A nehézségi erőtér potenciálfüggvényének inverziós rekonstrukciójára teszünk javaslatot. A javasolt módszerrel lehetőség nyílik Eötvös-inga mérési adatok felhasználásával függővonal-elhajlás meghatározására, az eddig alkalmazott interpolációs módszerek pontosságát felülmúló számítások elvégzésére és a korábban alkalmazott eljárások során felmerülő bizonyos problémák áthidalására

Dobróka, Mihály

Völgyesi, Lajos

Hungarian

Repository of the Academy's Library

Geomatikai Közlemények VIII., 2005 1 Miskolci Egyetem, Geofizikai Tanszék, H-3515 Miskolc-Egyetemváros, E-mail: dobroka@gold.uni-miskolc.hu 2 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Általános és Felsőgeodézia Tanszék H-1521 Budapest 3 Magyar Tudományos Akadémia Felsőgeodéziai és Geodinamikai Kutatócsoport, E-mail: volgyesi@eik.bme.hu A NEHÉZSÉGI ERŐTÉR POTENCIÁLFÜGGVÉNYÉNEK INVERZIÓS REKONSTRUKCIÓJA EÖTVÖS-INGA ADATOK ALAPJÁN Dobróka Mihály1, Völgyesi Lajos2,3  Inversion reconstruction of gravity potential based on torsion balance measurements - Suggestion can be found here for the inversion reconstruction of gravity potential. The suggested method gives a possibility to determine deflections of the vertical based on torsion balance meas-urements. Accuracy of this method is better than the accuracy of the former interpolation methods, and it is possible to avoid some types of earlier interpolation problems. Keywords: inversion, deflection of the vertical, torsion balance measurements  A nehézségi erőtér potenciálfüggvényének inverziós rekonstrukciójára teszünk javaslatot. A javasolt módszerrel lehetőség nyílik Eötvös-inga mérési adatok felhasználásával függővonal-elhajlás meg-határozására, az eddig alkalmazott interpolációs módszerek pontosságát felülmúló számítások el-végzésére és a korábban alkalmazott eljárások során felmerülő bizonyos problémák áthidalására. Kulcsszavak: inverzió, függővonal-elhajlás, Eötvös-inga mérések Bevezetés Magyarországon az elmúlt 100 évben mintegy 60000 Eötvös-inga mérést végeztek. Mivel a méré-sek nyersanyag kutatás céljából történtek, ezért csak a zxW  és a zyW  horizontális gradienseket dol-gozták fel. A geodéziában fontos ∆W  és xyW  görbületi adatok eddig feldolgozatlanok maradtak, pedig ezek jó lehetőséget teremtenek a függővonal-elhajlás meghatározására (Völgyesi, 1993, 1995). Az alábbiakban a nehézségi erőtér potenciálfüggvényének inverziós rekonstrukciójára te-szünk javaslatot. Úgy véljük a javasolt módszerrel lehetőség nyílik az eddig alkalmazott interpolá-ciós módszerek pontosságát felülmúló számítások elvégzésére és a korábban alkalmazott eljárások során felmerülő bizonyos problémák áthidalására. Az