Electromagnetic characterization is perfomed from
the reflection and transmission coefficients by making use of
retrieval algorithms. However, it is known the existence of
uncertainties in the determination of these electromagnetic
parameters. Here, we present a new algorithm that uses some
techniques in order to avoid these uncertainities, some based on
continuity conditions of physical magnitudes and some others
based on causality relations, that is, exploiting Kramers-Kronig
relations.Ingeniería, Industria y Construcció

García Collado, Ángel Joaquín

Molina Cuberos, Gregorio José

Núñez Trigueros, María Jose

Sánchez López, Francisco Javier

Repositorio Digital de la Universidad Católica San Antonio de Murcia

Algoritmo para la caracterización univoca de metamateriales basados en inclusiones quirales

Institutional Repository UCAM

ALGORITMO PARA LA CARACTERIZACIO´NUNI´VOCA DE METAMATERIALES BASADOSEN INCLUSIONES QUIRALES.F. Javier Sa´nchez-Lo´pez(1,2), Marı´a J. Nu´n˜ez(1), A´ngel J. Garcı´a-Collado(1,3), Gregorio J. Molina-Cuberos(1)franciscojavier.sanchez@ciemat.es,maripepa@um.es, ajgarcia@ucam.pdi.edu, gregomc@um.es(1)Grupo Electromagnetismo, Universidad de Murcia, Campus Espinardo, E-30100, Murcia.(2)Centro de Investigaciones Energe´ticas, Medioambientales y Tecnolo´gicas (CIEMAT), 28040 Madrid.(3)Departamento Ciencias Polite´cnicas, Universidad Cato´lica San Antonio, E-30107, Guadalupe, Murcia.Resumen—Electromagnetic characterization is perfomed fromthe reflection and transmission coefficients by making use ofretrieval algorithms. However, it is known the existence ofuncertainties in the determination of these electromagneticparameters. Here, we present a new algorithm that uses sometechniques in order to avoid these uncertainities, some based oncontinuity conditions of physical magnitudes and some othersbased on causality relations, that is, exploiting Kramers-Kronigrelations.I. INTRODUCCIO´NEn los u´ltimos an˜os el desarrollo de nuevos materialesartificiales con propiedades exo´ticas y, en muchos casos,extremas ha demandado la implementacio´n de nuevosalgoritmos de inversio´n que permitan su caracterizacio´nexperimental [1]–[4]. En nuestro caso, hemos desarrolladouna te´cnica para la caracterizacio´n de metamateriales basadosen la inclusio´n de quirales a partir de medidas experimentalesen incidencia normal mediante la te´cnica de onda libre o desimulaciones bajo las mismas condiciones.Los medios quirales se pueden caracterizar por las siguien-tes relaciones constitutivas [3]:~D = ε ~E − j√ε0µ0κ ~H (1)~B = µ ~H + j√ε0µ0κ~E (2)Donde ε es la constante diele´ctrica del medio, µ es per-meabilidad del medio y κ el para´metro de quiralidad. Lospara´metros ε, µ, κ son las magnitudes escalares complejas quedeseamos obtener, para ello partimos de las expresiones de loscoeficientes de transmisio´n y reflexio´n en funcio´n de estospara´metros y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante.El problema residira´, tal y como veremos en la seccio´n II,en que este sistema de ecuaciones no tiene solucio´n u´nica.La indeterminacio´n la resolveremos aplicando condiciones decontinuidad y causalidad. Adema´s, en la seccio´n III compa-raremos los resultados del algoritmo que se presenta con losobtenidos por el algoritmo de Varadan-Ro (VR) [1] a partirde datos simulados para distintos modelos.II. PROBLEMA DE INVERSIO´NA. Inversio´n de para´metrosLa Fig. 1 muestra un esquema del problema propuesto.Alimentamos con una onda plana linealmente polarizadaque se propaga el la direccio´n perpendicular al plano deincidencia, siendo ~Ei el campo incidente. Se reflejara´ unaonda cuyo campo ele´ctrico tiene una magnitud R∣∣∣ ~Ei∣∣∣, dondeR