Pada catatan ini, dikemukakan suatu pendekatan penyeragarnan terhadap rumus gangguan untuk rantai Markov terbatas. Pertama, diberikan bukti ringkas dari rumus gangguan Schweitzer's untuk rantai Markov terbatas yang dapat digunakan untuk kes matrik gangguan dan matrik asal mempunyai kelas berulang tunggal, atau secara am jika kelas berulang dari matrik gangguan dan matrik asal tetap sarna. Kedua) fokus ditujukan kepada rumus gangguan yang dibuat oleh Lasserre untuk kes dimana gangguan daripada rantai Markov dengan beberapa kelas berulang merosak struktur kelas rantai markov ke dalam kelas bel1llang tunggal. Akhimya pada studi ini dinyatakan bagaimana hasil yang diperolehi dapat diperluaskan kepada kelas yang lebih am untuk matrik tak negatif. Dua contoh berangka diberikan untuk menjelaskan keadaan dan keputusan yang diperoleh

Kamil, Anton Abdulbasah

Indonesian

Repository@USM

Prosiding Simposium Kebangsaan Sains Matematik Ke-I 0labatan Matematik, Fakulti Sains, UTM dan Persatuan Sains Matematik MalaysiaSUATU CATATAN TERHADAP RUMUS GANGGUAN (PERTURBATION) UNTUKRANTAIMARKOVTERBATASIAnton Abdulbasah Kamil*IPusat Pengajian Sains Matematik, Universiti Sains Malaysia,11800 USM, Pulau Pinang, Malaysia.Mel-e: lanton@cs.usm.myAbstrak: Pada catatan ini, dikemukakan suatu pendekatan penyeragarnan terhadap rumusgangguan untuk rantai Markov terbatas. Pertama, diberikan bukti ringkas dari rumus gangguanSchweitzer's untuk rantai Markov terbatas yang dapat digunakan untuk kes matrik gangguan danmatrik asal mempunyai kelas berulang tunggal, atau secara am jika kelas berulang dari matrikgangguan dan matrik asal tetap sarna. Kedua) fokus ditujukan kepada rumus gangguan yang dibuatoleh Lasserre untuk kes dimana gangguan daripada rantai Markov dengan beberapa kelas berulangmerosak struktur kelas rantai markov ke dalam kelas bel1llang tunggal. Akhimya pada studi inidinyatakan bagaimana hasil yang diperolehi dapat diperluaskan kepada kelas yang lebih am untukmatrik tak negatif. Dua contoh berangka diberikan untuk menjelaskan keadaan dan keputusan yangdiperoleh.Katakunci : Rantai Markov, Teori gangguan, Pengemaskinian rumus) Matrik tak negatif.1 PengenalanRantai Markov dapat qigunakan sebagai alat pemodelan berkesan untuk sistem-sistern ekonomi padaamnya. Seperti diketahui bahawa nilai-nilai input daripada parameter-parameter dalam model tersebutbiasanya tidak diketahui secara pasti, ini membangkitkan minat untuk lebih mengetahui akibatdaripada sedikit ketidakpastian ·atau ketidaktepatan pada nilai-nilai ini untuk perilaku jangka masapanjang daripada sistem ekonomi yang dipertimbangkan. Oleh itu rumus gangguan untukkebarangkalian terhad daripada rantai Markov menjadi sangat herguna.Teori gangguan untuk rantai Markov terbatas telah dipelajari secara sistematik oleh beberapa- penulis, seperti Schweitzer' (1968), menekankan pentingnya matrik asas untuk teori' gangguan danrnemperoleh rurnus gangguan yang kemudian dikenal dengan rumus gangguan tetap daripada rantaiMarkov (iaitu jika gangguan rnengekalkan keberadaan struktur kelas daripada matrik stokastik yangdipertimbangkan). Selanjutnya Lasserre (1994), memperoleh rumus gangguan yang dikenal sebagaigangguan tunggal (iaitu jika gangguan merosak struktur kelas daripada matrik stokastik yangdipertimbangkan ke dalam kelas berulang tunggal). Beberapa rujukan-rujukan penting lainnya untukgangguan dan analisis batas kesalahan (error bound analysis) daripada rantai Markov adalah kertaskerja Meyer (1980), Funderlic dan Meyer (1986), dan Haviv dan van der Heyden (1984).Tujuan daripada kertas kerja ini adalah untuk menyeragarnkan pendekatan daripada rumus-rumus yang telah diperoleh Lasserre (1994) dan Schweitzer (1968), dan untuk menunjukkanbagaimana hasilnya dapat diperluaskan kepada kelas yang lebih umum daripada matrik-matrik taknegatif. Pada kertas kerja ini diberikan bukti ringkas daripada rumus gangguan Schweitzer untuk kesgangguan-gangguan tetap. Selanjutnya akan dilakukan ubah suai daripada bukti rumus gangguan yangdiberikan Lasserre (1994) untuk k~~ gangguan-gangguan merosak struktur kelas daripada matrikstokastik yang dipertimbangkan untuk kelas berulang tunggal. Akhimya pada kertas kerja ini akanmengulang kaji semula beberapa kenyataan daripada teori rnatrik tak negatif dan menunjukkanbahawa setelah dilakukan transformasi sederhana yang sarna, hasil gangguan dapat diperluaskankepada kelas matrik tak negatif yang lebih urnUffi. Dua contoh berangka diberikan untuk menjelaskankondisi dan hasil yang diperolehi.2 Rum~s Gangguan Untuk Matrik StokastikBiar P adalah matrik transisi kebarangkalian (stokastik) n x n (iaitu matrik tak negatif sedemikiansehingga bahawa setiap jumlah daripada barisnya sarna dengan satu). Diketahui bahawa had daripada1 m-Imatrik transisi kebarang~alian p. = had - z= pk (had Cesaro daripada P) (lihat rujukan [I]) danI m-tetJ m k=O IZ = (1 - P + p.r l (matrik asas P) selalu wujud dan memenuhi(1)(simbol I adalah tempahan untuk matrik identiti daripada dimensi yang sesuai). Selanjutnya, jikamatrik P tidak berkala (iaitu jika nilai-nilai eigen P adalah satu dengan modulus sarna dengan satu)sehingga had pm = p •.m-tetJIngatkan kembali bahawa Pp. = p.p = p. = p.p •. Jika P mempunyai sa£u kelas berulang,maka baris daripada p. adalah identik dan sarna untuk vektor taburan kebarangkalian stasionerdaripada rantai Markov yang dipertirnbangkan.Untuk gangguan-gangguan kecil daripada matrik kebarahgkalian transisi P, dalam hal inidirujuk sebagai matrik asal, dihasilkan kedalarn matrik kebarangkalian transisi P , yang kemudianditakrifkan sebagai matrik gangguan. Sedangkan p. dan p. adalah had matrik kebarangkaliantransisi daripada matr'ik asal dan matrik gangguan. Pengamatan akan dilakukan terhadap perbezaanp. - p', atau kedalam penemuan rumus untuk menghitung p'sebagai fungsi daripada perbezaan6 = P - P dan tidak ada parameter lain dari gangguan rantai Markov. Perlu diingat bahawa semuakuantiti untuk model gangguan pada kertas kerja ini akan ditunjukkan dengan tanda garis atas, sebagaicontoh P, Z (diberi reaksi P, Z) adalah kebarangkalian transisi dan matrik asal, daripada rantaiMarkov asal (diberi reaksi gangguan)2.1 Kes Gangguan TetapAnggap bahawa matrik asal P dan matrik gangguan P keduanya mempunyai kelas berulang tunggal.Pada kes ini baris daripada p' (sarna dengan taburan stasioner dari rantai markov asal) adalah sama,sehingga dapat disimpulkan bahawa : .Setelah dilakukan beberapa manipulasi aljabar, daripada (2) akan diperoleh :-. • • -I· - ·1Zp =P <=> P = Z - P dimana Z = (1 - P +P rdan daripada (1)dan PZ ::: Zp = Z + p. -1 , p.p = p. daripada (3) dapat disimpulkan bahawap. (1- Z)-+ p.PZ = p. ~ p.[l- (P -: P)Z] ::: p.470(2)(3)(4)(5)untuk memperoleh rumus ekspHsit untuk pO cukup menunjukkan bahawa 1 - (p - P)Z adalah taIcsingular. Dengan cara yang sarna, seperti rumus yang diberikan Schweitzer (1968), diperoleh:/ -(P -P)Z =[Z-I -P+P]Z =(/-P +po)Z == [Z-I +p. --po]Z == 2-1[/ + p. J·]Zmenunjukkan .