Fabiano, Federico

Almae Matris Studiorum Campus

Soluzioni esercizi magnetismo

FISICA GENERALE T-2Federico FabianoJune 6, 2018Esercizi tutor - Parte IICampi magnetici generati da correnti, forza magnetica, leggedi AmpereProblema 1: Tre fili paralleliSoluzione:(a) Ogni filo produce un campo magnetico B = µ0i0/2pirθˆ, dove r e` la distanzadal filo. Le linee del campo sono dirette in senso antiorario perche` le correntisono tutte verso l’alto. Se mettiamo l’origine dell’asse x in corrispondenza delfilo 1, gli altri due fili sono nel punto x = d e x = 2d rispettivamente. Ilcampo magnetico risultante sul piano xz e` diretto lungo yˆ e vale in un puntodi coordinate (x,z):B(x) =µ0i02pi(1x+1x− d +1x− 2d)yˆ(b) Disegnando le linee circolari prodotte da ciascun filo e sommando poi i campidei tre fili..(c) Le correnti sono tutte nello stesso verso, le forze sono attrattive. La forza peru.d.l. su ciascun filo e` data dal prodotto vettore di i0zˆ per il campo prodottodagli altri due fili in quel punto. Si trova:f1 = i0zˆ × [B2(x1) +B3(x1)] yˆ = µ0i202pi(1d+12d)xˆ =3µ0i204pidxˆf2 = 0 f3 = −3µ0i204pidxˆ(d) Cambia il segno del contributo del secondo filo nell’espressione del campo (ilsecondo termine nella parentesi al punto a) e in quella delle forze, che diventanorepulsive e diminuiscono in intensita`.f3 = −µ0i204pidxˆ f2 = 0 f3 =µ0i204pidxˆ1Problema 2: Disco carico rotanteSoluzione:(a) Il campo prodotto da una spira circolare al suo centro si trova integrando ilcontributo di ogni singolo elemento dl della circonferenza dato dalla legge diLaplace:B =∫CdB =∫Cµ04pir2idlθˆ ×−rˆ =∫ 2pir0µ0i4pir2zˆdl =µ0i2rzˆ(b) La carica totale dell’anello e` σ2pirdr, e compie un giro nel tempo T . Di con-seguenza la corrente infinitesima vale: dis(r) = σ2pir/Tdr. Il campo dBs(r)prodotto da questa spira infinitesima vale:dBs(r) =µ0dis(r)2rzˆ =µ0piσTdrzˆ(c) Integrando l’espressione precedente su r si ottiene B =∫dBs(r) =µ0piσRT zˆProblema 3: Tre piani percorsi da correnteSoluzione:(a) I piani sono infiniti, quindi il campo non varia spostandosi sul piano. L’unicadipendenza del campo puo` essere rispetto a x. Una corrente lungo z produceun campo che sta sul piano xy e si avvolge in circonferenze attorno al filostesso. Sommando il contributo di tanti fili, le componenti dirette in direzioneperpendicolare al piano (cioe` lungo xˆ) tendono ad annullarsi, producendo dellelinee di campo in direzione yˆ.(b) Considerando un percorso rettangolare sul piano xy che non interseca nessunodei piani, come il percorso A in figura 1, per il teorema di Ampere abbiamoche il campo non varia con x nelle regioni esterne o tra i piani, ma varia soloin corrispondenza con i piani. Il campo di un piano, considerando un circuitocome il circuito C in figura 1, vale Bi = µ0nii/2, ed e` diretto come in figura.Sommando i campi dei singoli piani si trova:x < x1 B = −µ0ni2yˆx1 < x < x2 B =µ0ni2yˆx2 < x < x3 B = −µ0ni2yˆx > x3 B =µ0ni2yˆ2(c) Le tre forze sono nulle. Dato che il campo prodotto da un piano non dipendedalla distanza, per i due piani esterni la forza repulsiva del piano centrale e`bilanciata dalla forza attrattiva dell’altro piano esterno. Sul piano centrale laforza e` nulla per