es el coeficiente de reflexio´n. La onda transmitida nodebe tener necesariamente la misma direccio´n de polarizacio´n.Es por esto por lo que se descompone el campo ele´ctricotransmitido ~Et en las direcciones paralela a la del campoincidente (copolar) y perpendicular a la del campo incidente(crosspolar). Estos campos tendra´n magnitudes Tco∣∣∣ ~Ei∣∣∣ yTcr∣∣∣ ~Ei∣∣∣, respectivamente. Tco recibe el nombre de coeficientede transmisio´n copolar y Tcr es el coeficiente de transmisio´ncrosspolar. Bajo estas condiciones, resulta [3]:ico ETicr ETtEkiEk zxyxz L ,,iERkFig. 1. Esquema de nuestro problema. Incide una onda plana sobre una la´minade espesor L con ε, µ, κ desconocidos y medimos Tco, Tcr y R.R = −j sin (2nk0L)(1− η2r)2ηr cos (nk0L) + j (η2r + 1) sin (nk0L)(3)Tco =2ηr cos (κk0L)2ηr cos (nk0L) + j (η2r + 1) sin (nk0L)(4)Tcr =2ηr sin (κk0L)2ηr cos (nk0L) + j (η2r + 1) sin (nk0L)(5)donde ηr =√µr/εr es la impedancia relativa de la la´minay n =√µrr el ı´ndice de refraccio´n del medio que estemosanalizando. Estas expresiones resuelven el problema directo,es decir, conocidos los para´metros constitutivos de los mate-riales, obtenemos los coeficientes de transmisio´n y reflexio´n.Nosotros estamos interesados en el problema inverso, pararesolverlo definimos los siguientes para´metros:T =√T 2co + T2cr (6)Γ =η2r − 1(ηr + 1)2 (7)P = e−jnk0L (8)Usando (3), (4) y (5) obtenemos para R y T las expresiones:R =Γ(1− P 2)1− Γ2P 2 (9)T =P(1− Γ2)1− Γ2P 2 (10)De (9) se extrae que:P 2 =R− ΓRΓ2 − Γ (11)Y usando (11) se obtieneΓ[R2Γ2 + Γ(T 2 −R2 − 1)+R] = 0 (12)Suponemos que los materiales bajo estudio son tales queηr 6= 1, o, equivalentemente, a partir de (7), Γ 6= 0. Es decir,so´lo consideramos las soluciones de la ecuacio´n:R2Γ2 + Γ(T 2 −R2 − 1)+R = 0 (13)Que son:Γ = −(T 2 −R2 − 1)±√(T 2 −R2 − 1)2 − 4R22R(14)Adema´s, consideramos que los materiales que analizamosson medios pasivos, esto es, si ηr = η′r + jη′′r , la parte realdebe ser positiva, η′r > 0, lo que impone sobre Γ la siguientecondicio´n:|Γ| < 1 (15)Primero escribimos ηr en funcio´n de Γηr = η′r + jη′′r =1 + Γ1− Γ =1− |Γ|2 + 2jIm (Γ)1 + |Γ|2 − 2Re (Γ) (16)Si analizamos u´nicamente la parte real tenemos:η′r =1− |Γ|21 + |Γ|2 − 2Re (Γ) (17)Nos centramos en el denominadord = 1+|Γ|2−2Re (Γ) = 1+Re (Γ)2+Im (Γ)2−2Re (Γ) (18)d = (1− Re (Γ))2 + Im (Γ)2 > 0 ∀ Γ 6= 1 (19)El denominador siempre es positivo, salvo en Γ = 1. Por otraparte el numerador sera´ positivo siempre y cuando |Γ|2 < 1.Teniendo en cuenta esto y la ecuacio´n (19), se tiene quees condicio´n necesaria y suficiente que |Γ| < 1 para tenerη′r > 0. Esto nos permite seleccionar una solucio´n Γ u´nicapara T y R dados. Una vez que hemos determinado Γ usando(16) obtenemos ηr. Por otra parte,P 2 =∣∣P 2∣∣ ej(φ+2pim) = e−2jnk0L (20)Siendo φ la fase de P 2 y m un nu´mero entero. De (20)obtenemos el ı´ndice de refraccio´n n:n = n′ + jn′′ =jc4pifLln∣∣P 2∣∣− φc4pifL− mc2fL(21)Donde ya hemos expresado n en funcio´n de la frecuencia f .La u´nica restriccio´n que tenemos sobre el ı´ndice es n′′ < 0(medios pasivos) esta condicio´n no es suficiente para deter-minar el valor de m y, por tanto, no tenemos solucio´n u´nica[2]. A partir de n y ηr podemos obtener ε, µ.