es
Agust´ın Jime´nez Avello
E.T.S. de Ingenieros Industriales, J. Gutie´rrez Abascal, 2. 28006 Madrid, agustin.jimenez@upm.es
Resumen
Cuando se pretende analizar o controlar un sis-
tema cuyo modelo se ha obtenido u´nicamente en
base a datos de entrada/salida, es fundamental la
precisio´n en el modelo. Por otro lado, para que
el procedimiento sea pra´ctico, la etapa de modela-
do ha de ser eficiente computacionalmente hablan-
do. En este sentido, se presenta en este trabajo la
aplicacio´n del filtro de Kalman extendido para la
adaptacio´n parame´trica de un modelo borroso.
Palabras clave: Filtro de Kalman, estimacio´n,
modelado.
1. INTRODUCCIO´N
El filtro de Kalman se ha utilizado junto con la
lo´gica borrosa en diversas aplicaciones, como en
la extraccio´n de reglas a partir de una base de re-
glas dada [19], en optimizacio´n de los para´metros
de mecanismos de defuzificacio´n basados tanto en
distribuciones Gaussianas como polino´micas [8], o
en la optimizacio´n de los consecuentes de modelos
Takagi-Sugeno [13]. En 2002, Simon introdujo el
uso del filtro de Kalman para la adaptacio´n de los
para´metros de un modelo borroso [14], asumiendo
que los antecedentes eran funciones de pertenen-
cia triangulares, y utilizando el centro de gravedad
de dichas funciones de pertenencia para realizar el
proceso de adaptacio´n. Sin embargo, la comple-
jidad del calculo para otro tipo de funciones de
pertenencia ha provocado que esta propuesta no
haya sido generalizada hasta el momento [14].
En este trabajo se presentan los primeros resul-
tados obtenidos por los autores para el uso del
filtro de Kalman extendido (EKF, Extender Kal-
man Filter) en la estimacio´n de los para´metros
adaptables de un modelo borroso general, esto es,
sin restricciones ni en el taman˜o de los vectores de
entrada o salida, ni en el tipo o distribucio´n de las
funciones de pertenencia utilizadas en la definicio´n
de los conjuntos borrosos del modelo. De esta for-
ma, los autores pretenden emplear las excelentes
caracter´ısticas del filtro de Kalman para la obten-
cio´n de modelo borrosos de sistemas en principio
desconocidos a partir de datos de entrada/salida
de los mismos.
El presente art´ıculo se organiza como sigue: en la
seccio´n 2 se presenta el problema del modelado
borroso de forma completamente general, y se es-
tablece la notacio´n a utilizar a lo largo del art´ıculo.
La seccio´n 3 esta´ dedicada a la presentacio´n for-
mal del filtro de Kalman extendido y su utilizacio´n
para el modelado de sistemas. Posteriormente, en
la seccio´n 4, se resuelve el ca´lculo de las derivadas
para la aplicacio´n del filtro de Kalman extendido
al problema del modelado borroso, manteniendo
la generalidad del problema y teniendo en cuenta
que se incluira´n en el proceso de modelado tanto
los para´metros adaptables de los antecedentes co-
mo de los consecuentes de las reglas. Finalmente,
en la seccio´n 5 se presentan algunas conclusiones
y l´ıneas futuras de trabajo.
2. FORMULACIO´N DEL
PROBLEMA
Dado que la consecucio´n de un modelo adecuado
es un paso fundamental para la posterior aplica-
cio´n de distintas te´cnicas tanto de ana´lisis [3, 4]
como de disen˜o [2], se ha optado por realizar un
modelo borroso de tipo Takagi-Sugeno, completa-
mente general. Como es sabido, los modelos TS
son aproximadores universales, y permiten obte-
ner una gran precisio´n con un nu´mero reducido
de reglas [10, 17, 21, 22].
Sea n el nu´mero de variables de entrada y m el
salidas del sistema a modelar, un modelo borro-
