El objetivo del trabajo es ilustrar la aplicación de técnicas variacionales para la solución de un problema del análisis no lineal. Más específicamente, se demuestra que un problema de Dirichlet sublineal tiene por lo menos una solución cuando el crecimiento de la no linealidad en infinito está controlado por una recta de pendiente menor que el primer valor propio. La demostración utiliza un resultado clásico de la teoría de minimización de funcionales

Baena, John Bayron

Cossio, Jorge

Vélez, Carlos Augusto

Spanish

Biblioteca Digital de la Universidad del Valle

Vol. VIII, No 1, Mayo (3004)Matemáticas: 16 Matemáticas:Enseñanza Universitariac©Escuela Regional de MatemáticasUniversidad del Valle - ColombiaExistencia de soluciones para un problema de DirichletsublinealJohn Bayron Baena Jorge Cossio Carlos Augusto VélezRecibido May. 2, 2006 Aceptado Jun. 20, 2006AbstractThe purpose of this work is to ilustrate the use of variational techniques for solving anonlinear analysis problem. More precisely, we show the existence of at least one solutionfor a certain sublinear Dirichlet problem when the growth of the nolinearity at infinity isbounded by a line whose slope is less than the first eigenvalue. For proving this theoremwe use a classical result of the minimization theory of functionals.Keywords: Sublinear Dirichlet problem, minimization of functionals.AMSC(2000): Primary: 35J20. Secondary: 35J25, 35J60.ResumenEl objetivo del trabajo es ilustrar la aplicación de técnicas variacionales para la solución deun problema del análisis no lineal. Más específicamente, se demuestra que un problema deDirichlet sublineal tiene por lo menos una solución cuando el crecimiento de la no linealidaden infinito está controlado por una recta de pendiente menor que el primer valor propio.La demostración utiliza un resultado clásico de la teoría de minimización de funcionales.Palabras y frases claves: Problema de Dirichlet sublineal, minimización de funcionales.1 IntroducciónSean Ω ⊆ RN un dominio acotado con frontera suave y ∆ =N∑i=1∂2∂x2iel opera-dor de Laplace. Sea λ1 el primer valor propio del problema lineal{∆u+ λu = 0 en Ω,u = 0 en ∂Ω.(1)En este artículo se demuestra, usando técnicas variacionales, el siguienteresultado.Teorema 1. Supongamos que f : Ω×R→ R es una función de Carathéodoryque envía conjuntos acotados en conjuntos acotados. Si existen µ ∈ (0, λ1) yM1 > 0 tales que|f(x, s)| ≤ µ |s| ∀ |s| ≥M1 ∀ x ∈ Ω (2)entonces el problema de Dirichlet{∆u+ f (x, u) = 0 en Ω,u = 0 en ∂Ω(3)tiene al menos una solución.2 J. B. Baena, J. Cossio & C.A. VélezEl Teorema 1 se puede probar también empleando técnicas de punto fijo,más especificamente el Teorema de Schauder (véase [12]). Esta técnica sepuede usar gracias a la hipótesis µ < λ1 en el Teorema 1. Bajo condicionesdiferentes, por ejemplo cuando la derivada de la no linealidad es mayor queel primer valor propio, la existencia de soluciones para el problema (3) sepuede obtener por medio de métodos variacionales. Este problema ha sidoampliamente estudiado por distintos autores tanto en el caso radial (véase [2]y [9]) como en el caso no radial (véase [3], [4], [5], [6], [7], [8]). La solubilidad delproblema (3) ha estado ligada a la posición de la derivada de la no linealidadcon respecto al espectro del operador de −∆. En efecto, A. Castro y J. Cossioen [2], usando técnicas de bifurcación, demostraron que el problema (3), conf dependiendo sólo de u, tiene 4j − 1 soluciones radiales cuando Ω es unabola y la no linealidad tiene un cero positivo y el rango de la derivada de lano linealidad incluye al menos los primeros j valores propios. En [3], usandotécnicas variacionales y teoría de grado, A. Castro y J. Cossio demostraronque si el intervalo (f ′(0), f ′(∞)) contiene los valores propios λ1, λ2, ....., λky f ′(t) < λk+1 para todo t ∈ R, entonces (3) tiene por lo menos