inverziós algoritmus ellenőrzésére szintetikus adatokon végeztünk vizsgálatot. Az inverziós algoritmus Vegyük fel a nehézségi erőtér ),( yxW potenciálját valamely PΨΨ ....0  (ismert) bázisfüggvény rend-szer szerinti sorfejtés alakjában: ∑∑+=−==1110)()(),(Pnnilij xyByxW ΨΨ  , ahol 1,2)1( −−=+−= inlinnj  és jB  (ismeretlen) sorfejtési együtthatók. Az ismeretlenek szá-ma: 12)1( +++= PPPM . (Általánosságban a bázisfüggvények sokfélék lehetnek, a jelen dolgozat-ban azonban bázisfüggvényekként hatványfüggvényeket vagy Chebishev, Legendre, stb. polinomo-kat tételezünk fel.) A  direkt  feladat  megoldását  ( ∆W  és xyW  görbületi  adatok  elméleti értékeit) ezzel előállíthatjuk a DOBRÓKA M, VÖLGYESI L Geomatikai Közlemények VIII., 2005 224 ∑∑+=−==∂∂∂=1110''2)()(Pnnilijszámítottxy xyByxWW ΨΨ  { }∑∑+=−=−=−=1110'''' )()()()(Pnnililijxxyyszámított xyxyBWWW ΨΨΨΨ∆  alakban. A k-ik mérési pontban ),( kk yx az )()( '' klkikj xyS ΨΨ=   és  )()()()( '''' klkiklkikj xyxyQ ΨΨΨΨ −=  jelöléssel a számított Eötvös-inga adatok: ∑==Mjkjjkxy SBW1)(   és  ∑==Mjkjjk QBW1)(∆ , ahol  kjkj QS ,  ismert mátrix elemek (a j indexet i és l értéke egyértelműen meghatározza).  A mért és a számított adatok eltérésvektorának elemei ezzel ∑=−=Mjkjjkxyk SBWe mért1)(   és  ∑=−=Mjkjjkk QBWf mért1)(∆   . A minimalizálandó függvény legyen pl. az eltérésvektor L2 normája: ∑ ∑= =+=1 21 122NkNkkk feE   , ahol 1N  a xyW  ill. 2N  a ∆W  mérési adatok száma. Vektor írásmódot alkalmazva vezessük be a { })()1()()1()( 21 ,...,,,..., NNxyxymért WWWWd ∆∆=r ,   +≤< ≤= 211 1 NNkNQ NkSG kjkjkj  és az BGde mértrrr −= )(   , ∑===NkkeeeE12),(rr jelöléseket, ahol 21 NNN +=   . Az így definiált inverz feladat megoldását a 0=∂∂lBE ,  ),...,1( Ml =  feltételrendszer alapján felállí-tott )(mértTT dGBGGrr =  egyenletrendszerből kapjuk: ( ) dGGGB TT rr 1−=   . A NEHÉZSÉGI ERŐTÉR POTENCIÁLFÜGGVÉNYÉNEK INVERZIÓS REKONSTRUKCIÓJA … Geomatikai Közlemények VIII., 2005 225 Az inverz probléma tehát lineáris, megoldásával a sorfejtési együtthatók Brvektora meghatározható. Mivel Eötvös-inga adataink a potenciálfüggvény második deriváltjaival modellezhetők, a 210 ,, BBB  együtthatókra (konstans tag, x-ben ill. y-ban lineáris tagok együtthatói) a fentiekben nincs egyenlet! A 0B  konstans a továbbiak szempontjából nem lényeges (a potenciál csak egy additív kons-tans erejéig meghatározott), 21, BB  előállítása azonban további információ bevonásával, pl. függő-vonal elhajlás adatok felhasználásával lehetséges az alábbi megfontolás alapján:  A függővonal elhajlás két horizontális összetevője: ϕΦξ −= , ϕλΛη cos)( −=   , ahol ΛΦ ,  a szintfelületi, λϕ, az ellipszoidi földrajzi koordináták, amelyekre  xx UWg +−=ξ   és  yy UWg +−=η   . Itt U  az ellipszoidi normáltér ismert potenciálfüggvénye, g az átlagos nehézségi gyorsulás.  