Nilaieigen daripada graf, khususnya graf kekisi mempunyai sifat-sifat yang menarik dan telah diberi perhatian yang serius di akhir-akhir ini kerana penggunaannya di dalam bidang fizik, kimia dan kajihayat. Contoh-contoh penggunaan di dalam kimia dapat di lihat dalam (1), manakala di dalam fizik pula dalam (2). Hakikat ini mendorong saya untuk menulis secara ringkas tentang tajuk di ata

Othman, Abdullah Tahir

Indonesian

Universiti Teknologi Malaysia Institutional Repository

PERSAMAAN CIRIAN MATRIKS SEKUTUAN DARIPADA SUATU GRAF KEKISI Oleh : Abdul lah  T a h i r  H j .  Othman J a b a t a n  Matematik F a k u l t  i S a i n s  U n i v e r s i t i  T e k n o l o g i  Ma lays i a  P r a  k a t a  N i l a  ~ i e i g e n  d a r i p a d a  g r a f ,  khususnya  g r a f  k e k i s i  mempunyai s i f a t - s i f a t  yang  menar ik  dan t e l a h  d i b e r i  p e r h a t i a n  yang s e r i u s  d i  a k h i r - a k h i r  i n i  k e r a n a  penggunaannya d i  dalam b i d a n g  f i z i k ,  k imia  dan k a j i h a y a t .  Contoh-contoh  penggunaan d i  dalam k i m i a  d a p a t  d i  l i h a t  dalam ( I ) ,  manakala  d i  dalam F i z i k  p u l a  dalam ( 2 ) .  Hakika t  i n i  mendorong s a y a  u n t u k  menu l i s  secara r i n g k a s  t e n t a n g  t a j u k  d i  atas.  Pendahuluan  Gra f -g ra f  y a n g  akan  d i b e r i  p e r h a t i a n  n a n t i  a d a l a h  g r a f - g r a f  k e k i s i  seg iernpat  sarna y a n g  merupakan s u b g r a f  d a r i p a d a  g r a f  i n f i n i t  b e r i k u t  : Contoh-contoh  s1111prnf a d a l a h :  - M a t r i k s  ' a d j a c e n c y ' ,  Ad(G) d a r i p a d a  g r a f  G dengan  n  bucu-bucu i a l a h  m a t r i k s  ( a , . )  yang  h e r s u s u n a n  n  x n , d i  mana a , .  = 1 j i k a  hucu 1 I 11 i dihubungkan  ke  hucu  j dan  s i f a r ,  pada  l a i n n y a .  M a t r i k s  i . - . k ~ ~ t u , , n  A ( G )  d a r i p a d a  g r a f  G p u l a  i a l a h  matr ik.5 dengan u n s u r - u n s u r  a. .  s e -  1 I b a r a n g a n  dan t a k  s i f a r  j i k a  u j u d  s i s i  b e r a r a h  d a r i p a d a  e r a f  rneng- hubungkan bucu i k e  buclu - j .  S;ectl-um ( n i l a i - n i l a i e i p e n )  d a r i p a d a  m a t r i k s  i n i  d i p a n g g i l  s p e c t r u m  d a r i p a d a  g r a i  ( 3 , 4 ) .  Pada amnya k i t a  b e r m i n a t  d e n ~ a n  g r a f - g r a f  b e r a r a h .  Oleh i t u  s e t i a p  s i s i  dalam g r a f - g r a f  yang d i b i n c a n g a d a l a h  s e t a r a  dengan s a t u  2 - k i t a r  ( a  ? - c y c l e ) ,  i a i t u  - 5 Contoll : Matr iks  sekutuan b a g i  g r a f  d i  a t a s  i a 1 a h : -  Matr iks  ' ad jacency '  , Ad(G) boleh  d i p e r o l e h i  d a r i  m a t r i k s  sekutuan d i  a t a s  dengan menggantikan a . .  = 1, untuk s e t i a p  i dan j .  A r t i k e l  1 I i n i ,  s e c a r a  r i n g k a s  akan menunjukkan hagaimana mendapatkan persamaan c i r i a n  d a r i p a d a  rnat r iks  seku tuan  s e c a r a  g r a f .  T a k r i f - t a k r i f  dalam t i o r i  g r a f  S i s i  d a r i p a d a  sebarang  g r a f  G a d a l a h  g a r i s  menghubungkan -dua bucu ( a t a u  t i t i k ) .  Dar jah  d a r i p a d a  s a t u  bucu i a l a h  b i l a n g a n  -sisi-sisi yang mempunyai bucu berkenaan s e b a g a i  t i t i k - h u j u n g .  