cuatrosoluciones no triviales. K.C. Chang (véase [7]) se ha aproximado al problema(3) usando Teoría de Morse.El Teorema 1 se demuestra usando un resultado clásico de la teoría deminimización de funcionales, el cual hemos incluido, por efecto de completez,en la Sección 2. La demostración del Teorema 1 se presenta en la Sección3. Allí se incluye, además, un ejemplo donde se aplica el Teorema 1 (véaseProposición 3).2 Un teorema de minimización de funcionalesSea f : Ω × R −→ R una función Carathéodory, es decir f(x, ·) : R →R es continua c.t.p x ∈ Ω y f(·, t) : Ω → R es medible para todo t ∈ R.Supongamos que f que satisface la condición de crecimiento|f (x, s)| ≤ c |s|p−1 + b(x) ∀s ∈ R y para casi todo x ∈ Ω, (4)donde {1 ≤ p < 2NN−2 si N ≥ 31 ≤ p < +∞ si N = 2,b ∈ Lp′ (Ω) con 1p + 1p′ = 1 y c es una constante positiva.Consideremos el espacio de Sobolev H10 (Ω) (véase [1]) y el funcionalJ : H10 (Ω) −→ R definido porJ(u) =12∫Ω|∇u|2 −∫ΩF (x, u) , (5)Existencia de soluciones 3donde F (x, s) =∫ s0 f (x, t) dt. Con las hipótesis que se tienen sobre f se puedeprobar que J está bien definido, J es débilmente inferiormente semicontinuo(véase [10], p.18), J ∈ C1 (H10 (Ω) ,R) (véase [13], p.90) y〈DJ(u), v〉H10 =∫Ω∇u.∇v −∫Ωf (x, u) v ∀v ∈ H10 (Ω) . (6)El siguiente teorema, que es de carácter abstracto, se utiliza en la demostra-ción del Teorema 1. Recordemos que un funcional I : X → R definido enun espacio de Banach X es secuencialmente semicontinuo inferiormente sixn ⇀ x0 implica que I(x0) ≤ l´ım infn→∞ I(xn).Teorema 2. Sea X un espacio de Banach reflexivo real y sea I : X → Run funcional débilmente secuencialmente semicontinuo inferiormente. Si Ies coercivo en X, es decir I(x) → ∞ cuando ||x|| → ∞, entonces existe unx0 ∈ X tal queI(x0) = mı´nx∈XI(x). (7)Además, si I es diferenciable entonces DI(x0) = 0.Demostración. Consideremos una sucesión {xn}n ⊂ X tal que I(xn) →infX I cuando n→∞. En virtud de la coercividad de I, la sucesión {xn}n estáacotada. Por la reflexividad de X existe una subsucesión {xnk}k y un x0 ∈ Xtales que xnk ⇀ x0 cuando k →∞. Debido a la hipótesis de semicontinuidadde I,I(x0) ≤ l´ım infk→∞I(xnk) = infXI.Esto demuestra la primera afirmación del teorema. A partir de la definiciónde diferenciabilidad se demuestra fácilmente que DI(x0) = 0.En las siguiente sección aplicaremos el Teorema 2 tomando X = H10 (Ω)e I = J, donde J está definido por (5).3 Demostración del teorema 1Recordamos que una solución débil de (3) es una función u ∈ H10 (Ω) quesatisface ∫Ω∇u.∇v −∫Ωf (x, u) v = 0 ∀v ∈ H10 (Ω) .Como f envía conjuntos acotados en conjuntos acotados, existe una constantec1 > 0 tal que|f(x, s)| ≤ c1 ∀ |s| ≤M1 ∀ x ∈ Ω. (8)De (2) y (8) se tiene que|f(x, s)| ≤ µ |s|+ c1 ∀s ∈ R,∀x ∈ Ω (9)4 J. B. Baena, J. Cossio & C.A. Vélezes decir, f satisface (4) con p = 2. Por lo tanto el funcional J definido por(5) es tal que J ∈ C1 (H10 (Ω) ,R) y〈DJ(u), v〉H10 =∫Ω∇u.∇v −∫Ωf (x, u) v ∀v ∈ H10 (Ω) . (10)En particular u ∈ H10 (Ω) es solución débil de (3) si y sólo si u es un puntocrítico de J . Usando (2), (8) y la descomposición F (x, s) =∫M10 f(x, t)dt +∫ sM1f(x, t)dt, se obtieneF (x, s) ≤ 12µs2 + c2 ∀s ∈ R, ∀x ∈ Ω, (11)donde c2 es una constante positiva. Sea u ∈ H10 (Ω). De (11) se sigue queJ(u) =12∫Ω|∇u|2 −∫ΩF (x, u)≥ 12∫Ω|∇u|2 − 12µ∫Ωu2 − c2 |Ω| .Por la caracterización variacional de λ1 (véase Brézis [1], p.168-174) se tieneque ∫Ωu2 ≤ 1λ1∫Ω|∇u|2 .Por lo tantoJ(u) ≥ 12(1− µλ1)‖u‖2H10 − c2 |Ω| .Como µ < λ1 se sigue queJ(u) −→ +∞ cuando ‖u‖H10 −→ +∞,lo cual prueba que el funcional J es coercivo. Como f satisface (4), por elTeorema 3 se concluye que existe u0 ∈ H10 (Ω) que es un punto crítico de J ypor lo tanto u0 es una solución débil del problema (3). Como f es sublinealy continua, por la teoría de regularidad para operadores elípticos (véase [6])se sigue que las soluciones débiles son soluciones clásicas. Por lo tanto uo esuna