so discreto mu´ltiple entrada y mu´ltiple salida –
MIMO (Multiple Input Multiple Output)– puede
representarse mediante el siguiente conjunto de re-
glas [5, 6, 12, 15]:
R(l,i) : Si x1(k) es A
l
1i y . . . y xn(k) es A
l
ni
Entonces yli(k) = a
l
0i+
n∑
j=1
aljixj(k),
(1)
donde l = 1..Mi es el ı´ndice de la regla y Mi el
nu´mero de reglas que modelan la evolucio´n de la
i-e´sima salida del sistema, yi.
Los elementos alji, con j = 0..n, representan el
conjunto de para´metros adaptables de los conse-
cuentes de las reglas, con lo que debera´n determi-
narse mediante el proceso de modelado del siste-
ma.
No´tese que empleando la representacio´n anterior,
la dina´mica de cada una de las salidas se puede
modelar mediante un nu´mero distinto de reglas, lo
que facilita la reduccio´n del nu´mero total de reglas
necesarias para modelar correctamente un sistema
complejo, y, por lo tanto, facilita el proceso de
modelado al reducir el nu´mero de para´metros del
modelo.
Si el vector de entradas se extiende en una coorde-
nada [1, 2] mediante x˜0 = 1, el vector extendido,
x˜ adopta la forma:
x˜ = (x˜0, x˜1, . . . , x˜n)
T
= (1, x1, . . . , xn)
T
(2)
Utilizando el promedio ponderado como me´todo
de agregacio´n y la extensio´n del vector de estado
dada en (2), la salida yi generada por el conjunto
de reglas R(l,i), puede calcularse mediante [16, 18]:
yi(k) = hi(x(k)) =
n∑
j=0
aji(x)x˜j(k), (3)
siendo aji(x) coeficientes variables [20] definidos
por (4), donde wli(x) se calcula mediante (5) y
representa el grado de activacio´n de las reglas del
modelo borroso.
aji(x) =
Mi∑
l=1
wli(x)a
l
ji
Mi∑
l=1
wli(x)
(4)
wli(x) =
n∏
j=1
µlji(xj(k),σ
l
ji) (5)
µlji(xj(k),σ
l
ji) representa la j-e´sima funcio´n de
pertenencia de la regla l para la i-e´sima salida
del modelo, la cual determina el conjunto borroso
Alji. Los elementos σ
l
ji representan el conjunto de
para´metros adaptables de dicha funcio´n de per-
tenencia, por lo que dichos valores, junto con los
para´metros adaptables de los consecuentes de las
reglas alji, debera´n ser determinados segu´n el al-
goritmo de estimacio´n para la consecucio´n de un
modelo adecuado del sistema.
3. FILTRO DE KALMAN
EXTENDIDO
El filtro de Kalman fue desarrollado por Rudolph
E. Kalman en 1960 [9], y permite construir un
observador o´ptimo para sistemas lineales en pre-
sencia de ruido blanco tanto en el modelo como en
las medidas. Posteriormente, el filtro de Kalman
ha sido adaptado para su utilizacio´n en sistemas
no lineales a trave´s del filtro de Kalman exten-
dido [11], siempre que el sistema admita modelos
linealizados en torno a cualquier punto de trabajo.
Aunque el filtro de Kalman extendido no resulta
o´ptimo, ya que se basa en una aproximacio´n lineal
del modelo y su precisio´n depende estrechamente
de la bondad de dichas aproximaciones, es una po-
derosa herramienta para la estimacio´n en entornos
con presencia de ruidos.
Si se considera un sistema discreto no lineal de la
forma:
x(k + 1) = f (x(k),u(k)) ,v(k)
y(k) = g (x(k)) + e(k),
(6)
donde v(k) y e(k) son ruidos blancos que represen-
tan la incertidumbre en el modelo de la ecuacio´n
de estado y salida, respectivamente.
Siendo las matrices jacobianas del sistema:
Φ (x(k),u(k)) =
∂f
∂x
∣∣∣∣
x=x(k),u=u(k)
(7)
Γ (x(k),u(k)) =
∂f
∂u
∣∣∣∣
x=x(k),u=u(k)
(8)
y
C (x(k)) =
∂g
∂x
∣∣∣∣
x=x(k)
, (9)
el filtro de Kalman extendido puede resolverse me-
diante la aplicacio´n iterativa del siguiente conjun-
to de ecuaciones [7]:
K(k) =
(
Φ(k)P(k|k − 1)CT(k) +Rve
)(