εr =nηr(22)µr = nηr (23)Resta todavı´a calcular la quiralidad κ, reescribimos las expre-sio´n de T (10) como sigue:T =2ηr2ηr cos (nk0L) + j (η2r + 1) sin (nk0L)(24)Si definimos T++ = Tco + jTcr y lo dividimos entre Ttenemos:T++T=∣∣∣∣T++T∣∣∣∣ ej(γ+2pip) = e−jκk0L (25)Donde γ es la fase de T++/T y p un entero arbitrario. Deaquı´ obtenemos κκ =jk0Lln∣∣∣∣T++T∣∣∣∣− γ + 2pipk0L (26)El entero p se determinara´ usando las mismas estrategias quese presentan en las siguientes secciones para hallar el enterom, que provoca la indeterminacio´n en el ı´ndice de refraccio´n.B. Determinacio´n de la solucio´n u´nicaTal y como se ha establecido anteriormente no disponemosde una solucio´n u´nica para el problema de inversio´n, obtenerdicha solucio´n podemos usar diversas estrategias, incluso,simulta´neamente.1) Estrategia de continuidad: Dado el valor de m co-nocido para la frecuencia inicial de estudio, si imponemoscontinuidad al ı´ndice de refraccio´n n, habremos determinadode manera u´nica este ı´ndice. La determinacio´n de m a lafrecuencia inicial se puede realizar por diversos me´todos,bien mediante una estimacio´n previa del ı´ndice de refraccio´n,o bien probando varios valores de m en el caso de tenermateriales conocidos. Cabe destacar que cambios en m de unaunidad provocan respuestas muy distintas. Podemos estimarel valor de m por simple descarte. Otra posible solucio´n esusar el algoritmo de Varadan-Ro [1], aunque tambie´n adolecede este tipo de indeterminacio´n a la que llamaremos mV R.La variacio´n de los para´metros m,mV R conlleva a resultadosmuy distintos. Se puede obtener la solucio´n observando losvalores de los para´metros que hacen que la diferencia en valorabsoluto de sus respuestas sea mı´nima.2) Estrategia de causalidad: Esta estrategia es la que seusa en [1] y consiste en usar las relaciones de Kramers-Kronig (K-K) para determinar, a partir de la parte imagi-naria del ı´ndice de refraccio´n, que sı´ se puede determinarunı´vocamente, la parte real de dicho ı´ndice de refraccio´n. Ennuestro caso, para asegurar fiabilidad del algoritmo y mejoresresultados, calculamos las relaciones de K-K entre las partesreal e imaginaria de la susceptibilidad ele´ctrica y magne´tica[5], [6]. Por un lado tenemos:εr = 1 + χe = 1 + χ′e + jχ′′e (27)µr = 1 + χm = 1 + χ′m + jχ′′m (28)Por otro lado, tanto χe como χm cumplen [7]–[9]χ′(ω) =2piP∫ ∞0ω′χ′′(ω′)ω′2 − ω2 dω′ (29)Donde P denota el valor principal de Cauchy de la integraly ω = 2pif es la frecuencia angular. El problema de esteme´todo es que, en la mayorı´a de los casos, no podemosrealizar la integral analı´ticamente. Debemos recurrir a te´cnicasnume´ricas que se ven limitadas por el hecho de que notenemos datos en el intervalo [0,∞). Las medidas se realizanen un ancho de banda finito, con lo que los resultadosobtenidos por este me´todo, no nos dara´n las magnitudes deforma exacta. Sı´ que nos servira´n para escoger m de maneraadecuada, adema´s, si empleamos la estrategia de continuidad,este me´todo nos sirve para estimar el valor inicial de m ytener resuelto el problema. Tal y como se vera´ en la seccio´nIII, las diferencias que se encuentran entre el resultado exactoy el obtenido por este me´todo no son muy significativas.III. RESULTADOSEn esta seccio´n presentamos los resultados de los distintosalgoritmos aplicados a simulaciones. En primer lugar sesimula un modelo lineal como el que sigue:εr(f) =29f(1− 120j)+ 2− 0,1j (30)µr(f) =19f(1− 12j)+ 1− 0,5j (31)Siendo f la frecuencia en GHz. Y para κ suponemos unmodelo lineal tal que:κ = 0,0453f + 0,3170− j (0,0239f + 0,1674) (32)Hemos escogido este modelo por dos motivos. El primeroes que despue´s de un modelo de para´metros constantes esel modelo ma´s sencillo para simular. El otro motivo es que,antes de la resonancia, podemos aproximar el crecimientoo decrecimiento de los para´metros constitutivos de los ma-teriales bajo estudio mediante un modelo de este tipo. Losvalores de los para´metros se han escogido de tal forma, quesi bien en su conjunto de parte real e imaginaria no sonrealistas, sı´ que por separado muestran valores similares a losmateriales con los que se pretende trabajar. Con este modelono podemos usar la estrategia de causalidad puesto que nocumple las relaciones de K-K. Ası´ pues, usamos u´nicamentela estrategia de continuidad, obteniendo los resultados de lasfiguras Fig. 2 y Fig. 3, en la que se observa que nuestroalgoritmo nos devuelve de manera correcta los para´metrosmientras que el de Varadan-Ro, en este caso falla a partir de6 GHz. Posteriormente se simula un modelo no lineal, conFig. 