Az első deriváltak a függővonal elhajlásból: xx UgW +−= ξ   és  yy UgW +−= η   . A potenciál sorfejtéses előállításából ),()()( 11110' yxFByxBxWWPnnilijx +==∂∂= ∑∑+=−=ΨΨ  ),()()( 21110' yxGByxByWWPnnilijy +==∂∂= ∑∑+=−=ΨΨ , ahol ),(),,( yxGyxF  ismert (a benne szereplő )3( ≥jB j  együtthatók a fentiek szerint adottak). Ha pl. ),( 11 yyxx == -ben ismert a ),( 11 ηξ függővonal elhajlás értéke, akkor 111111 ),(),( ξgyxUyxFB x −+−=   és  111112 ),(),( ηgyxUyxGB y −+−=   . Az így előállított sorfejtési együtthatókkal (additív konstanstól eltekintve) a potenciál függvény az ismert bázisfüggvények felhasználásával a vizsgált (mérésekkel lefedett terület) bármely pontjában meghatározható. Sajnos azonban ez az algoritmus ilyen formában nem mindig használható. Ha ugyanis (mint a fentiekben jeleztük) bázisfüggvényekként hatványfüggvényeket vagy polinomokat (Chebishev, Legendre, stb.) használunk a sorfejtési együtthatók függetlensége nem biztosított. A potenciálfügg-vény ∑∑+=−=−−=11101),(Pnniinij xyByxW  DOBRÓKA M, VÖLGYESI L Geomatikai Közlemények VIII., 2005 226 szerinti előállítása esetén az indexek szerkezete pl. P=4 -re (M=15):  n i innj +−=2)1(  x és y hatványai xyW -ban szerepel ∆W -ban szerepel Bármelyikben szerepel 1 0 0 konstans - - - 2 0 1 x - - -  1 2 y - - - 3 0 3 x2 - + +  1 4 xy + - +  2 5 y2 - + + 4 0 6 x3 - + +  1 7 x2y + + +  2 8 xy2 + + +  3 9 y3 - + + 5 0 10 x4 - + +  1 11 x3y + + +  2 12 x2y2 + + +  3 13 xy3 + + +  4 14 y4 - + +  A G  Jacobi mátrix első három oszlopában minden mérési ponthoz tartozóan konstansok szerepel-nek a  n i l  innj +−=2)1(  x és y hatványai Jacobi mátrix xyW -ból Jacobi mátrix ∆W -ból 3 0 2 3 x2 0 -2  1 1 4 xy 1 0  2 0 5 y2 0 +2  táblázat tanúsága szerint. E három oszlop tehát nem lineárisan független, így a normálegyenlet GGT mátrixa szinguláris lesz, az inverz feladat nem megoldható! A probléma megoldása az Eötvös inga adatok és függővonal elhajlás adatok együttes inverziójával lehetséges. Az első derivált adatok a függővonal elhajlásból származtathatók: xmértmértx UgW +−= ξ   és  ymértmérty UgW +−= η   . A potenciál sorfejtéses előállításával ezek számított értéke ∑∑∑=+=−===∂∂=MjkjjPnnilijszámítottx RByxBxWW11110' )()( ΨΨ  ∑∑∑=+=−===∂∂=MjkjjPnnilijszámítotty ZByxByWW11110' )()( ΨΨ  ahol )()(' klkikj yxR ΨΨ= ,  )()( ' klkikj yxZ ΨΨ= ,  )2)1(( innj +−=  A mért adatok vektorát az első deriváltak (mért függővonal elhajlási adatokból származtatott értéke-ivel) kiegészítve: A NEHÉZSÉGI ERŐTÉR POTENCIÁLFÜGGVÉNYÉNEK INVERZIÓS REKONSTRUKCIÓJA … Geomatikai