El objetivo de este trabajo es investigar la influencia del tamaño de ventana (wsize) utilizado en un nuevo paradigma de fusión que pretende minimizar los efectos de alta variabilidad espacial y baja separabilidad espectral que caracterizan a las imágenes de alta resolución espacial obtenidas mediante algoritmos de fusión. Este paradigma de fusión se basa en mapas locales de dimensión fractal de las imágenes a fusionar. La obtención de estos mapas se ha llevado a cabo mediante un proceso de ventaneado y la utilización de un algoritmo particular para el cálculo de la dimensión fractal (box-counting). Este algoritmo implica la definición de un tamaño de ventana, wsize, el cual tiene una fuerte influencia en la estimación de la dimensión fractal local y consecuentemente en la calidad de las imágenes fusionadas. El estudios se ha llevado a cabo para un algoritmo de fusión basado en la Transformada Discreta Wavelet calculada mediante el algoritmo à trous

Gonzalo Martín, Consuelo

Lillo Saavedra, Mario Fernando

Spanish

Servicio de Coordinación de Bibliotecas de la Universidad Politécnica de Madrid

Revista de Teledetección. ISSN: 1988-8740. 2010. 33: 101-106 101
Revista de Teledetección. ISSN: 1988-8740. 2010. 33: 101-106
Incidencia del tamaño de la ventana en la
calidad de las imágenes fusionadas mediante
mapas de dimensión fractal
C. Gonzalo1 y M. Lillo-Saavedra2
consuelo.gonzalo@upm.es
1 Dep. de Arquitectura y Tecnología de Sistemas Informáticos, Facultad de Informática, Universidad
Politécnica de Madrid, Campus de Montegancedo, Boadilla del Monte, 28660 Madrid 
2 Departamento de Mecanización y Energía, Facultad de Ingeniería Agrícola, Universidad de
Concepción, CHILE
Recibido el 16 de febrero de 2010, aceptado el 10 de mayo de 2010
RESUMEN
El objetivo de este trabajo es investigar la in-
fluencia del tamaño de ventana (wsize) utilizado
en un nuevo paradigma de fusión que pretende
minimizar los efectos de alta variabilidad espa-
cial y baja separabilidad espectral que caracteri-
zan a las imágenes de alta resolución espacial
obtenidas mediante algoritmos de fusión.  Este
paradigma de fusión se basa en mapas locales de
dimensión fractal de las imágenes a fusionar.  La
obtención de estos mapas se ha llevado a cabo
mediante un proceso de ventaneado y la utiliza-
ción de un algoritmo particular para el cálculo
de la dimensión fractal (box-counting).  Este al-
goritmo implica la definición de un tamaño de
ventana, wsize, el cual tiene una fuerte influencia
en la estimación de la dimensión fractal local y
consecuentemente en la calidad de las imágenes
fusionadas.  El estudios se ha llevado a cabo para
un algoritmo de fusión basado en la Transfor-
mada Discreta Wavelet calculada mediante el al-
goritmo à trous.
PALABRAS CLAVE:  fusión de imágenes, di-
mensión fractal, transformada wavelet, box-
counting, algoritmo à trous
ABSTRACT
The aim of this work is to investigate the in-
fluence of  size window (wsize) used in a new
images fusion paradigm, which has been propo-
sed for minimizing the high spatial variability
and the low spectral separability that characteri-
zed high spatial resolutions images obtained by
fusion algorithms.  This paradigm is based on
local fractal dimension maps of images to be
fused.  A windowing process and a particular al-
gorithm to estimate the fractal dimensions (box-
counting) have been used to calculate these
maps.  This algorithm implies the definition of
the window size,  wsize.  This size has a strong
influence in the estimation of the fractal dimen-
sion and in the fused images quality.  The study
has been carried out for a fusion algorithm based
in the Discrete Wavelet Transform calculated
through the à trous algorithm. 
