Fourierova transformacija i Paley-Wienerov prostor

Abstract

U ovome radu izložene su osnove Fourierove transformacije na Banachovom prostoru $L^1(\mathbb{R})$ i Hilbertovom prostoru $L^2(\mathbb{R})$. Također, opisana su glavna svojstva Paley-Wienerovog prostora i dokazan je teorem o uzorkovanju na tom prostoru. Rad je podijeljen u četiri idejne cjeline, u prvom poglavlju navedeni su rezultati iz teorije normiranih prostora, te mjere i integrala koji su potrebni u proučavanju Fourierove transformacije. U drugome dijelu pažnju smo posvetili baznim okvirima koji se pokazuju korisnima u samom teoremu o uzorkovanju. Treće poglavlje posvećeno je Fourierovoj transformaciji. U četvrtom poglavlju uvodi se Paley-Wienerov prostor, proučavaju se svojstva tog prostora i na samom kraju, dokaže se teorem o uzorkovanju.In this thesis we introduce outlines of Fourier transform in Banach space $L^1(\mathbb{R})$ and Hilbert space $L^2(\mathbb{R})$. Also, main properties of Paley-Wiener space is disscused and Sampling theorem has been proved. The thesis consists of four parts. Chapter 1 is a review of normed linear spaces theory and measure and integration theory, needed in coming chapters. Chapter 2 is devoted to frames, which will show useful in the Sampling theorem. In Chapter 3 we commit to Fourier transform. In final chapter, Paley-Wiener space has been introduced, main properties have been brought up and Classical Sampling Theorem has been demonstrated