Suatu  j u j u k a n - s i s i  dalam G i a l a h  s a t u  ju jukan t e r h i n g g a  d a r i p a d a  sisi-sisi berbentuk Suatu  j u j u k a n - s i s i  yang mana kesemua sisi-sisi be rbeza  d i p a n g g i l  s u a t u  l i n t a s a n  ( 5 ) .  J i k a  bucu-bucu V , V ,..........., V a d a l a h  ber-  0 1 m beza ( k e c u a l i ,  rnungkin V = V ) , maka l i n t a s a n  d i p a n g g i l  s u a t u  0 " r a n t a i .  Suatu r a n t a i  d i k a t a k a n  t e r t u t u p  j i k a  V - Vm , dan r a n t a i  0 t e r t u t u p  yang rnengandungi s e t i d a k - t i d a k n y a  s a t u  s is i  d i p a n g g i l  s a t u  k i t a r .  -Suatu  ' s e t  t a k  hcrcantum dar ipada  k i t a r - k i t a r '  dalam s u a t u  g r a f  i a l a h  s u a t u  s e t  dai-ipada k i t a r - k i t a r  b e r a r a h  yang t i d a k  mengandungi pasangan k i t a r - k i t a r  dengan bucu yang sama. Contoh-contoh g r a f  d i  a t a s  ada lah  ' s e t  tak bercantum d a r i p a d a  k i t a r - k i t a r '  b a g i  N.B. bukan merupakan s u a t u  k i t a r  b e r a r a h .  Unsur a . .  b a g i  s is i  e  menghuhungkan bucu-bucu i dan j d i p a n g g i l  11 k  b e r a t  d a r i p a d a  s i s i .  Has i lda rab  b e r a t  d a r i p a d a  semua sisi-sisi -dalam suhgra f  H d a r i p a d a  s u a t u  g ra f  G d i t a n d a  dengan f(H) Z f(H ) bermaksud jumlah da r ipada  f ( H  ) untuk s e t i a p  H H r r r r yang mana H ada lah  s e t  k i t a r  t a k  bercantum pada r bucu-bucu. Se- r b a g a i  contoh,  p e r h a t i k a n  g r a f  h e r i k u t : -  C f(H2 = a  a  + a  a  + a  a  + a  12 21 a  dan H 1 3  3 1  2 4  42 34 4 3  2  Persamaan C i r i a n  d a r i p a d a  m a t r i k s  sekutuan b a g i  s u a t u  g ra f  Misalkan G i a l a h  sebarang  graf  b e r a r a h  dengan n  bucu-bucu, dan A ( G )  i a l a h  m a t r i k s  sekutuannya . K i t a  memerlukan k o e f i s i e n -  k o e f i s i e n  dalam pengembangan persamaan c i r i a n : -  d i  mana C i a l a h  k o e f i s i e n  (2,6). r D i t a k r i f k a n  C = 1 dan untuk r > O , 0 dimana f( y ) i a l a h  h a s i l d a r a b  b e r a t  s is i  d a r i p a d a  s e t  k i t a r  t a k  r bercantum y dan e i a l a h  b i l a n g a n  k i t a r  genap dalam y . r r r Per jumlahan  d i  a m b i l  pada  s e l u r u h  set k i t a r  t akbe rcan tum yr , d i  a t a s  r bucu-bucu. I n i  h e r e r t i  kaedah  m e n c a r i  C mernerlukan p e n e l i t i a n  r a t a u  pemer iksaan  ben tuk  g r a f  dan s e t e r u s n y a  mendapatkan s e t - s e t  k i t a r  t a k  bercantum.  Contoh 1. Dar ipada  ( 1 . 4 . 1 )  dan ( 1 . 4 . 2 )  C : C = 0 k e r a n a  t i d a k  a d a  ' k i t a r '  d i  a t a s  s a t u  bucu .  1 1 C : SKT ( s e t  k i t a r  t a k b e r c a n t u m )  d i  a t a s  dua  bucu ada1ah : -  2 i . e .  4 s e t  kesemuanya. S e t i a p  s e t  mengandungi hanya s a t u  k i t a r  genap. Oleh i t u  k = 1 ; j a d i  d i  d a p a t i  Y, C : C = 0 k e r a n a  t i d a k  ada  SKT d i  a t a s  t i g a  bucu 3 3 C : SKT d i  a t a s  empat bucu a d a l a h :  -a a a a - a  a a a 1 2  24 4 3  3 1  1 3  34 42 2 1  Menggantikan C , C , C dan C ke dalaml A ( G )  -XI1 , kita per- 1  2  3  4  olehi persamaan cirian rnatriks sek~tuan bagi graf G sebagai Contoh : 2 : H = Berpandukan g ra f  H d i  a t a s ,  j e l a s  kepada k i t a  bahawa C = 0 , 1 C = 0 dan C = O ke rana  t i d a k  ada  s e t  k i t a r  takbercantum d i  a t a s  s a t u  3  4  bucu, t i g a  bucu dan empat bucu masing-masing. Seca ra  mudah d a r i p a d a  g ra f  H d i d a p a t i  I n i  menghasilkan persamaan c i r i a n  b e r i k u t :  Daripada persamaan C1.4.31, d a p a t l a h  d inya takan  bahawa g r a f  H mem- punyai dua n i l a i e i g e n  t a k s i f a r ,  i . e .  