本文分析了无界弹性体中含一半无限裂纹;在裂纹面上受一对距离裂纹尖端为L的冲击集中载荷作用的三维应力强度因子历史;求得了Ⅰ型应力强度因子的精确解;求解方法基于积分变换法、Wiener-Hopf技术以及Cagniard-de Hoop变换的直接应用;由于问题包含一特征长度L;在以前被认为是难以解决的。本文还讨论了解的某些性质并给出了数值结果

李湘平

柳春图

Institute Of Mechanics,Chinese Academy of Sciences

第 24 卷 第 3期中 阁 种 学 (A 辑 )SQ E[ N CE IN O田 N A ( S幼 . A) l更玛年 3月三维冲击载荷下半无限裂纹的动态应力强度因子 *李湘平 柳春图(中国科学院力学研究所 , 北京 1X( 刀即摘 要本文分析了无界弹性体中含一半无限裂纹 , 在裂纹面上受一对距离裂纹尖端为 L的冲击集中载荷作用的三 维应力强度因子历史 , 求得 了 I 型应力强度因子的精确解 . 求解方法基于积分变换法 、 iW e en r一。 fP 技术以及 Q 助 i a dr 吐e H 。。 p 变换的直接应用 . 由于问题包含一特征长度 L , 在以前被认为是难以解决的 . 本文还讨论 了解的某些性质并给出了数值结果 .关链词 三维冲击栽荷 、 半无限裂纹 、 应力强度因子近年来 , 由于数学上 的困难 , 三维现象在动态断裂力学中很少受到注意 . 在解析方面工作尤其缺乏 ,可用的结果很少 . F er u n d 首先研究了 R a vle ihg 表面波与半平面裂纹相互作用问题 1 .cA hen b a e h 和 G a u t e s e n 研究了三维简谐力下的半无限裂纹应力强度因子历史冈 . 后来 F r e u n d又提出了一个用一般的方法来解决一类三维弹性动态裂纹 问题阔 . 这个方法由文献阱, 习所推广 . 然而 , 如果一对集中力突然开始作用在裂纹面上 , 且作用点距离裂纹尖端为 L , 即` 一 x(, z ,O“ 一形 (x 十 )L 占()z H ()t . ( l )在这种情形下如何得到精确应力强度因子解仍然是未知的以气此 问题在本文 中得到 了解决 . 分析关键步骤是采用积分变换 、 iW en r一。 p f 技术 以及aC娜 a dr 也 H o p 变换方法的直接应用 . 在某些方面 , 本文方法类似于文献网 . 本文求得了 I型应力强度 因子历史的精确解 , 讨论了解的某些特性并给出了数值结果 .1 控 制 方 程矢量表述 : 在各向同性弹性体中 , 位移矢量 “ 可用 N a v le r 方程表为龙= 心 v 钾 · u) 一 csz v x 汉 x 叭 (2)1奥趁 . 11刃收稿 , 1卯月今14 收修改稿 .* 国家自然科学基金资助项目 .第 3期 李湘平等: 三维冲击载荷下半无限裂纹的动态应力强度 因子其中 q, sC 分别为膨胀波和剪切波波速 .求解方程 ( 2) 的标准方法是通过位移矢量的 H e h n h o ltz 分解 , 引人位移势函 甲和 少u = V切 + V x 价,V· 沙二 0, } ( 3)其中标量势函 中 和矢量波势函 沙= (功、 , 沙夕 , 价J 满足解藕的波动方程 :(4 )、刀.李l矛蜘一即却介a百h一切节,`V其中 a , b 分别为膨胀波速 q 和剪切波速 sC 的倒数 . 进 一步地 , 弹性材料的 R a yle ihg 波速用q 表示 , 而相应的倒数用 。 表示 .考虑包含一半无限裂纹的无界弹性体 , 材料特征参量为剪切模量 拜 , P io s so n 比 v , 质量 密度 p . 引人一右手直角系 , 使 : 轴与裂纹前缘线重合 , 且半 无限裂纹位于 区域 y 二 O, x < 0 中 .在裂纹面上 自时间 t = O始作用一对法向冲击点载 , 该载荷离开裂纹尖端距离为 .L由于几何形状和加载的对称性 , 只须考虑上半平面 y ) 0 . 应力波场应满足边界条件 :“ , , (X,0, “ , t ) = 6 一 (x, : , t ) +a * (x.: , t ),a 二(x,o, : , r ) = o,气 (x , 0 , : , r ) = 0 ,u ,x(,(), : , t ) = u一(x, : , t ), { (5)且 一 的 < x , : < 的 及 t ) 0 . 函数 a _ 在区域 戈 < O为已知 , 而在区域 x > 0 为 a _ 三 0 . 