KEYWORDS:  images fusion, fractal dimen-
sions, wavelet transform, box-counting, à trous
algorithm
Sensitivity of the window size on the quality of
fused images through maps of fractal dimension
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INTRODUCCIÓN 
El objetivo de las técnicas de fusión de imágenes
capturadas por sensores ópticos, es obtener imáge-
nes con una calidad espacial lo más próxima posi-
ble a la imagen pancromática, minimizando la
distorsión,  desde el punto de vista radiométrico, de
la imagen multiespectral.  Por otra parte, las imáge-
nes de muy alta resolución espacial se caracterizan
por una alta variabilidad espacial y una baja separa-
bilidad espectral (Lillo et al., 2009), lo que plantea
ciertas dificultades en tareas tales como la clasifica-
ción. Huang y Zhang (2008) han plateado un es-
quema de fusión a partir de la extracción de
características en diferentes escalas, mediante la
Transformada Wavelet, que abordan este problema,
mejorando los resultados de clasificación. Lillo-Saa-
vedra y Gonzalo (2009) han propuesto un nuevo pa-
radigma aplicable a diferentes algoritmos de fusión,
cuyo objetivo es minimizar los efectos antes men-
cionados.  Para ello, se determina, a partir de mapas
locales de la dimensión fractal de las imágenes
fuente, la cantidad de información de detalle proce-
dente de la imagen pancromática que se debe incor-
porar a la información de baja frecuencia procedente
de la imagen  multiespectral, para cada píxel y para
cada banda, dependiendo del tipo de cubierta bajo
análisis.  Los mapas locales de dimensión fractal se
han obtenido, mediante un proceso de ventaneado
de las imágenes fuente y el algoritmo box-counting
(Falconer, 1990).  Este algoritmo, implica la defini-
ción de un tamaño de ventana, wsize, el cual tiene
una fuerte influencia en la estimación de la dimen-
sión fractal local y consecuentemente en la calidad
de las imágenes fusionadas.  El objetivo de este tra-
bajo es investigar la influencia de wsize en las pres-
taciones de un algoritmo de fusión basado en la
Transformada Discreta Wavelet calculada mediante
el algoritmo à trous (Nuñez et al., 1999), al que se le
ha aplicado el paradigma propuesto.
METODOLOGÍA DE FUSIÓN PONDE-
RADA MEDIANTE MAPAS DE DI-
MENSIÓN FRACTAL
A partir del algoritmo de fusión, basado en la Trans-
formada Discreta Wavelet (TDW) calculada me-
diante el algoritmo à trous (TWA), Lillo-Saavedra y
Gonzalo (2007) propusieron una versión ponderada
del mismo que se puede expresar como:
(1)
los coeficientes de la imagen pancromática.  Los ín-
dices i y j representan el número de bandas y el nivel
de degradación de la imagen multiespectral, respec-
tivamente; y W el número de planos wavelet a inte-
grar desde la imagen pancromática a la imagen
multiespectral.  El parámetro de ponderación, αi,
controla el compromiso entre la calidad espacial y
espectral de la imagen fusionada. 
Esta estrategia presenta un avance respecto a otros
algoritmos de fusión convencionales, ya que consi-
dera las características particulares de cada imagen,
tanto desde el punto de vista espectral, como espa-
cial.  Sin embargo, los factores de ponderación de-
terminados para cada una de las bandas son
aplicados a la totalidad de la misma, sin tener capa-
cidad para diferenciar entre los distintos tipos de cu-
bierta presentes en la imagen.  El paradigma de
fusión ya mencionado, propone superar esta limita-
ción, mediante la determinación de mapas de pon-
deración que determinen valores diferentes para
cada píxel y cada banda.  Estos valores particulares
son obtenidos a partir de la información aportada por
los mapas de dimensión fractal tanto de la imagen
pancromática como de cada banda de la imagen
multiespectral.  En este estudio, se han obtenido los
mapas de dimensión fractal, mediante la siguiente
expresión:
Donde representa la imagen multiespectral y
(2)
Donde     corresponde a la indexación de los valo-
res de las dimensiones fractales de las imágenes
fuente.
A partir de las ecuaciones 1 y 2, se puede deducir
que la metodología propuesta permite integrar una
mayor cantidad de información espacial en la me-
dida que la dimensión fractal de la cubierta sea alta
(cubierta rugosa) en al menos alguna de las imáge-
nes fuente, sin embargo, si la cubierta presenta una
dimensión fractal baja en ambas imágenes, la inte-
gración de información espacial será baja.  Aún
cuando esta metodología permite determinar un
valor de ponderación diferente para cada píxel, este
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valor depende también de los niveles de grises de su
vecindario, cuyo tamaño es preciso definir, teniendo
una influencia notable  en los resultados de fusión,
como se mostrará en la siguiente sección. 