Közlemények VIII., 2005 227 { })()1()()1()()1()()1()( 4321 ,...,,,...,,,...,,,..., NyyNxxNNxyxymért WWWWWWWWd ∆∆=r  Hasonló szerkezetben állíthatjuk elő a számított adatok vektorát, amihez szükséges a Jacobi mátrix szerkezetét is kiterjesztenünk az alábbiak szerint: +++≤<++++≤<++≤<≤=4321321321212111NNNNkNNNZNNNkNNRNNkNQNkSGkjkjkjkjkj   . A számított adatok ezzel: ∑==Mjkjjszámítottk GBd1 ill. BGd számítottrr =)(   , ahol  BGde mértrrr −= )(   , ∑===NkkeeeE12),(rr és 4321 NNNNN +++=   . Az így definiált inverz feladat megoldását ismét a 0=∂∂lBE ,  ),...,1( Ml =  alapján kapjuk: )(mértTT dGBGGrr =  ahonnan ( ) dGGGB TT rr 1−=  Ez az algoritmus numerikusan stabil, amit az alábbi tesztekkel igazolunk. Tesztelés szintetikus adatokkal A teszt területet az x,y koordináták -1, +1 intervallumán definiáltuk és felvettük a ∑∑+=−=−−=11101),(Pnniinij xyByxW    ( 15,4 == MP ) potenciálfelületet a { }5.1,5.1,5.1,5.1,5.1,5.1,5.0,5.0,5.0,0.15,5.0,5.0,5.0,5.0,1.0 −=Br  sorfejtési együtthatókkal! A szintetikus adatrendszert a következőképpen állítjuk elő:  1.) 1211 =N   „mérési” pontban ( 2.0== yx ∆∆  ) számítjuk  ∆W és xyW  értékeit és 5% vélet-len zajjal (Gauss eloszlás) terheljük.  2.) 92 =N   „mérési” pontban ( 1== yx ∆∆ .0 ) számítjuk  xW és yW  értékeit és 5% véletlen zajjal (Gauss eloszlás) terheljük.   DOBRÓKA M, VÖLGYESI L Geomatikai Közlemények VIII., 2005 228 Az így kapott 260)(*2 21 =+= NNN  adatot felhasználva együttes inverziót végzünk a Gauss-féle legkisebb négyzetek (LSQ) módszerével a példában szereplő mindössze 15 ismeretlen meghatá-rozására (a feladat tehát jelentősen túlhatározott). A bemenő adatrendszert az 1. ábra mutatja.  1. ábra. A Wxy és W∆ bemenő adatrendszer (5% zajjal terhelve) és az egzakt Wx , Wy felülete Az inverziós eredmény minősítésére használt mennyiségek (Dobróka et al., 1991): adattérbeli (relatív) távolság: ∑=  −=Nkszámítottkszámítottkmértkd dddND121  paramétertérbeli távolság: ∑=  −=Mkfelvettkfelvettkbecsültkm mmmMD121  paraméter kovariancia mátrix (főátlóban a paraméter becslési hibák): ( ) 12)( −= GGm COV Tσr  paraméter korrelációs mátrix: jjiiijijcorr covcovcov=  A NEHÉZSÉGI ERŐTÉR POTENCIÁLFÜGGVÉNYÉNEK INVERZIÓS REKONSTRUKCIÓJA … Geomatikai Közlemények VIII., 2005 229 A paramétervektor elemeinek induló értékeit (start modell) minden esetben zérusnak vettük. Az inverzió eredményeként kapott (becsült) sorfejtési együtthatókat az I. táblázatban mutatjuk be. A táblázat első sorában összehasonlításul bemutatjuk a teszt céljára felvett együtthatókat, a harmadik sor pedig a %-osan kifejezett paraméterbecslési hibát mutatja.  