本文中(6)在a 一 (x , : . t ) = 一玛 (x + L )占仕)H (r ) , P > O,其 中下标负号用来表示在区域区域 x < 0 恒为 O的函数 .初始条件可表为义 < O不为 O 的函数 ; 而正号下标表示在区 域 x > O 不为 O ,遭介氏切(x,J,, 公,0) = 0,妙(x , 夕, : , 0 ) = 0 ,刁中(x , 夕, : , o )口诊(x 艺, 0 ) } (7 )其中 y ) .02 求 解 方 法下面我们用积分变换法来确定动态应力强度因子 K , . 以下方程通过膨胀波势 甲表示—剪切波势可类似处理 .首先 , 引人单边 以 p h ce 变换 :。(一 , , 二 、卜工` · (一 )一 d亡; ( 8)中 国 科 学 (A辑) 第2 4卷其次 , 取双边肠 p h e 变换消去变量 : . 其变换参量为 又 :Vx(,,, “ , 习一{ 币(x,y, : ,习e 一战 dZ C (9 )最后 , 关于 x 取双边 压p la eC 变换 , 其变换参量 为 s不。 。 , , , ; , 。 一{几; 。 , , , ; , 。一 d二 ( 10)研究表明这些变换的收敛域为一丫矿一于 < eR切) < 丫矿一梦 , (l l)C为实数且 一 a < C< a .关于势函 中和 沙控制方程经过三重变换后 , 其变换域 中的适当解为必伪, y ,否,习 = A ex p (一 S叮 ) ,少切,夕, 乙, )S = B e x p (一 S抑 ) , 、 ( 12 )B = 吸 , 凡 , Bz ),且: , = a , 一 叮,一 C, , 口, 二 b ,一叮, ` C, . ( 13)复平面 。沿割线石〔 子 引 R e伪)I < ` , Im伪)二 0 切开 , 使得在割开的复 。 平面中 , 对每一值 C均有 R e间 ) 0 . 类似地 R e的 ) .0对边界条件 (5 )和方程 (3 ) 中第二式三重 aL p h ce 变换得到 5个方程 · 如果 A , B 二 ,凡 , Bz 从这些方程中消去 , 结果为包含两个未知量 U _ 和 刃、 的方程式拜 R伪, C)b Z : 切, C)u_一 粤: 十切, 。 +O 告p e ` p (S “` ,, ( 14)其中R切, O = 4勿2+ 心恤伪, C丫切,匀十俨一犷一乙梦,u一献卜且户一x(,z , 、 xP 一` s(’ 一》 dz dx, ( 1 5)工十伪, 0 二 {`{田 `z ,)Se x P (一 S《 z + 叮x ) ddz x .方程 ( 15) 为 iW e ne r一 o p f 方程 .3引人一新定义函数 S切,口为S勿, 0 =W i e n e r一O fP 技术R伪, C)x c(z 一犷一约 x “ 2少一的.(16 )第 3期 李湘平等 : 三维冲击载荷下半无限裂纹的动态应力强度 因 一子那么函数 (S 叮, 0 可因子化为 l3]f l 厂” / 4认 /下范了 、 厂歹二石苍 、 纪乙 〕S 士切 , 心) = e x P悦一 二 1 t a n 一 ’ l 一一一一一二万巧 , -又 ; 于二三尸一一 -一一 卜一产云 = =毛萦下厂 7气清二 =云一丁 , ; 一 》 . ( 17 )t 兀 J。 、 甲一 ` 勺一少 / 习 心一 “ 呵 犷一 g 工 叮) )同样函数 : 伪, 乙)可因子分解为: 切, 0 一 !抓不库不 -石 ]* 时寸了万 一 。经过一些运算后 , 方程 ( 14) 可重写为( 18)邵 (访不万 一 n)S _伪, 0扩 寸(不苏薯 一的甲(抓苏枣 + 。 )S (石不刁 十 。 )S + 伪, 匀 刃十伪, 0 十 尸 _, 、二花丁 刀L叮) ,O -( 19 )其中D切) 寸讨矿代玉 + 的(如不刁 + 。)S 、 伪,切 e x p (S l叮)·(2 0 )因为函数 (D 的在带域 : 一石砰万 < R e( 的< 、 /石厄二七万 中为解析函数 , 且 当 }。 }~ 的 , (D的 ~ .0因此它可表为两个函数 D * (的和 D _伪)之和 :D + (叮) =l 厂? + ’的 D ( z 、— l 一 Q乙2“ , J、 一 , 。 “ 一叮 R e伪) > q , (2 1)D_(叮) = D切)一 D + (叮) ,函数 D + 切)和 D 一 (的分别在复 。 平面右半平面 R e 伪) > 一抓不万为解析函数 .(22 )及左半 平面 R e勿) < 夕7 二又2采用图 l 所示的积分路径 , 有D*(。 )一牛 {乙兀 I J 几。D 行、— a 叮十公 一叮l 厂 D (: )— l — a 刃2“ , J几 : 一叮I f一 的 ,f D行) 1,一 ! l m l— l a 二:兀 J 一 、 了孕 L 二 一 叮」.dz(23)一 上 f ` 甲巫遥亘孽二一 夕旦丝卫且“J` 刃砰。 一 V c , 一 Cz ) S 一。 , `) z + “在方程 (4 . 4 )代入 D + (叮) , D _切) , 可得到尸 _U _ 一 -二二 刀万` 图 】_.P ~入 十了 认 · (2 4 )中 国 科 学 (A 辑 ) 第 24卷方程 (24)的左边和右边在重迭带域 R e切 ) <寸几于二万厄 及 R e切 ) >一寸石〔 万乏 分别为解析 .因此 , 通过解析连续性 , 两边均表示一个相 同的整函数 E切) . 依据 iL o viu le 定理 : 一个有 界 的整函数必为一常数 . 经过某些简单分析得出 E伪)三 0 . 因此 , 有丫。 一了7 导 e x p (一 S lv ) d。和一丫子灭芝 ) s 一和, O 币不万{寸(币再万 + ,(币不子 + 。 )+S伪, C) e x P (S l叮)一 生 〔“ 续恒孽重二 望更上互l些 d碑.兀 J` 二子 切一 V 己一犷州一 v(, ` ) 叶叮 J (2习4 动态应力强度因子我们现在来确定动态应力强度因子 凡 . 依据通常定义 , 有凡 (z . 自叮 , : X , 0 . Z . t) ~ 一书去三于~ , X ~ U ,V毓 x (2 6)其中凡是待定的沿裂纹前缘动态应力强度因子 .根据考虑变换函数渐近特性的 A be l 定理 , 给出凡《 ,习 = il m 【(2 5叮) 1滚切, ,)] . (2 7 )利用方程 (2 5) , 则变换后沿裂纹前缘的应力强度因子为万 , , _ 厅 尸 厂`入 ;铸 , 。 ) = 、 /万 丁 I~ ” J 寸,了二乏丫v( 一石不乎 ) e x p ( 一 s lv )v( 一丫屯〔 乎) s 一和, O d砂.(2 8 )在放松 C是实变量的约束后 , 关于变量 : 的压p l a eC 逆变换给出-^一 s 阿 ’ 乙。 一 , _ 。 、 . 。入侈 , 0 ) = 不二~ . 人认 , 百声x p协` z刀` ,` 兀 i J `o 一 i的 (2 9)其中乱是 ( 一 a , a) 中的实数 .改变变换参量 C和变量 W之间的积分次序有、 , 。 一二房二 · i(m 、 ( 30 )这里i( w, 。 一兴 {孽亘迪典弊里二竺丝 d c` 7n 1 0 1 _ _ _ 产 产` 一 厂` 、 一一 ” 俨一寸衬犷少S一讨 “ ’ 一梦 城 ` ) (3 1)B, 为逆变换的 B or ~ hc 围线.第 3期 李湘平等 : 三维冲击载荷下半无限裂纹的动态应力张度因子为使凡 O,习关于时间 t 的最后 助 p h e 逆变换可用观察得 出 , 采用 aC 娜 a dr 吐e H o p 变换 . 注意到在 C一平面上积分最佳路径可由方程L甲 a , 一 C, W一 心: = t (3 2)给出 . 且方程 ( 32) 求解后有心: * = 一 `: 士 附乙创 t , 一 a (z , + w幼 i (z/ , + w ZL 今, (3 3)这里取使平方根为正的那一支 . 易 知如果令 Im 《 L士 ) = 0 , 则有= “寸: , 十 L , w ,= 一 “ : /丫矛+ w w (34 )由于不越过极点和分枝点 , 则由乱、 定义的 aC gn iar d 围线转换是十分简单的 . 沿 aC g i ar d 围线引人 t 作为新变量 , 从而有刁C: +i( 以习二粤了乙工扁叫不漂鲁之罢鉴气冲 一寸了灭万少“ 一咖一 蛇十 , ,曰 (3 5)为使 aL p al e 变换卷积定理可以应用 , 定义函数 Q 为、 .少、 .户6,了丹j伟廿了.、 J娜、则有 尺l少, r )二 口Q介, t )户r , Q(z , o ) = o ,KI今, S ) = S Q仓, 5) .联立方程 ( 30) , ( 35 ) , 通过卷积得到凡 (z L , 乃 = 护乏. 尸兀班 · L班日刁T 工一 ’ {翩砰参{是而厂丛、又氏 尹 }009(3d全护了拜其中T 二 t/ “ L , C = c / “ , : L 二 : / L公式 (38 )为本文主要结果 .5 结 果 和 讨 论对于所得到结果 凡(z , O, 如果将其在 一的 < : < 的 上关于 : 积分 , 则解 应退 为相应的二维线布载情形 . 