Iswadi, Hazrul

Indonesian

University of Surabaya Institutional Repository

OpnI LEPAS= 5 untuk n yang kecil bilangan J (n)dicari dengan mudah dan dibuattabel sebaoai berikut :Tabel bilangan Josephusdari 1 sampai 10Dengan sedikit kemampuanperoleh untuj n bilangan genap ndiperoleh rumus untuk J (n),ffiffiffi Wtematian atau berpisahnyajiwa upaya mengeluar'dariraga seorang manusia me- kan bakat matema-rupakan keniscaya n yangha- tika. Sejarah ma-rus terjadi pada setiap manusia. tematika mencatatTapi kematian mengunjungi manusia ter- salah satu teori ma-kadang pada keadaan-keadaan yang tak tematika lahir dariterduga. Seorang mahasiswa lndonesiadi upaya untuk menolak kematian yangAmerika yang sedang liburan, naik pe-sa- sudah diperkirakan bakal terjadi yaitu:wat Boeing, tiba{iba ikut meninggal bersa- Masalah Josephus.ma penumpang yang lain karena pesawat Masalah Josephus pada masa perangyang ditumpangi ditabrakkan pembaiak Yahudi'Romawi sekitar abad pertamake salah satu menara kemb4r WTC di New masehi di Eropa terjadi pembantaian besar-York. Seorang mahasiswa Ubaya mening- ' besaran penduduk yang beragama Yahudi'gal di seputir kampusnya sendiri oleh Pada masa itu, terkenallah seorang ahliorang-orang yang ingin merampas epeda seiarah yang bernama Flavius Josephusmotoinya. Seorang hakim agung diberon- yang beragama Yahudi. Ahli sejarah inidong dengan senjata api di atas mobilnya bisa bertahan hidup bahkan menjadioleh serombongan orang yang tidak dike- terkenalpada masa ini berkat kemampuannal sewaktu pulang dari kantornya. Atau malematika yang terpendam dan munculseorang rektor lAlN di Nangroe Aceh Da- pada saat yang dibutuhkan. Pada suaturussalam meninggal saat setelah sebutir kejadian, Josephus dan 40 orang rekanpeluru bersarang di kepalanya yang ditem- seaga-manya terperangkap dalam gua danbakkan oleh orang yang tidakdikenal, iuga dikepung oleh prajurit-prajurit Romawi.setelah pulang dari kantornya. Mereka sepakat daripada menygrah,Bagaimana kalau kematian mengunju- ditangkap, disiksa, dan kemudian dibunuhngi minusia dengan jadwal yang ditentu- oleh para praiurit Romawi, lebih baikme-kin atau bisa diperkirakan? Apa reaksi reka semua bunuh diri. Caranya denganmanusia untuk menghadapinya? Beragam membentuk lingkaran, menghitung searahreaksi yang dilakukan manusia unluk jarum jam dan membunuh setiap orangmenghadapi kematian yang sudah berada kedua dari hitungan pertama sampaitidakdi deban mata. Ada yang pasrah, ada yang ada satu orangpun yang tertinggal Jo-mempersiapkan diri berupa bekaFbpkal sephus bersama dengan seorang teman-berupa amal kebajikan seperti yang di- nya yang lain tidak setuju dengan bunuh-amanatkan oleh semua agama-agama di diri yang sia-sia tersebut. Tapi dalam si-dunia. Ada yang berusaha menundajatuh tuasi darurat tersebut mereka harus loyaltempo kematian dengan berbagai upaya, pada kelompok sambil mencariakal untukatau ada yang berusaha menolak datang' menghindari posisi dibunuh beramai-nya kematian. Mungkinkah menolak da- ramai selelah hitungan kematian dimulai.tangnya kematian. Sebagaicontoh, posisi kumpulan orangUpaya-upaya untuk menolak kematian yang melingkar disebut lingkaran kema-akan datang menjelang bisa dilakukan de- tian. Misakan terdapat n orang dalam ling-ngan cara apa saja, tak terkecuali dengan karan kematian dan seliap orang keduadibunuh sehtinggal satuyang tersisa.Karan1x[ n = '10g a m b a rsebagai berikut : 12Gambar lingkaran kematian untukUrutan orang yang dibunuh2,4,6,8,10,3,7,1,9,  dan Yanglah 5. Jadi dalam kasus ini masalahdihadapi Josephus adalahbilangan yang tersisa J {n) (Jdari Josephus). gnlr1 n =10,J(n)=j(2m)=2J(m)-1,m>/17-rI-lkoldibunuh sehinggatinggal satu orangyang tersisa. Ling-karan kematian un-tuk n = 10 bisa di-g a m b a r k a nWARTA UBAYANo. 