los problemas sangakus normalmente implican problemas de círculos dentro de círculos tangentes entre sí o bien círculos inscritos en otras figuras, como por ejemplo elipses. También hay problemas que tratan de esferas dentro de otras esferas u otras figuras también tangentes entre sí

Mosquera, Martha Cecilia

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III Encuentro de Matema´ticas Del Caribe ColombianoAgosto 29 a Septiembre 1 de 2006Barranquilla-ColombiaHaciendo geometr´ıa a partir de los sangakuMartha Cecilia Mosquera1Universidad Distrital Francisco Jose´ de CaldasTeoria SangakuLos t´ıpicos problemas Sangaku:los problemas sangakus normalmente implican problemas de c´ırculos dentro de c´ırculostangentes entre s´ı o bien c´ırculos inscritos en otras figuras, como por ejemplo elipses.Tambie´n hay problemas que tratan de esferas dentro de otras esferas u otras figurastambie´n tangentes entre s´ı.Apuntes y notas sobre problemas sangakuTres cuadrados anaranjados se trazan segu´n se muestra en el tria´ngulo recta´ngulo grandede color verde. ¿Co´mo se relacionan los radios de los tres c´ırculos azules?Todos los tria´ngulos recta´ngulos formados son semejantes. (justifica) En el tria´ngulo APQse verificacos(α) =APQP=APL⇒ AP = L cos(α)En PBSsin(α) =PSPB=lAB − AP =Lc− L cos(α)1Docente HC A´rea Matema´ticas Aplicadas a la Qu´ımica. Email: tangrams49@yahoo.es58III Encuentro de Matema´ticas Del Caribe ColombianoAgosto 29 a Septiembre 1 de 2006Barranquilla-ColombiaDe donde L = c sin(α)1+sin(α) cos(α)que corresponde al lado del primer cuadrado que deseamosinscribir, siendo c = AB el cateto sobre el que se apoya el ve´rtice P (cateto contiguo dela´ngulo ).Radio del c´ırculo inscrito en el tria´ngulo QRCEn el tria´ngulo QMO tan(α2)= rQM, como L = QM + r y tan(α2)= sin(α)1+cos(α)resultar =L sin(α)1 + sin(α) + cos(α)Repitiendo este procedimiento se llega a solucionar el problema.Si r1, r2, y r3 son los radios de los c´ırculos, el radio del segundo es media proporcional delos otros dos, es decirr22 = r1 × r3Como a continuacio´n vamos a comprobar para el tria´ngulo recta´ngulo (3, 4, 5)59III Encuentro de Matema´ticas Del Caribe ColombianoAgosto 29 a Septiembre 1 de 2006Barranquilla-Colombiasin(α) = 35, cos(α) = 45, tan(α) = 34k1 =sin(α)1 + sin(α) cos(α)=1537k2 =sin(α)1 + sin(α) cos(α)=141. Primer cuadrado y primer c´ırculoL1 = 4× k1 = 6037 , r1 = L1 × k2 = 6037 × 14 = 15372. Segundo cuadrado y segundo c´ırculotan(α) = L1x⇒ x = L1tan(α)= 34× L1, por lo tanto L2 = x × k1 = 43 × L1 × k1 = 1200372o bien L2 =43× L1 = 43 × c × k1 × k1 = 43 × c × k21, y el segundo radio r2 = L2 × k2 =43× c× k21 × k2 = 30037260III Encuentro de Matema´ticas Del Caribe ColombianoAgosto 29 a Septiembre 1 de 2006Barranquilla-Colombia3. Tercer cuadrado y tercer c´ırculotan(α) = L2x⇒ x = L2tan(α)= 43× L2, por lo tanto L3 = x × k1 = 43 × L2 × k1 = 24000373 obienL3 =(43)2× c× k31 × k2 =6000373Resultando, efectivamente, quer22 = r1 × r3A manera de ejercicio:1. ¿Que´ pasa si el tria´ngulo ABC es iso´sceles?2. ¿Que´ pasa si en el tria´ngulo ABC, AC = 1/2CB?3. ¿Que´ pasa si el tria´ngulo ABC NO ES RECTA´NGULO?Veamos pues algunos teoremasEl teorema de Brianchon se debe a Charles Julien Brianchon (1783-1864) y afirmaque: Las diagonales de un hexa´gono circunscrito a una co´nica se cortan en un punto. Lasiguiente figura muestra una elipse inscrita en un hexa´gono. Al punto comu´n a las tresdiagonales, coloreado en rojo, en la figura se le conoce como punto de Brianchon.61III Encuentro de Matema´ticas Del Caribe ColombianoAgosto 29 a Septiembre 1 de 2006Barranquilla-ColombiaEl teorema de Brianchon es el teorema dual del teorema de Pascal. ¿Que´ es un teoremadual? Consulta el tema Geometr´ıa proyectiva y dualidad.Casos limitesHaciendo coincidir dos lados consecutivos del hexa´gono en uno solo y sustituyendo elve´rtice desaparecido por el punto de contacto, obtenemos que en todo penta´gono circuns-crito a una co´nica, la recta que une un ve´rtice con el punto de contacto del lado opuesto,y las diagonales que unen los otros ve´rtices no consecutivos, son tres rectas que concurrenen un mismo punto.Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener que:En todo cuadrila´tero circunscrito a una co´nica, si se toman los puntos de contacto de doslados que se cortan en un ve´rtice, la recta de unio´n de este con su opuesto y las de unio´nde los puntos de contacto con los otros dos ve´rtices son tres rectas que concurren en unmismo punto.O tambie´n, en todo cuadrila´tero circunscrito a una co´nica, las dos diagonales y las rectasque unen los puntos de contacto de lados opuestos son cuatro rectas que concurren en un62III Encuentro de Matema´ticas Del Caribe ColombianoAgosto 29 a Septiembre 1 de 2006Barranquilla-Colombiapunto.Por u´ltimo,En todo tria´ngulo circunscrito a una co´nica, las rectas que unen los ve´rtices con los puntosde contacto de los lados opuestos son tres rectas que concurren en un punto.El teorema de Ptolomeo es uno de los muchos resultados relacionados con cuadria´ngu-los c´ıclicos (inscritos en una circunferencia).Si el cuadria´ngulo ABCD esta´ inscrito en una circunferencia (Fig. 1), entonces la sumade los productos de lados opuestos es igual al producto de las diagonales:AB · CD + AD ·BC = AC ·BD63III Encuentro de Matema´ticas Del Caribe ColombianoAgosto 29 a Septiembre 1 de 2006Barranquilla-ColombiaEn el caso particular en que AB = BC el teorema se convierte en el teorema de Pita´goras:AB2 +BC2 = AC2El teorema de Thales dice que el a´ngulo inscrito en una semi circunferencia es recto ypara probarlo, bien pudo utilizar esta figura.Del teorema de Varignon, segu´n puede leerse en el libro de Coxeter y Greitzer, lo quesorprende es encontrar que su fecha de publicacio´n no llego´ hasta 1731. Se debe a PierreVarignon (1654-1722). La figura formada cuando se unen en el orden dado los puntosmedios de un cuadria´ngulo, es un paralelogramo, y su a´rea es la mitad de la del cuadria´ngu-lo.64III Encuentro de Matema´ticas Del Caribe ColombianoAgosto 29 a Septiembre 1 de 2006Barranquilla-ColombiaLa circunferencia de los nueve puntos de un tria´ngulo, llamada as´ı por J. V. Pon-celet, queda definida por el siguiente teorema:En cualquier tria´ngulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y lospuntos medios de los segmentos que unen los ve´rtices con el ortocentro, esta´n en unamisma circunferencia, cuyo radio es la mitad del de la circunferencia circunscrita.A la circunferencia de los nueve puntos se la conoce tambie´n como circunferencia de Eulero circunferencia de Feuerbach (Karl Feuerbach, 1800-1834).En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el tria´ngulo ABC, las alturas AA′, BB′y CC ′ se cortan en el ortocentro H y P , Q y R son los puntos medios de los lados AB,BC y CA. Asimismo, U , V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH.La circunferencia de los nueve puntos se muestra en rojo.En esta figura pueden observarse algunas propiedades. Por ejemplo,El centro N de la circunferencia de los nueve puntos esta´ situado en la recta de Euler,equidistante del ortocentro H y del circuncentro O.Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro decualquier tria´ngulo.65III Encuentro de Matema´ticas Del Caribe ColombianoAgosto 29 a Septiembre 1 de 2006Barranquilla-ColombiaOtra propiedad de la circunferencia de los nueve puntos es el teorema de Feuerbach:La circunferencia de los nueve puntos es tangente tanto a la circunferencia inscrita comoa las tres circunferencias exinscritas al tria´ngulo.66

Haciendo geometría a partir de los sangaku

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