I. táblázat. A paraméter vektor elemei felvett 0.5 0.5 0.5 0.5 15.0 0.5 0.5 0.5 -1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 becsült 0.497 0.499 0.524 0.497 14.996 0.494 0.502 0.499 -1.492 1.492 1.478 1.502 1.505 1.479 1.442hiba 0.440 0.445 1.408 0.185  1.954 0.418 0.241 0.241  0.753 0.753 0.483 0.273 0.306 0.273 0.612 A táblázat tanúsága szerint a (viszonylag) nagyszámú Eötvös inga adat és néhány függővonal elhaj-lási adat együttes inverziójára kidolgozott eljárás meglehetősen pontos paraméterbecslést eredmé-nyezett. Ezt a 2. ábra is igazolja, különösen az 1. ábrával való összehasonlítás után.  2. ábra. Az inverzió után az eredmény modellen számított Wxy és W∆ adatrendszer valamint a rekonstruált Wx és Wy felület (ebből számítható a függővonal elhajlás bármely x,y pontban) Az algoritmus stabilitását jól jellemzi a II. táblázatban bemutatott korrelációs mátrix. A főátlón kívüli elemek viszonylag kis korrelációt mutatnak az egyes ismeretlenek között.    DOBRÓKA M, VÖLGYESI L Geomatikai Közlemények VIII., 2005 230  II. táblázat. A korrelációs mátrix elemei (korrelációs átlag: 0.180) 1 0 . 0 0 3 4 0 . 0 6 2 0 . 0 1 0 3 0 . 0 4 4 9 - 0 . 1 0 3 8 - 0 . 0 3 6 5 - 0 . 0 9 2 - 0 . 0 0 7 3 0 . 0 1 2 2 - 0 . 0 1 4 6 0 . 0 1 8 2 0 . 0 3 7 9 0 . 0 0 20 . 0 0 3 4 1 0 . 0 0 5 8 0 . 0 1 2 5 0 . 0 0 1 7 - 0 . 0 2 0 2 - 0 . 0 7 8 7 - 0 . 0 4 5 1 - 0 . 0 0 9 7 0 . 0 0 0 7 0 . 0 5 2 0 . 0 2 0 1 - 0 . 0 2 6 4 0 . 0 0 3 70 . 0 6 2 0 . 0 0 5 8 1 - 0 . 0 2 3 2 0 . 0 9 4 2 0 . 3 5 1 7 - 0 . 0 2 5 5 0 . 0 1 3 5 - 0 . 0 5 0 1 - 0 . 7 3 0 2 0 . 0 4 1 2 - 0 . 0 9 4 6 - 0 . 0 2 4 0 . 0 4 6 40 . 0 1 0 3 0 . 0 1 2 5 - 0 . 0 2 3 2 1 - 0 . 0 1 5 9 0 . 0 3 5 9 0 . 1 9 0 4 0 . 2 0 2 3 0 . 0 1 9 6 - 0 . 0 1 1 4 - 0 . 3 4 8 7 - 0 . 1 1 5 1 - 0 . 3 5 2 - 0 . 0 0 9 20 . 0 4 4 9 0 . 0 0 1 7 0 . 0 9 4 2 - 0 . 0 1 5 9 1 0 . 2 3 1 3 - 0 . 0 2 2 1 0 . 0 1 1 2 0 . 0 0 1 7 0 . 3 5 8 6 0 . 0 1 3 - 0 . 0 7 0 4 - 0 . 0 0 5 5 - 0 . 5 2 7 8- 0 . 1 0 3 8 - 0 . 0 2 0 2 0 . 3 5 1 7 0 . 0 3 5 9 0 . 2 3 1 3 1 0 . 1 1 7 9 0 . 1 6 5 9 0 . 0 2 7 1 - 0 . 1 1 3 6 - 0 . 0 7 9 0 . 0 3 8 0 . 1 2 0 9 - 0 . 0 1 1 6- 0 . 0 3 6 5 - 0 . 0 7 8 7 - 0 . 0 2 5 5 0 . 1 9 0 4 - 0 . 0 2 2 1 0 . 1 1 7 9 1 0 . 5 6 9 6 0 . 1 1 0 5 0 . 0 2 0 6 0 . 2 4 5 5 0 . 2 4 5 1 0 . 0 7 9 9 0 . 0 2 2 5- 0 . 0 9 2 - 0 . 0 4 5 1 0 . 0 1 3 5 0 . 2 0 2 3 0 . 0 1 1 2 0 . 1 6 5 9 0 . 5 6 9 6 1 0 . 0 5 3 6 0 . 0 3 1 8 0 . 0 7 1 9 0 . 2 4 6 7 0 . 2 3 9 3 0 . 0 1 9 9- 0 . 0 0 7 3 - 0 . 0 0 9 7 - 0 . 0 5 0 1 0 . 0 1 9 6 0 . 0 0 1 7 0 . 0 2 7 1 0 . 1 1 0 5 0 . 0 5 3 6 1 0 . 0 8 5 5 0 . 0 5 7 8 0 . 0 2 5 8 - 0 . 0 2 3 2 - 0 . 3 4 2 90 . 0 1 2 2 0 . 0 0 0 7 - 0 . 7 3 0 2 - 0 . 0 1 1 4 0 . 3 5 8 6 - 0 . 1 1 3 6 0 . 0 2 0 6 0 . 0 3 1 8 0 . 0 8 5 5 1 0 . 0 4 6 0 . 1 0 5 4 0 . 