2. Partes real (rojo) e imaginaria (azul) de la permitividad relativa paraun modelo lineal obtenidas conforme al modelo impuesto (lı´nea continua),calculado aquı´ (?) y usando el algoritmo de Varadan-Ro(4).Fig. 3. Permeabilidad relativa obtenida para modelo lineal, usamos el mismoconvenio de representacio´n que en la Fig. 2.Fig. 4. Partes real (rojo) e imaginaria (azul) de la quiralidad absoluta paraun modelo lineal obtenidas conforme al modelo impuesto (lı´nea continua) ymediante el algoritmo que se presenta (?), el algoritmo V-R no calcula estepara´metro.los siguientes para´metros [10], [11]:εr(f) = εr∞ +(εrs − εr∞) f20ef20e − f2 + 2jf0eξef(33)µr(f) = µr∞ +(µrs − µr∞) f20mf20m − f2 + 2jf0mξmf(34)κ(f) =2piτf20kff20k − f2 + 2jf0kξkf(35)En nuestro ejemplo tomaremos los valores para los para´me-tros del modelo que se muestran en Tabla I. Los motivos paraPara´metro Valorf0e, f0m, f0k 11 GHzξe, ξm, ξk 0,12εrs 5µrs 1,1εr∞ 3µr∞ 1τ −6 · 10−13 sTabla I. Valores de los para´metros del modelo usados para la simulacio´n.escoger estos valores son, por un lado observar la resonanciaadecuadamente y por otro lado tomar valores similares a losencontrados experimentalmente [12]. Empleamos las estrate-gias de continuidad y causalidad simulta´neamente obteniendolos resultados de las figuras Fig. 5, Fig. 6 y Fig. 7.Fig. 5. Partes real (rojo) e imaginaria (azul) de la permitividad relativa paraun modelo de Lorentz resonante obtenidas conforme al modelo impuesto(lı´nea continua), el algoritmo VR (4), el algoritmo que se presenta aquı´ ?,Kramers-Kronig aplicado al algoritmo VR (©) y aplicando Kramers-Kroniga nuestro algoritmo ().Fig. 6. Permeabilidad relativa obtenida para un modelo de Lorentz resonante.Se sigue el mismo convenio de representacio´n que en la Fig. 5Vemos que nuestro algoritmo, para ambos modelos, recu-pera con un error inferior al 2 % los para´metros constitutivossimulados y adema´s es bastante ma´s preciso que el algoritmoVR que comete errores del 10 % aproximadamente, en estoscasos.Fig. 7. Quiralidad aboluta obtenida para un modelo de Condon. Seguimos elconvenio de representacio´n de la Fig. 4.IV. CONCLUSIONESHemos presentado un algoritmo que resuelve de maneraunı´voca el problema de inversio´n de para´metros para muestrasbasadas en inclusiones quirales. Los resultados muestran unalto grado de precisio´n en el ca´lculo de estos para´metros. Estealgoritmo ya se utiliza para la caracterizacio´n experimentalmediante la te´cnica de onda libre en incidencia normal demetamateriales basados en la inclusio´n de quirales, adema´ssu campo de aplicacio´n se podrı´a extender de manera sencillaa medios bi-iso´tropos.AGRADECIMIENTOSEste trabajo ha sido realizado en el marco del proyectoTEC2010-21496-C03-02.REFERENCIAS[1] V. V. Varadan and R. Ro, “Unique retrieval of complex permittivityand permeability of dispersive materials from reflection and transmittedfields by enforcing causality,” IEEE Transactions on Microwave Theoryand Techniques, vol. 55, no. 10, pp. 2224–2230, october 2007.[2] S. Ramakrishna and T. Grzegorczyk, Physics and applications ofnegative refractive index materials. SPIE Press, 2009.[3] I. V. Lindell, A. H. Sihvola, S. A. Tretyakov, and A. J. Viitanen,Electromagnetic waves in chiral and bi-isotropic media. 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