2  h = a a + a a t a a . Bentuk g r a f  s e p e r t i  i n i ,  i a i t u  g r a f -  12 21 2 3  3 2  2 4  4 2  g r a f  dengan dua n i l a i e i g e n  t a k s i f a r  t e l a h  menarik minat  pakar-pakar Nuklear F i z i k .  Sebagai  contoh,  l i h a t  ( 2 ) .  Penutup Telah d i p e r l i h a t k a n  m e l a l u i  dua contoh d i  a t a s  bahawa mencari persamaan c i r i a n  b a g i  s u a t u  g ra f  k e k i s i  dengan menggunakan t i o r i  g r a f  mempunyai beberapa keist imewaan. Antaranya k i t a  d a p a t  menghindarkan k e s i l a p a n  a l j a b a r  yang boleh b e r l a k u  j i k a  digunakan pengembangan b i a s a  (mencari  ~ e n e n t u ) .  Kesi lapan i n i  b iasanya  t e r j a d i  j i k a  graf  yang t e r l i b a t  mempunyai l e b i h  d a r i  t i g a  bucu. S e l a i n  d a r i  i t u ,  da r ipada  bentuk g r a f  yang d i b e r i  s e c a r a  o t o m a t i s  k i t a  dapa t  t en tukan  k o e f i s i e n -  k o e f i s i e n  C .  yang k i t a  kehendaki.  I n i  p e r l u  terutamanya dalam usaha 1 untuk mengkaji bentuk-bentuk g r a f  yang b o l e h  menghasilkan hanya dua n i l a i e i g e n  t a k s i f a r  a t a u  bentuk-bentuk g ra f  dengan kesemua n i l a i e i g e n -  n i l a i e i g e n n y a  a d a l a h  s i f a r .  Graf-graf sedemikian mempunyai keistimewaan- keist imewaan t e r s e n d i r i ,  khususnya dalam Nuklear F i z i k .  Sebagai contoh,  dapa t  d i b u k t i k a n  dengan menggunakan t i o r i  d i  a t a s  bahawa bentuk g r a f  s e p e r t i  b e r i k u t  mempunyai hanya dua n i l a i e i g e n  Akhirnya diharapkan ' a r t i k e l '  yang s a n g a t  sederhana i n i  dapat  membangkitkan minat k i t a  untuk mengikut i  perkembangan t i o r i  g r a f  s e l a n j u t n y a .  Wassalam. BAHAN-BAHAN RUJUKAN A.T. Balaban (E.d . ) ,"Chemical  A p p l i c a t i o n s  of Graph Theory" Academic P r e s s ,  London, 1976.  W.Cox, J .  Phys. A .  Math, Nucl. Gen., Vol 7 ,  No. 1; Vol. 7 ,  No. 6 6 Vol. 7 ,  No. 18.  R . J .  Wilson,  On The Adjacency Mat r ix  o f  A Graph, i n  "Combinatorics",  (Eds .  D.J.A.Welsh and D.R .  Woodall) The I n s t i t u t e  of Mathematics and i t s  A p p l i c a t i o n s ,  South- end-on-Sea, England.  N.Biggs, "Algebra ic  Graph Theory", Cambridge U n i v e r s i t y  P r e s s ,  1974.  R . J .  Wilson, " I n t r o d u c t i o n  t o  g raph  t h e o r y " ,  O l i v e r  & Boyd, Edinburgh,  1972.  F. Harary,  " A  graph t h e o r e t i c  method f o r  t h e  complete r e d u c t i o n  of a m a t r i x  w i t h  a view toward f i n d i n g  i t s  e i g e n v a l u e s " ,  J. Maths. P h y s i c s ,  38 (1959) ,  104-111. 

Persamaan cirian matriks sekutuan daripada suatu graf kekisi

http://eprints.utm.my/10100/1/AbdullahTahirOthman1985_Persamaan_cirian_matriks_sekutuan.pdf

Persamaan cirian matriks sekutuan daripada suatu graf kekisi

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Universiti Teknologi Malaysia Institutional Repository