0 6 7 3 - 0 . 0 7 6 9- 0 . 0 1 4 6 0 . 0 5 2 0 . 0 4 1 2 - 0 . 3 4 8 7 0 . 0 1 3 - 0 . 0 7 9 0 . 2 4 5 5 0 . 0 7 1 9 0 . 0 5 7 8 0 . 0 4 6 1 0 . 5 3 9 5 0 . 0 7 7 4 0 . 0 5 2 80 . 0 1 8 2 0 . 0 2 0 1 - 0 . 0 9 4 6 - 0 . 1 1 5 1 - 0 . 0 7 0 4 0 . 0 3 8 0 . 2 4 5 1 0 . 2 4 6 7 0 . 0 2 5 8 0 . 1 0 5 4 0 . 5 3 9 5 1 0 . 5 4 1 9 0 . 0 8 3 40 . 0 3 7 9 - 0 . 0 2 6 4 - 0 . 0 2 4 - 0 . 3 5 2 - 0 . 0 0 5 5 0 . 1 2 0 9 0 . 0 7 9 9 0 . 2 3 9 3 - 0 . 0 2 3 2 0 . 0 6 7 3 0 . 0 7 7 4 0 . 5 4 1 9 1 0 . 0 3 7 30 . 0 0 2 0 . 0 0 3 7 0 . 0 4 6 4 - 0 . 0 0 9 2 - 0 . 5 2 7 8 - 0 . 0 1 1 6 0 . 0 2 2 5 0 . 0 1 9 9 - 0 . 3 4 2 9 - 0 . 0 7 6 9 0 . 0 5 2 8 0 . 0 8 3 4 0 . 0 3 7 3 1  Az I. táblázat adatai alapján az átlagos becslési hiba 0.58%, a II. táblázat főátlón kívüli elemeinek átlaga (a korrelációs norma) 0.180 − tehát az inverziós algoritmus igen stabil. Összefoglalás A bemutatott módszer a potenciálfüggvény nagyszámú Eötvös-inga adat és néhány (pl. csillagásza-ti) függővonal elhajlás adat együttes inverziójának felhasználásával történő meghatározására nyújt lehetőséget. Az így rekonstruált potenciálfüggvényből számos gyakorlati fontosságú „teret”, (pl. függővonal elhajlást) a vizsgálati terület bármely pontján leszármaztathatunk. Az eljárás előnye, hogy mindezt egy jelentősen túlhatározott inverz probléma megoldásával tehetjük. Köszönetnyilvánítás A nehézségi erőtér potenciálfüggvényének inverziós rekonstrukciójával kapcsolatos kutatások a T-037929 sz. OTKA anyagi támogatásával folynak. Hivatkozások Dobróka M, Gyulai Á, Ormos T, Csókás J, Dresen L (1991) Joint inversion of seismic and geoelectric data recorded in an under-ground coal mine. Geophysical Prospecting 39, 643-665. Völgyesi L (1993) Interpolation of deflection of the vertical based on gravity gradients. Periodica Polytechnica Civ.Eng., 37; 2, 137-166. Völgyesi L (1995) Test Interpolation of deflection of the vertical in Hungary based on gravity gradients. Periodica Polytechnica Civ.Eng., 39; 1, 37-75.  A NEHÉZSÉGI ERŐTÉR POTENCIÁLFÜGGVÉNYÉNEK INVERZIÓS REKONSTRUKCIÓJA … Geomatikai Közlemények VIII., 2005 231  * * *  Dobróka M, Völgyesi L (2005): A nehézségi erőtér potenciálfüggvényének inverziós rekonstrukció-ja Eötvös-inga adatok alapján.  Geomatikai Közlemények VIII, pp. 223-230.  Dr. Lajos VÖLGYESI, Department of Geodesy and Surveying, Budapest University of Technology and Economics, H-1521 Budapest, Hungary, Műegyetem rkp. 3. Web: http://sci.fgt.bme.hu/volgyesi   E-mail: volgyesi@eik.bme.hu   

A nehézségi erőtér potenciálfüggvényének inverziós rekonstrukciója Eötvös-inga adatok alapján

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository of the Academy's Library