C(k)P(k|k − 1)CT(k) +Re
)−1 (10)
xˆ(k + 1|k) = Φ(k)xˆ(k|k − 1) + Γ(k)u(k)
+K(k) (y(k) −C(k)xˆ(k|k − 1))
(11)
P(k + 1|k) = Φ(k)P(k|k − 1)ΦT(k) +Rv
−K(k)
(
C(k)P(k|k − 1)ΦT(k) +RTve
)
,
(12)
donde xˆ(·) es la estimacio´n del vector de estado, y
Rv,Rve yRe las matrices de covarianza del ruido,
calculadas a partir del operador esperanza, E(·):
Rv = E
(
v(k)vT(k)
)
(13)
Rve = E
(
v(k)eT(k)
)
(14)
Re = E
(
e(k)eT(k)
)
(15)
El proceso iterativo se inicia con xˆ(0) = m0 =
E (x(0)) y P(0) = E
(
(x(0)−m0)(x(0) −m0)
T
)
,
siendo conocidas x(0|−1), u(0) e y(0), y evolucio-
na en l´ınea con el sistema obteniendo una solucio´n
que minimiza tanto el error de estimacio´n como la
matriz de covarianza del mismo para la linealiza-
cio´n obtenida en cada instante.
4. APLICACIO´N DEL FILTRO
DE KALMAN EXTENDIDO
AL MODELADO BORROSO
Una aplicacio´n muy interesante del filtro de Kal-
man extendido consiste en la identificacio´n adap-
tativa de para´metros en sistemas no lineales, lo
cual permite la obtencio´n en l´ınea del conjunto
de para´metros adaptables de un modelo no lineal
discreto en presencia de ruido y de forma pseudo-
o´ptima (es o´ptima para sistemas lineales). La iden-
tificacio´n de un modelo borroso TS puede verse
como la obtencio´n de los para´metros de un mode-
lo no lineal, por lo que puede ser aplicado el filtro
de Kalman a trave´s del algoritmo extendido para
la estimacio´n de dichos para´metros.
En primer lugar se debe plantear el problema de
estimacio´n mediante el filtro de Kalman extendi-
do. Para ello se ha de construir un sistema cuyos
estados dependen directamente de los para´metros
que se desean estimar, para posteriormente apli-
car recursivamente las ecuaciones (10), (11) y (12).
Sea p(k) el conjunto de para´metros a estimar del
sistema borroso, e y(k) el conjunto de salidas del
mismo, el sistema representado en (16) permite
la obtencio´n de dichos para´metros a partir de la
aplicacio´n del filtro de Kalman extendido.
p(k + 1) = p(k)
y(k) = h(x(k),p(k)) + e(k)
(16)
La sen˜al e(k) representa la incertidumbre del mo-
delo del sistema mediante un ruido blanco cuya
covarianza esta´ representado por (15).
En la figura 1 se muestra el esquema que permite
la utilizacio´n del filtro de Kalman extendido para
la determinacio´n en l´ınea de un modelo borroso.
Sistema
Real
e(k)
x(k)
Modelo
Borroso
z−1
Filtro de
Kalman
extendido
pˆ(k)
y(k)
yˆ(k)
Figura 1: Esquema de modelado borroso mediante
el filtro de Kalman extendido.
Por lo tanto, el primer paso a realizar es el ca´lculo
de las matrices jacobianas del sistema haciendo
uso de las expresiones (7), (8) y (9). Al aplicar
dichas expresiones sobre (16) se obtiene:
Φ (p(k)) = I (17)
Γ (p(k)) = 0 (18)
C (p(k)) =
∂h
∂p
∣∣∣∣
p=pˆ(k)
, (19)
siendo pˆ(k) la estimacio´n actual del vector de
para´metros del modelo borroso.
No´tese que, dada la formulacio´n planteada en la
seccio´n 2, el problema de estimacio´n consiste en
determinar los valores adecuados de los para´me-
tros adaptables tanto de los antecedentes, σlji,
ve´ase la ecuacio´n (5), como de los consecuentes de
las reglas, alji, ve´ase (1). Por lo tanto, para un mo-
delo borroso TS, la expresio´n h(x(k),p(k)) se co-
rresponde con la ecuacio´n (3), y la expresio´n (19)
debe obtenerse a partir de la derivada de dicha ex-
presio´n con respecto a cada uno de los para´metros
adaptables del modelo borroso.
Como puede comprobarse en (3) y (4), la funcio´n
h es lineal respecto del conjunto de para´metros
adaptables de los consecuentes, alji, de forma que:
∂hi
∂aLJI
=