([1 + p. - p·r l =1 - p. + p.) kewujudan daripada [I - (P" - p)Zr' == Z-1 [1 - p. + p·]ZDeng;~n menggunakan 11 == P - P , daripada (5) akan diperoleh 'I(6)rumus (6) di atas dikenal dengan rumus gangguan seperti yang diperoleh Schweitzer (1968).Perhatian: Amati bahawa (2) - (5) tetap sah jika P adalah kelas berulangan tunggal. Malangnya, untukmewujudkan [1 -112] adalah tak singular, harus menggunakan rumus' pp. == p. sah jika P hanyamempunyai kelas berulang tunggal.2.2 Kes Kelas Berulangan Tunggal Daripada Matrik Ganggua_nPada bahagian ini akan ditunjukkan hasil gangguan yang diperoleh Lasserre secara ringkas dandilakukan sedikit ubah suai ke atas bukti yang diperolehinya. Lebih lanjut dianggap bahawa Pmempunyai beberapa kelas berulang, tetapi matrik gangguan P mempunyai kelas berulang tunggal.Memandangkan jumlah baris daripada p. adalah sarna dengan kesatuan (unity), sehingga dapatmenentusahkan bahawa Pp" = p., p. p. = P" menunjukkan bahawa(1- P + P')P" = p. ¢:) Zp' = p' dimana Z = (1- P +p·r l .Sekarang an~ati b&hawa : ZP" = p' <=> Z(1- p. - Z) + ZZ = Z - p' dan(memandangl<an Zp = PZ = -I +]5. + Z, Z = 1+ ZP-p·)-ZPZ +ZZ = Z _po ¢:) [1 _po -Z(p -10)].2 = z _poDengan 11 = J5 - P , diperoleh' nJmus:(7)dan dcngan mcndarab (7) olen p. diperoleh : (kerana p.p. = p., p'z = p. = p"p')(8)(Rumus (7), (8) telah dibuktikan oleh Lasserre [4], hanya dalam kcrtas kerja ini digunakan pendekatanyang berbeza dengan bukti yang ditunjukkan oleh Lasserre). Memandangkan [I - p. - 211] adalahsingular (amati bahawa jumlah iajur dClli matrik diatas adalah sarna dengan vektor kosone;); hiarkan Eadalah matrik satu dan, dengan cara yang sarna seperti ditunjukkan oleh Lasserre, sebagai pengganti(7), pertimbangkan :• 1 - -. 1 -[J-P +-E-Z~]2==Z-P +-E2n n(9)" IBiar H = [l - P +- E - ZI1] seperti yang telah ditunjukkan oleh Lasserre bahawa H adalah taknsingular dan bahawa :He = e,H-1p" == pO ,H-1!-E =!-E (10)n n471Untuk menentusahkan kenyataan ini,. anggap bahawa percanggahan, iaitu biarkan x"* 0 adalahwujud, sedemikian sehingga (po + Z~)x· = (I +.!.E)x. Selanjutnya (dengan mendarab (10) olehn - -.[I - P +pO]) sedemikian x harus memenuhi (1 +.!.E)x = Px ; anggap bahawa XI =max. x. dann J 1..dapat . den~an mudah disimpulkan bahawa XI = 0. Dapat dibuktikfn H- Je = e ¢:::> He =e,-. 1memandangkan: Z/j,e = O,P e = e,-Ee = e. Untuk menentusahkan bahawan1-· -. -.-.H - P = P <=> HP = P amati bahawa kerana P mempunyai kelas berulang tunggal-. -. 1 -. - • .PP = PP = - EP =P . Sehingga dapat ·<;lisimpulkan bahawa:nHp· = p. - p.p. +.!.Ep· - zpp'. + Zpp. = p * .nyntuk memperoleh pengemaskinian rilmus dalam bentuk yang.sama seperti yang ditunjukkanLasserre [4J, memandangkan Pp. = P *,p.!. E = .!. E juga M* = 0, /j,.!. E = 0, dan dari (9)n n ndiperoleh:Z = H-1Z _po +.!.EZ => & = MJ-IZnmasukkan persamaan (11) ke dalam (8), maka diperoleh:rumus (12) diatas adalah pengemaskinian rumus untuk p* pada (6).3 Perluasan Rumusan Gangguan Kepada Matdk Tak Negatif(11)(12)Sampai saat ini kita membatasi perhatian untuk kes matrik stokastik, iaitu, matrik tak negatifsedemikian setiap jumlah baris dari m.qtrik tersebut adalah sarna dengan kesatuan (unity). Tetapi telahditunjukkan bahawa setelah dilakukan transformasi sederhana dengan cara yang sarna, hasil yangdiperolehi