85 TH. Vlll NoVEMBER 2001Untuk n b i langan ganj i l  a tau=2m+1,m>/1. diperoleh rumus untuk JJ(n)=J(2m+1 )=2J(m)+1,m>/1Jadi rumus untuk masalandengan n orang dan orang keduaadalahsupaya Josephus dan temannyauDava untuk menolak kematian yangsudah dioerkirakan bakal teriadi yaitu:Oi oiri yang sia-sia tersebut. Tapi dalam si-lh tuasi daiurat tersebut mereka harus loyaloada kelompok sambil mencariakal untukmenohindari posisi dibunuh beramai-ramal setelah hitungan kematian dimulai'Sebaqai contoh. posisi kumpulan orangyeing m6lingkar disebut lingkaran kema-de- iian]Misakan terdapat n orang dalam ling-ran karan kematian dan setiap orang keduaGambarlingkaran kematian untuk n =10Urutan oring Yang dibunuh adalah2.4.6.8,10,3,7,1,9, dan yang selamat ada-lah 5. Jadi dalam kasus ini masalah yangdihadapi Josephus adalah menentukanbilanqan yang tersisa J (n) (J kependekanoari Josephus). gn1u1 n =10, berani J (n)= 5 untuk n yang kecil bilangan J (n) dapatdicari dengan mudah dan dibuat dalamtabel sebagai berikut :Tabel bilangan JosePhus untuk nbersekongkol bisa selamat maka merharus berada pada salah satunya padasisi bilangan J(n) dan yang lainnyaoosisi orang kedua dari belakangiersisa jika setiap orang kedua diBilangan kedua dad belakang Yangsa tersebut kemudian disebut denganlangan l(n). Dengan perhitungan yangdikit rumit akan diPeroleh untukl(n)35. Jadi supaya JosePhus dan knva selamat mereka harus beradaposis ke- 19 dan 35.Perhitungan J(n) denganrumus (.) untuk n Yang besarkan oemakaian rumus (') berkali-kali'tohnva untuk J(1 000000) diperlukankaian rumus (-) sebanyak 19 kaliuntuk mencari cara perhitungan yangefisien untukJ(n) kerudian memicu keteori matematika menarik lainnyamasalah JosePhus meruPaKandalam matematika diskrit (dalam bidangDenqan sedikit kemampuan logika di-oerolen-untui n Oitangan genap n =2m'm>/l 'dioeroleh rumus untuk J (n),J(n)=j(2m)=2J(m)-1'm>/1komputer) karena bilangan J(berguna untuk menyelesaikan.e- lllffiffiWHWupaya mengeluar-kan bakat matema-tika. Sejarah ma-tematika mencatatsalah salu teori ma-tematika lahir daria- Masalah Josephus.'a ttasatatr Josephus pada masa perangak Yahudi-Romawi sekitar abad pertama)w masehi di Eropa terjadi pembantaian besar-o- besaran penduduk yang beragama Yahudi'Jn p"O" masa itu. terkenallah seorang ahlida seiarah yang bernama Flavius Josephusr- yairg beragima Yahudi. Ahli seiarah inii /a  6 is ;  ber t inan h idup bahkan menjadi[e- terkenal pada masa ini berkat kemampuanbu matematika yang terpendam dan muncul)a- pada saat yang dibutuhkan Pada suatutlir ieiadian, Josephus dan 40 orang rekanrn seaoa-manya terperangkap dalam gua danna dike-pung oleh prajurit-prajurit Romawi''  Mereka sepakat  dar ipada menygran 'riu- ditanqkap, disiksa. dan kemudian dibunuhriu- olen fara pralurit Romawi, lebih baik me-Lksi reka'semua bunuh diri. Caranya denganam membentuk lingkalan, menghitung searantuk jarum jam dan membunuh setlap orangrda 'kedua dari hitungan pertama sampai tidakmo ada satu orangpun yang tertinggal Jo-irii sepnus bersama dengan seorang teman-di- nya yang lain tidak setuiu dengan. bunuhsebagai berikut : 12ra).. . r2J(m)-1, Jika n genap atau n = 2mJ(n) =t2J(m)*t, jit a n ganiil atau n=2m+1n =41 Yaitu :J(20)=2J(1 o)-1 =2(5)-1 =e'J(a0)=2J(1 =17, dan J(4)=2J(20)+1=2(9)+1 =1 Idari I samPai 10n 1 2 3 4 5 6 7 I 9 t 0u)r1 1 3 1 3 5 7 1 3 5oerJamaan dalam matematika diskrit'

Menolak Kematian dengan Matematika

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

University of Surabaya Institutional Repository