Nemkommutatív geometriai módszerek alkalmazása a dinamikai rendszerek elméletében = Application of noncommutative geometrical methods in the theory of dynamical systems
A 2003-as évben egy klasszikus mágneses biliárdrendszerben vizsgáltuk a pályák stabilitását analitikus illetve numerikus módszerekkel. A munka fő eredménye annak a bemutatása, hogy a mágneses tér nagysága hogyan befolyásolja a kevert fázisterű rendszer Ljapunov-exponensét. A munka a Physical Review E folyóiratban került publikálásra 2003-ban. 2005-ben a Budapesti Műszaki Egyetemen dolgozó kollégáimmal együtt a relativitáselmélet egy régóta ismert jelenségének (Thomas-rotáció) az eddiginél precízebb, absztrakt (koordinátamentes) matematikai formalizmussal való leírásán dolgoztam. Kutatásaink eredménye az Ulmer Seminare kiadványban, valamint a General Relativity and Gravitation című folyóiratban jelent meg. 2007 nyarán a lengyelországi Bedlewo-ban konferenciaelőadást tartottam ""Groupoid convolution algebras and dynamical systems"" címmel. Előadásomban azt mutattam be, hogy hogyan lehet használni a groupoid algebra konstrukciót -mely tipikusan nemkommutatív geometriai eszköz- különböző egyszerű dinamikai rendszerek vizsgálatában. A 2007. év végén egy egyszerű, kétállapotú kvantummechanikai rendszer, a kvantumbit állapotbecslésére adtam új módszert, és a módszer hatékonyságát összehasonlítottam a már ismert állapotbecslési módszerekkel. Az általam javasolt új állapotbecslési eljárás folytonos pozitív operátor értékű mértéken alapul, mely nem sérti az állapottér (Bloch-gömb) szimmetriáját. A munka publikálása a Physical Review A folyóiratban folyamatban van | In 2003 the stability of trajectories in a classical magnetic billiard was investigated with analytical and numerical methods. As a main result of the work, we demonstrated how the magnitude of the magnetic field influences the Lyapunov-exponent of the system with mixed phase space. This work was published in Physical Review E in 2003. In 2005, together with my co-workers at Budapest University of Economics and Technology, I was working on the abstract (coordinate-free) and precise mathematical formalism of a well known phenomenon of relativity theory (Thomas rotation). Our results were published in ""Ulmer Seminare"" and in the journal ""General relativity and gravitation"". In the summer of 2007 I held a conference lecture ""Groupoid convolution algebras and dynamical systems"" at Bedlewo (Poland). In my lecture I demonstrated how the groupoid convolution algebras, which are typical noncommutative geometrical structures, can be used in the study of simple dynamical systems. At the end of 2007 I gave a new method for the state estimation of a qubit, (which is a simple, two-level quantummechanical system), and I compared the efficiency of this method with the other known state tomography protocols. The proposed new state estimation protocol is based on a continuous positive operator valued measure, which does not hurt the symmetry of the state space (the Bloch ball). This work is being published in Physical Review A