dapat diperluas kepada kelas yang lebih umum dari matrik tak negatif. Untuk itu diperlukanbeberapa kenyataan yang berguna daripada teori matrik tak negatif.Menurut teorem Perron-Frobenius (lihat rujukan [1 J), radius spektral, dinyatakan denganp(.), daripada matrik tak negatif 1.1 adalah sarna dengan nilai eigen positif terbesamya (dikenalsebagai nilai eigen Perron) dan rnencocokkannya dengan vektor eigen kiri, dan vektor eigen kanan(dinyatakan dengan symbol v(.),u(.) dan masing-masing' dikenal sebagai vektor eigen Perron kiri,dan vektor eigen Perron kanan) dapat dipilih tak negatif, iaitu:p(M)v(M) = v(M)M,p(M)u(M) = Mu(M) (13)Pada kes dimana matrik tidak dapat dipecahkan, nilai eigen Perron adalah sederhanaJringkas, vektoreigen Perron adalah unik menaik./meningkat kepada berlipat ganda tetap dan dapat dipilih sebagaipositif.Selanjutnya, jika M d;apat dipecahkan, dapat dikatakan kelas M yang tidak dapat dipecahkanadalah asas jika dan hanya jika beberapa dari nilai-nilai-eigennya sarna dengan p, lainnya kelas yangtidak dapat dipecahkan adalah bukan asas (non basic). Dapat ditunjukkan (lihat contoh pada [I J)bahawa u >°jika dan hanya jika :472(i) Setiap kelas asas M adalah tidak mudah masuk kepada sebarang kelas yang tidak dapatdipecahkan lainnya daripada M. .,(ii) Setiap kelas bukan asas daripada M adalah mudah masuk kepada paling tidak satu kelasasas daripada M (kemasukan adalah aipertimbangkan pada -cara yang sarna seperti padateori rantai Markov).Terutamanya, setelah perubahan yang sesuai :daripada baris dan lajur daripada matrik M yangdapat dipecahkan yang secocok dengan pemasuk!an pepenjuru tak negatif, yang mana mempunyaivektor eigen kana? u positif tegas (strictly positive) dapat dihuraikan dengan cara berikut:M(oo) M(ol) M(Or)0 M(II) 0M= (14)0 0 M(rr)dimana setiap kelas yang tidak dapat dipecahkan daripada 1\1(00) adalah bukan asas, sementaramatrik-matrik M(II) , ... , JvJ(rr) semuanya dapat dipecahkan dan kelas asas daripada M, iaitu:p(M(oo») < p(M(1 I») =... = p(M(rr») = p(M) (15)Mengingat bahawa jika M adalah matrik stokastik (iaitu jika setiap jum1ah baris adalah sarnadengan kesatuan (unity) sehingga p(iYf) = 1 dan kita dapat memilih u(M) = e, (e menyatakanvektor unit), maka kelas asas dari M adalah kclas berulang dan kelas bukan asas senlpa kepada statussementara daripada matrik stokastik A1.Selanjutnya perhatian ditujukan kepada perluasan daripada rumus gangguan untuk matrikstokastik kepada kelas matrik tak negatif yang lebih umUffi. Kita nyatakan M sebagai matrik taknegatif asal dan M adalah matrik tak negatif gangguan dan buat anggapan umum seperti berikut:Takrifan GA Terdapat wujud vektor lajur positif tegas u = [u;] (iaitu u j > 0, untuk semuai = 1,2,... ,n) sedemikian sehinggaJUU = Jvfu = U (16)Sekarang biar V = diag{u;} . Memandangkan semua u j adalah positif, U adalah tak singulardan songsangnya wujud, terutamanya, V-I = diag{u j - ' }. Selanjutnya, daripada (16) dapatdisimpulkan bahawa matrik P, P memenuhi kondisi:(J 7)adalah matrik stokastik (dengan menggunakan (16) dapat dengan mudah dilihat bahawa setiap jumlahbaris dari P, P adalah sarna dengan kesatuan (unity)). Dengan cara yang sarna dapat ditunjukkandibawah takrifan GA :M· = Iim~IM k ,M" = lim..!.. IM k (hadCesarodaripadaM, M)m-+<:J:> m k=O m-4<:J:> m k=Odan matrik Y = (1- M +M"rJ , Y =(1- M +M·rl wujud dan memenuhi:(18)473Dengan menggunakan transformasi yang sarna