RESULTADOS
Para este trabajo se ha seleccionado una escena de
1024x1024 píxeles de una imagen FORMOSAT, re-
gistrada el 28 de abril de 2008.  La zona corresponde
a un área del Campus de la Universidad de Concep-
ción (Chile) en esta escena aparecen dos tipos de cu-
biertas fundamentalmente, zona urbana y zona
boscosa.  En la figura 1 se ha incluido una composi-
ción RGB de la imagen multiespectral y la imagen
pancromática, así como los mapas de dimensión
fractal obtenidos para wsize= 15, 31 y 127.  En el
caso de la imagen multiespectral, estos mapas co-
rresponden a la banda 3. 
Con objeto de mostrar gráficamente la influencia de
wsize en los mapas locales de dimensión fractal y por
tanto en el proceso de fusión,  se han incluido en la
figura 2, los perfiles correspondientes a la fila 400 de
los mapas mostrados en la figura 1 d), e) y f).  En la
figura 1a se ha marcado la correspondiente línea.  En
la figura 2, se puede observar que para valores pe-
queños de wsize (<15) los mapas de dimensión frac-
tal no permiten detectar adecuadamente variaciones
en los patrones texturales, ya que considera comple-
tamente homogéneas zonas muy extensas.  Desde el
punto de vista del proceso de fusión, esto se traduce
en la integración de una gran cantidad de informa-
ción procedente de los coeficientes de la imagen
pancromática en las zonas de detalle y una integra-
ción casi nula en las zonas homogéneas.  En este
sentido, se podría considerar prácticamente, como
una ponderación binaria, que proporcionaría imáge-
nes fusionadas muy semejantes a las proporciona-
das por el método de fusión TWA estándar en las
zonas de detalle e iguales a la imagen multiespectral
en las zonas de muy baja dimensión fractal.
Para wsize=31, los efectos descritos disminuyen,
permitiendo que la dimensión fractal discrimine
áreas de textura semejante por medio de valores de
transición entre las zonas de mayor y menor homo-
geneidad.  No obstante, si  wsize es excesivamente
grande puede ocurrir, que aunque la dimensión frac-
tal sea alta (zonas rugosas), se asigne valores simi-
lares de dimensión a zonas demasiado extensas, con
diferentes características texturales, lo que se traduce
en un deterioro de las características espectrales de
la imagen, como se puede observar en la figura 2
para wsize=127.
Figura 1. Fila superior: Imagen multiespectral original (a) y mapas de dimensión fractal para wsize =15 (b), 31 (c) y 63
(d). Fila inferior: imagen pancromática original (e), y mapas de dimensión fractal para wsize =15 (f), 31 (g) y 63 (h)
Incidencia del tamaño de la ventana en la calidad de las imágenes fusionadas mediante mapas de dimensión...
a) b) c) d)
e) f) g) h)
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Figura 2. Perfiles de mapas de dimensión fractal, para una línea de una imagen dada y diferentes tamaños de wsize
Se puede apreciar como los mapas de dimensión
fractal definidos, tienden de forma local a mantener
la característica de rugosidad presente a diferente es-
cala (resoluciones espaciales) en cada una de las
imágenes fuente.  En definitiva, se puede afirmar
que la principal aportación de este tipo de mapas, es
que recogen las características de rugosidad de las
cubiertas presentes en las imágenes bajo análisis.
Esta información permite discriminar las zonas que
requieren mayor integración de información espa-
cial proveniente de la imagen pancromática a la ima-
gen multiespectral. Los experimentos realizados han
mostrado que el coste computacional aumenta con
el tamaño de la ventana.
En la fila superior de la figura 3, se han incluido
composiciones color de las imágenes fusionadas me-
diante el método propuesto para wsize= 15 (a), 31 (b)
y 63 (c) y mediante el método estándar TWA
(αi(x,y)=1) (d).  La calidad de las imágenes fusiona-
das se ha calculado de forma global y local.  En el
primer caso, se han calculado para cada wsize, dife-
rentes índices de calidad de imágenes fusionadas
propuestos en la literatura: ERGAS, índice de Zhou,
Correlación Espectral (CC), Q4 y el índice SAM.