solución clásica de (3).Como un ejemplo de aplicación del Teorema 1 demostramos la siguienteproposición.Proposición 3. Sea f : R→ R una función diferenciable. Si existe k > 0tal que ∣∣f ′(t)∣∣ ≤ k < λ1 ∀t ∈ R (12)entonces el problema de Dirichlet{ −∆u = f (u) en Ω,u = 0 en ∂Ω(13)tiene una única solución.Existencia de soluciones 5Demostración. Por el Teorema del valor medio, para todo s|f(s)− f(0)| ≤ |f ′(ξ)s| ≤ k|s|donde ξ está entre 0 y s. Por tanto para todo s|f(s)| ≤ k|s|+ |f(0)|que es la desigualdad (10) en el caso que estamos considerando. El resto dela prueba se sigue de manera análoga a la demostración del Teorema 1.Demostremos ahora la unicidad. Sean u y v soluciones del problema (13).Entonces, usando la fórmula de Green, se tiene∫Ω|∇(u− v)|2 =∫Ω(u− v)(f(u)− f(v)).Utilizando el Teorema del valor medio y la hipótesis (12) se tiene que∫Ω|∇(u− v)|2 ≤ k∫Ω(u− v)2.Por la desigualdad de Poincaré se sigue entonces que∫Ω|∇(u− v)|2 ≤ kλ1∫Ω|∇(u− v)|2 .Como kλ1 < 1, ||u− v||H10 = 0 de donde se concluye la unicidad.Observación: Supongamos que f envía conjuntos acotados en conjuntosacotados, satisface la condición (4) y cumplel´ım|s|→∞supf(x, s)s≤ µ < λ1en lugar de (2). Razonando como en la demostración del Teorema 1, tambiénse puede demostrar que bajo estas hipótesis el problema (3) tiene al menosuna solución.Agradecimientos: Los autores agradecen al evaluador del artículo por suscorrecciones y valiosas observaciones relacionadas con el mismo.Referencias[1] H. Brézis, Análisis Funcional, Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1984.[2] A. Castro and J. Cossio, Multiple Radial Solutions for a Semilinear Di-richlet Problem in a Ball, Rev. Colombiana Mat. 27 (1993), 15-25.[3] A. Castro and J. Cossio, Multiple Solutions for a Nonlinear DirichletProblem, SIAM J. Math. Anal. 25 (1994), 1554-1561.6 J. B. Baena, J. Cossio & C.A. Vélez[4] A Castro, J. Cossio and J. M. Neuberger, A Signchanging Solution fora Superlinear Dirichlet Problem, Rocky Mountain J.M. 27 (1997), 1041-1053.[5] A Castro, J. Cossio and J. M. Neuberger, On Multiple Solutions of aNonlinear Dirichlet Problem, Nonlinear Analysis Theory Methods & Ap-plications, 30 (1997), 3657-3662.[6] A. Castro and A. Lazer, Critical Point Theory and the Number of Solu-tions of a Nonlinear Dirichlet problem, Ann. Mat. Pura Appl., 70 (1979),113-137.[7] K. C. Chang, Solutions of Asymptotically Linear Operators Equationsvia Morse Theory, Comm. Pure Appl. Math. 34 (1981), 693-712.[8] J. Cossio, Múltiples Soluciones para un Problema Elíptico Semilineal,Academia Colombiana de Ciencias Exactas Físicas y Naturales, Colec-ción Memorias No. 7 (1995), 53-59.[9] M. Esteban, Multiple Solutions of semilinear Elliptic Problems in a Ball,J. Differential Equations 57 (1985), 112-137.[10] D. G. De Figueiredo, The Ekeland Variational Principle with Applica-tions and Detours, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay,1989.[11] D. G. De Figueiredo, Positive Solutions of Semilinear Elliptic Problems,Lecture Notes in Mathematics, Differential Equations, Proceedings (SaoPaulo), Springer-Verlag, 1981.[12] S. Kesavan, Topics in functional analysis and applications, Wiley EasternLimited, Bangalore, India, 1989.[13] P. H. Rabinowitz, Minimax Methods in Critical Point Theory with Ap-plications to Differential Equations, Regional Conference Series in Mat-hematics, number 65, American Mathematical Society, Providence, R.I.,1986.Dirección de los autores: J.B. Baena, Universidad Nacional de Colombia, Sede Me-dellín. jbbaena@unalmed.edu.co.  J. Cossio, Universidad Nacional de Colombia,Sede Medellín. jcossio@unalmed.edu.co.  C. A. Vélez, Universidad Nacional deColombia, Sede Medellín. cauvelez@unalmed.edu.co.

Existencia de soluciones para un problema de Dirichlet sublineal

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Biblioteca Digital de la Universidad del Valle