seperti yang diberikan oleh rriatrik U kepada rumus(6)" untuk gangguari-" tetap daripada rantai Markov, dapat disimpulkan dibawah takrifan GApengemaskiniaIITumus'menjadi:(19)dimana !:l = M - M .Penjelasan yang sarna dapat diperoleh juga dalam kes bentuk gangguan singular (12).4 ContohPada bahagian ini akan ditunjukkan 2 contoh berangka yang menjelaskan rumus gangguan untukkedua kes, iaitu jika matrik asas dan matrik gangguan mempunyai kelas berulang tunggal atau palingsedikit satu diantaranya mengandungi lebih dari satu kelas berulang. Contoh ini diambil dan kertaskerja Lasserre [4] dan kertas ~erja Schweitzer [6].Contoh 1:(Matrik asal mempunyai kelas berulang tunggal, tetapi pemyataan ini tidak harus benar untuk matrikgangguan).P __ [0.5 0.5] - [1- 0.5A 0.5A]P(A) = , dimana a:::; A < 1 .0.5 0.5 0.5A 1- 0.5AJelasnya P mempunyai kelas berulang tunggal, demikian juga benar untuk P (A) jika dan hanya jikao< A < 1, tetapi peA) untuk A = a mempunyai dua kelas berulang. Setelah dilakukan beberapaperhitungan diperoleh (kita ringkaska"n t6.(A) = P(A) - P ) :p' = [0.5 0.5] z = [1 0] !:l A= [0.5(1- A) 0.5(A -1)]0.5 0.5' a l' () 0.5(A-I) 0.5(1-A)daripada (6) dapat kita simpulkan untuk a< A < 1 :p' (A) = p' [J _ !:l(A)Zr l = [0.5 0.5][0.5(1 + A) 0.5(1- A)]-I0.5 0.5 0.5(1- A) 0.5(1 + A)-. l'-0.) 0.5]dan P (A) = , a< A < 1.0.5 0.5Malangnya, pendekatan ini tidak berlaku apabila A = O. Memandangkan [I - t6.(A)Z] adalahsingular. Tetapi, jelasnya :474Contoh 2:(Matrik asal mempunyai beberapa kelas berulang dan matrik gangguan mempunyai kelas berulangtunggal).Biar P =[01 0], P(A.) =[1- 0.52 0.52], dimana a< A. ~ 1.1, 0.5A. 1- 0.5A.I IJelasnya P mempunyai 2 kelas berulang, tetapi setiap P(A.) untuk a< A. ~ 1 mempunyai kelasberulang tunggal. Pada kes ini pengemaskinian rumus Schweitzer (6) tidak lagi berlaku, sehingga kitaharus menggunakan pengemas~inian rumus Lasserre (12). Untuk menyelesaikan contoh diatas kitaharns mewujudkan :p' = [1 0] Z= [1a l' a0] [-:- 0.5A.6A.=1 ' 0.520.5A. ]-0.5A.Selanjutnya dengan (12) setelah dilakukan perhitungan diperoleh untuk a< A. ~ 1H-1 (A.) _ 1 [ 0.5 + A. - 0.5 + A.]2A. - 0.5 + A. 0.5 + A.menandakan bahawa :-.. I [0.5 0.5]P = P [1 + ~(}~)H- (A)Z] =0.5 0.5Rujukan1. Bem1an, A. dan Plemmons, RJ., 1994. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences.Edisi ke 2, New York: Society for Industrial & Applied Mathematics.2. Funderlic, R.E. dan Meyer, C.D. Jr., 1986. Sensitivity of the stationary distribution vector forergodic Mqrkoy chain. Linear Algebra Applic. 76: 1 - 17. .3. BaYlV, M. dan van der Heyden, L., 1984. Perturbation bounds for the stationery probabilitiesof a finite Markov chain. Adv. In Appl. Probab. 16: 804 - 818.4. LasselTe, J.B., 1994. A formula for singular perturbation of Markov chains. 1. Appl. Probab.31: 829-833.5. Meyer, C.D. Jr., 1980. The condition of a finite Markov chain and perturbation bounds for thelimiting probabilities. SIAM1. Alg. Discrete !viethods 1: 273 - 283.6. S(;!1weitzer, PJ., 1968. Perturbation theory and finite Markoy chains. 1. Appl. Probab. 5: 401-/~13.475

Suatu Catatan Terhadap Rumus Gangguan (Perturbation) Untuk Rantai Markov Terbatas.

http://eprints.usm.my/10668/1/Suatu_Catatan_Terhadap_Rumus_Gangguan_(Perturbation)_untuk_(PPS_Matematik).pdf

Suatu Catatan Terhadap Rumus Gangguan (Perturbation) Untuk Rantai Markov Terbatas.

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository@USM