La Tabla 1 incluye la ecuación que define cada unos
de estos índices, sus valores ideales y la referencia
bibliográfica donde se definen.  Como se puede ob-
servar en esta Tabla,  los índices ERGAS y SAM in-
dican una mejor calidad de las imágenes fusionadas
cuanto mas pequeños son. Mientras que los índices
de Zhou, CC y Q se aproximan a 1 a medida que la
calidad de las imágenes fusionadas mejora.  Los va-
lores de estos índices obtenidos para las imágenes
fusionadas, se han incluido en la Tabla 2.  En esta
tabla se ha utilizado el acrónimo ATWF_WX para
representar el método de fusión basado en mapas de
dimensión fractal, con un tamaño de ventana X.  Los
mejores valores de los índices se han remarcado en
negrita.  En la tabla se puede observar que aunque
las variaciones de los valores de los índices son pe-
queñas,  el método propuesto proporciona en la ma-
yoría de los casos mejores valores de los índices que
el método TWA, de hecho, cuando no los mejora los
iguala.  No obstante y dado el carácter del método
propuesto, que permite adaptar el proceso de fusión
a las características de las diferentes cubiertas pre-
sentes en las imágenes fuente, resulta mucho mas
ilustrativo de las prestaciones de dicho método, lle-
var a cabo una evaluación local de la calidad de las
imágenes fusionadas.  Para ello, se han calculado
mapas locales del índice de calidad Q (Wang, 2002).
En la fila inferior de la figura 3 se muestran estos
mapas para cada una de las imágenes fusionadas.
Los colores cálidos corresponden a valores altos de
Q y por tanto a una buena calidad de la fusión, mien-
tras que los fríos, indican grandes diferencias entre
las imágenes fuente y las fusionadas.  Los dos as-
pectos mas destacables de estos resultados son: las
variaciones de los mapas con el tamaño de la ven-
tana y el hecho de que mientras el método TWA,
proporciona buena calidad en la zona urbana y peor
en la boscosa, el método propuesto, proporciona una
calidad de fusión mucho más homogénea en toda la
imagen.
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Figura 3. -Fila superior imágenes fusionadas: con el método propuesto para diferentes tamaños de ventana, 15 (a), 31
(b) y 63 (c) y mediante el método TWA (d).  Fila inferior: mapas de calidad de las imágenes fusionadas
Tabla 1. Índices de calidad 
a) b) c) d)
e) f) g) h)
Incidencia del tamaño de la ventana en la calidad de las imágenes fusionadas mediante mapas de dimensión...
Índice Ecuación Valor ideal Referencia
CC 1 Vijayaraj et al. (2004)
ERGAS 0 Wald (2002)
Q 1 Wang y Bodik (2002)
SAM 0 Kruse et al. (1993)
Z 1 Zhou et al (1998)
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Tabla 2. Valores de los índices de calidad de las imágenes fusionadas
CONCLUSIONES
Se ha mostrado que los resultados proporcionados
por la metodología propuesta dependen del tamaño
de ventana (wsize) utilizada para el cálculo de la di-
mensión fractal.  Por un lado, el coste computacio-
nal aumenta con wsize ; sin embargo, desde el punto
de vista de la extracción de información textural, un
wsize demasiado pequeño, produce mapas de di-
mensión fractal cuasi-binarios, esto implica que en la
imagen fusionada existirán zonas en las que se inte-
gre la casi totalidad de la información espacial, pro-
veniente de la imagen pancromática, mientras que
en las zonas de baja rugosidad, solo existirá infor-
mación proveniente de la imagen multiespectral.  Es
por tanto necesario establecer un compromiso entre
el tamaño de ventana que mejor integre la informa-
ción de las imágenes fuente y cuyo coste computa-
cional no sea elevado.
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WATF_W7 1.07 0.89 0.57 0.92 2.59
WATF _W15 1.08 0.89 0.56 0.92 2.62
WATF _W31 1.09 0.9 0.54 0.92 2.65
WATF _W63 1.09 0.9 0.51 0.91 2.67
WATF _W127 1.1 0.91 0.48 0.91 2.69
WAT 1.14 0.91 0.41 0.91 2.76


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