simmetria (le due forze repulsive si bilanciano a vicenda).x1 2 3A CB1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3Figure 1Problema 4: Filo e spira #2Soluzione:(a) I due lati orizzontali sperimentano una forza netta nulla, mentre i sui duelati verticali agiscono forze di ugual modulo. La forza sul lato sinistro e`attrattiva, mentre quella sul lato destro e` repulsiva: la componente x delledue forze si annulla, ma la componente y no. La forza risultante e`: F =2 · 1/2 · aisµ0if/(2pia)yˆ = aisµ0if/(2pia)yˆ.(b) Le forze sui due lati orizzontali danno un contributo nullo al momento rispetto aS, essendo esterne al piano xy. Le forze sui due lati verticali danno un contributonello stesso verso. Si ha:MS = Σiri⊥Fi = 2 ·√3/2 · a/2 · aisµ0if2pia=√3µ0a2isif4piaInduzione magnetica, legge di FaradayProblema 5: Filo e spira #3Soluzione:3(a) Al tempo t = 0 la corrente nel filo e` i0, diretta verso l’alto. Quindi il campo hamodulo B = µ0i0/2pir, dove r e` la distanza dal filo e direzione perpendicolareal piano in cui giace la spira.(b) Il flusso del campo attraverso la spira e` dato da:Φ(t) =µ0i02pi∫ b0db∫ d+ad1rdr =µ0i0b2pilog(d+ ad)cos(ωt)Percio` la corrente nella spira e` data da:is(t) =1RdΦ(t)dt=µ0i0bω2piRlog(d+ ad)sin(ωt)Il verso positivo e` quello in cui il lato parallelo piu` vicino al filo ha una correnteche scorre nella direzione positiva di zˆ.(c) Le forze sui lati perpendicolari al filo si annullano a vicenda. La forza risultantesugli altri due lati e` (assumiamo che la spira stia nel piano yz):F = −bis(t)µ0i(t)2pid+bis(t)µ0i(t)2pi(d+ a)yˆ = − µ20i20b2aω2pi2Rd(d+ a)log(d+ ad)sin(2ωt)yˆProblema 6: Induzione tra due solenoidiSoluzione:(a) Sia n1 = N1/L1 e n2 = N2/L2. Al tempo t = 0 il campo vale: B = µ0n1i0zˆ.(b) La densita` di energia magnetica e` um = B2/2µ0, quindi l’energia magnet-ica totale contenuta nel solenoide a t = 0 e`: Um = piR21L1(µ0n1i0)2/2µ0 =piR21L1µ0n21i20/2.(c) Il flusso attraverso una spira e` Φs = piR22µ0n1i0, quello totale e` quindi ΦS =N2piR22µ0n1i0.(d)  = dΦS/dt = N2piR22µ0n1i1 e i2 = /R2. La corrente indotta percorre le spirein senso orario.Problema 7: Spira che routa in campo magnetico uniformeSoluzione:(a) Ad entrambi i tempi il flusso vale Φ = a2B0 in valore assoluto, ma il segnocambia. Se definisco come positivo il flusso a t = 0, al tempo t = 1 s avro`Φ = −a2B0.(b) Con la convenzione sul segno appena definita, il flusso vale Φ(θ) = a2B0 cos θ.(c) Con la spira in rotazione, θ(t) = 2pit/T = ωt. Quindi Φ(t) = Φ(θ(t)) =a2B0 cos(ωt).4(d) i(t) = (t)/R = ωa2B0 sin(ωt)/R. Il verso positivo e` quello antiorario vistodalla direzione positiva dell’asse y. La corrente inverte il senso dopo mezzogiro.(e) I due lati orizzontali non contribuiscono. I lati verticali danno lo stesso con-tributo e trovo:Mz = −2 · i(t)B0 sin(ωt) = −2ωa2B20 sin2(ωt)/RIl momento e` diretto sempre nello stesso verso perche` tende sempre a frenarela spira in rotazione. In caso contrario avrei un paradosso energetico.5

http://campus.unibo.it/340007/1/Soluzioni_esercizi_tutor_parteII.pdf

Soluzioni esercizi magnetismo

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Almae Matris Studiorum Campus

Almae Matris Studiorum Campus