wLI xJ
Mi∑
l=1
wli
si i = I
0 si i 6= I,
(20)
donde L, J e I determinan el para´metro concre-
to aLJI del conjunto a
l
ji posible de para´metros del
consecuente. Por otro lado, para cada conjunto de
para´metros de las funciones de pertenencia del an-
tecedente, se obtiene:
∂hi
∂σLJI
=
n∑
j=0
∂


Mi∑
l=1
wlia
l
ji
Mi∑
l=1
wli


∂σLJI
x˜j (21)
So´lo la salida I-e´sima dependera´ del para´metro
σ
L
JI , por lo tanto,
∂hi
∂σLJI
= 0 si i 6= I. (22)
Desarrollando la derivada parcial de (21), y te-
niendo presente (22):
∂


MI∑
l=1
wlIa
l
jI
MI∑
l=1
wlI


∂σLJI
=
=
∂
(
MI∑
l=1
wlIa
l
jI
)
∂σLJI
MI∑
l=1
wlI−
∂
(
MI∑
l=1
wlI
)
∂σLJI
MI∑
l=1
wlIa
l
jI(
MI∑
l=1
wlI
)2 ,
(23)
Teniendo en cuenta que el para´metro σLJI so´lo
esta´ presente en la regla L de la I-e´sima salida,
es fa´cil deducir que
∂
(
MI∑
l=1
wlIa
l
jI
)
∂σLJI
=
∂wLI
∂σLJI
aLjI , (24)
y operando de forma similar,
∂
(
MI∑
l=1
wlI
)
∂σLJI
=
∂wLI
∂σLJI
. (25)
Sustituyendo (24) y (25) en (23):
∂


MI∑
l=1
wlIa
l
jI
MI∑
l=1
wlI


∂σLJI
=
=
∂wLI
∂σLJI


aLjI
MI∑
l=1
wlI −
MI∑
l=1
wlIa
l
jI(
MI∑
l=1
wlI
)2

 =
=
∂wLI
∂σLJI


MI∑
l=1
wlI(a
L
jI − a
l
jI)(
MI∑
l=1
wlI
)2


(26)
Sustituyendo (26) en (21), se obtiene la expresio´n
final para el ca´lculo de
∂hi
∂σLJI
cuando i = I:
∂hI
∂σLJI
=
∂wLI
∂σLJI
n∑
j=0


MI∑
l=1
wlI(a
L
jI − a
l
jI)(
MI∑
l=1
wlI
)2

 x˜j (27)
Finalmente, para concluir el ca´lculo de la ecuacio´n
(27) es necesario determinar la derivada del gra-
do de activacio´n de las reglas del modelo borroso,
wli, con respecto a cada conjunto de para´metros
de los antecedentes. Evidentemente este ca´lculo es
dependiente del tipo de funcio´n de pertenencia que
se utilice para cada antecedente. No obstante, es
posible expresar de forma general:
∂wLI
∂σLJI
=
∂
∂σLJI
(
n∏
q=1
µLqI(xq(k),σ
L
qI)
)
, (28)
o de forma ma´s desarrollada,
∂wLI
∂σLJI
=
µLJI(xJ (k),σ
L
JI)
∂σLJI
n∏
q=1,q 6=J
µLqI(xq(k),σ
L
qI) (29)
No´tese que
µLJI(xJ (k),σ
L
JI)
∂σLJI
representa la deriva-
da de la funcio´n de pertenencia definida mediante
el conjunto de para´metros σLJI ; por lo tanto, el
ca´lculo de dicha derivada depende del tipo de fun-
cio´n de pertenencia utilizada, y podra´ realizarse a
partir de la expresio´n que define dicha funcio´n de
pertenencia.
5. CONCLUSIONES
En este trabajo se han presentado los primeros re-
sultados obtenidos por los autores para el uso del
filtro de Kalman extendido en la estimacio´n de los
para´metros adaptables de un modelo borroso ge-
neral, esto es, sin restricciones ni en el taman˜o de
los vectores de entrada o salida, ni en el tipo o
distribucio´n de las funciones de pertenencia uti-
lizadas en la definicio´n de los conjuntos borrosos
del modelo.
El art´ıculo presenta la solucio´n del problema a ni-
vel teo´rico a partir de los modelos de estado ya
obtenidos por los autores en trabajos previos.
En futuros trabajos se pretende realizar aplicacio-
nes pra´cticas, las cuales sera´n comparadas a efec-
tos de precisio´n y eficiencia computacional para
valorar de forma fehaciente el uso del filtro de
Kalman extendido en la adaptacio´n parame´trica
de sistemas borrosos, obtenidos a partir de datos
de entrada/salida de un sistema en principio des-
conocido.
Agradecimientos
Este trabajo es una contribucio´n del proyecto
DPI2007–62336/ financiado por el Ministerio de
Educacio´n.
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