此问题已由 F er un d 所解决 e[] . 如果在方程 ( 28) 中实施积分 , 有(40 )因此{几、 (一印一拜令f 子裹赫e一 (一 ,`二办脚 ) dz 一摇令厂`画爵瑞可 . (4 l )这与 Fer un dl 习结果完全一致 .中 国 科 学 (A辑) 第2 4 卷对方程3 ) 8 (中积分 , 本文进行了数值计算 . 计算参数为 b = 1 . 87 a , 。 = 2 .0 2 a , : = L . 所得结果绘制在图 2 中 . 图中时间 已无量 纲化 . 因此 时 间 T =涯 相 应于 膨胀波到 达 裂纹前缘线观察点 z 的时间 . 动态应力强 度 因ù狱匕的r l 布飞 , es r l ~〕门 , , , es l ~丫 , , , 了 , , 勺 ,2.0 3.0 4 0 5 0 6.时间 (m i n )图 2子值也相应地乘上因子 2/ 尸 . 恤乙/2产 .随着冲击集中力的作用 , 沿裂纹边缘位置 z 处直到膨胀波前到达前一直静止 . 这个波前在性态上是压缩的 , 使两裂纹面初始彼此靠近 . 这点从动态应力强度因子初始从 O跳跃为负值可 以反映 .这种性质是这种特定三维载荷分布解 的显著特征 . 这种现象类似于 由 F er u n d ,R a而er z 和 C h a m P l o n 等人所讨论的卜习.在膨胀波前到达后 , 本文解呈 现出复杂的图象 , 而且 与 rF e u n d 等结果有较大的不同 . 在他们解 中 , 是在膨胀波前到达后而 R a yle ig h 波到达前 , 动态应力强度因子为负值 , 并且在 R a vle ig h 波前到达时刻呈对数奇异性 . 究其原因 : 在rFe u n d 等人不包含特征尺度解 中 , 载 荷作 用在裂纹尖缘 (x 二 y = : = 0) , 产生的波沿裂纹面传播而不包含任何波与裂纹面的反射干涉现象 . 而在本文解中 , 由于载荷作用点离裂纹边缘为L, 激发出的波经过裂纹边缘位置 : 处时 , 不仅有直接人射至 : 处一次波 , 而且有由一次波与裂纹面相撞后产生的次级反射波 . 本文解包含 同一时刻到达 : 处所有波的贡献 . 因此所得结果呈现出复杂而丰富的图象 .冲击动态应力强度因子 1K (z , O对固定的点 : = L , 在 几 tL/ = 10 以后逐渐趋近于 其相应 的静态应力强度因子值 . 其中、一渺一K , (的 , z ) = (兀五)习2 1 + (z /身 ` (斗2 )到此完成了一对突加集 中力作用在裂纹面上 , 离开裂尖位置为 L 的三维应力强度 因子历史的分析 . 本文结果及方法可应用到其它任意载荷作用的问题 .参 考 文 献F er un d,L.B. , 爪 r . .J oS 矛沁 S忿川 t . , 19 7 1, 7 : 1 1男一 12 l aA cl 祀力 b肛为 , J . D . , ( 冶u t e ns e n , A . , J A P I . 材政沂 . , 197 7 , 4 二24 3一24 9 .F re 训 d , L . B . , J M比h . 尸勺 5 501 以 s , 19 87 , 芍 : 61 一 72.R a m ire 孔 J . C . , Q.A IP. 材口 ht . 再工 V. , 198 7, :2 36 1一 37 6 .C ha m P lo n,C.R. , 加 t . J olS 谕 及川 t . , 1男8 , 24 : 28 5一 3印.F re nU d,L.B., 伪 。 a , 诬e rF 口以。 er M以 a n晚 , C an 由 r id ge U n l二 P r e s s , C aJ 叮b r id罗 , l卯 2 .K u o,M.K. ,C比ng , 5 . H . , 加 t . J oS ,泊 S忿川 t . , 1卯 l , 书 : 75 1一 7 68NO 比 l , B., 材以 h浏 5 aB s司 闭 ht e w 派印母子肠可 几`内n iq u e . , eP r罗 11刃 n P re s s , Ne w Y o r k , 19 58 .飞`J1.J, ..工卫j,`x,山,、ù4``U产0r.Lr.胜月. LI月卫.工

三维冲击载荷下半无限裂纹的动态应力强度因子

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